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Im Anschluss an eine Frage im Forum habe ich mir überlegt,
wie man einen Winkel von 57° exakt konstruieren kann.
Da das Konstruieren mit Zirkel und Lineal in den Schulen
eine aussterbende Kunst ist (Geometrie ist überhaupt in
den vergangenen Jahrzehnten in vielen Lehrplänen auf ein
Minimum reduziert worden), möchte ich meine Lösung
hier für Leute präsentieren, die doch etwas mehr Lust auf
geometrische Aufgaben haben als im Matheunterricht
befriedigt wird.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Link zum 1. Dateianhang
[mm] $\red{Korrektur:}\quad\red{In\ der\ Konstruktionsbeschreibung\ ist\ (links\ unten)\ ein\ kleiner}$
[/mm]
$\ [mm] \red{Fehler:\ der\ Bogen\ CE\ hat\ nicht\ den\ Mittelpunkt\ F,\ sondern\ D\, !}$
[/mm]
Die Aufgabe für die geneigten Leserinnen und Leser wäre
es, zunächst die Konstruktion im Detail nachzuvollziehen
und zu verstehen, wie am Ende wirklich der Winkel von
exakt 57° zustande kommt. Geogebra hat nachgerechnet ... 
Und dann als eigentliche
| Aufgabe |
1.) Welche ganzzahligen Winkel (in Grad) lassen sich
exakt mit Zirkel und Lineal konstruieren ?
2.) Finde eine möglichst einfache und übersichtliche
Konstruktion für einen Winkel von 39°. |
Liebe Grüße und viel Spaß beim Tüfteln !
Al-Chwarizmi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo alle,
diese "Dummy"-Frage soll nur dazu dienen, dass die
obige Aufgabe noch eine Zeitlang sichtbar bleibt und
weitere Interessenten erreicht.
Bitte also diesen Artikel nicht beantworten !
Beiträge zur obigen Übungsaufgabe sind aber durch-
aus willkommen, sollten aber direkt dort (an das lila
Dreieck) angehängt werden.
Gruß Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Sa 23.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 Mo 11.01.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
alle Winkel, deren Gradzahl durch 3 teilbar ist, sind mit Zirkel und Lineal konstruierbar, und nur diese.
Dies folgt schon aus der Gaußschen Betrachtung der ![[]](/images/popup.gif) Konstruierbarkeit regelmäßiger n-Ecke. Diese sind ja genau dann konstruierbar, wenn [mm] \varphi(n) [/mm] eine Zweierpotenz ist.
Dazu gehören nun insbesondere n=5 und n=3.
Die einfachste Konstruktion eines Winkels von 39° ist daher wohl diese:
Konstruiere über einer Strecke a ein gleichseitiges Fünfeck (soweit nötig, s.u.), und unter der Strecke ein gleichseitiges Dreieck.
Zeichne die a am nächsten liegende Fünfecksdiagonale und halbiere den Winkel zwischen ihr und a; die Winkelhalbierende heiße g.
Verlängere g über den auf ihr liegenden Endpunkt von a hinaus, und die durch den gleichen Endpunkt laufende Seite des gleichseitigen Dreiecks ebenfalls.
Diese beiden Linien schließen einen Winkel von 78° ein. Halbiere diesen Winkel. Fertig.
Ich habe hier gerade nur "Paint", und damit kann man nun wirklich nicht zeichnen. Ich hoffe, die Beschreibung ist trotzdem eindeutig.
Liebe Grüße
reverend
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> Hallo Al,
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> alle Winkel, deren Gradzahl durch 3 teilbar ist, sind mit
> Zirkel und Lineal konstruierbar, und nur diese.
>
> Dies folgt schon aus der Gaußschen Betrachtung der
> Konstruierbarkeit regelmäßiger n-Ecke.
> Diese sind ja genau dann konstruierbar, wenn [mm]\varphi(n)[/mm]
> eine Zweierpotenz ist.
>
> Dazu gehören nun insbesondere n=5 und n=3.
>
> Die einfachste Konstruktion eines Winkels von 39° ist
> daher wohl diese:
>
> Konstruiere über einer Strecke a ein gleichseitiges
> Fünfeck (soweit nötig, s.u.), und unter der Strecke ein
> gleichseitiges Dreieck.
>
> Zeichne die a am nächsten liegende Fünfecksdiagonale und
> halbiere den Winkel zwischen ihr und a; die
> Winkelhalbierende heiße g.
> Verlängere g über den auf ihr liegenden Endpunkt von a
> hinaus, und die durch den gleichen Endpunkt laufende Seite
> des gleichseitigen Dreiecks ebenfalls.
>
> Diese beiden Linien schließen einen Winkel von 78° ein.
> Halbiere diesen Winkel. Fertig.
>
> Ich habe hier gerade nur "Paint", und damit kann man nun
> wirklich nicht zeichnen. Ich hoffe, die Beschreibung ist
> trotzdem eindeutig.
>
> Liebe Grüße
> reverend
Hallo reverend,
natürlich ist das so. Das zwar ZL-konstruierbare 17-Eck und
alle höheren derartigen führen nicht auf ganzzahlige Winkel
in Grad.
Meine Lösung zum 39°-Winkel :
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß Al
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:01 Mo 11.01.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
vorab: ich bleibe mal bei den Forennamen... Wenn die Übungsaufgabe abgelaufen ist, sollten die Beiträge wieder entschlüsselt und damit öffentlich werden. In diesem Fall hat aber die automatische Verschlüsselung nicht funktioniert, so dass ich sowieso manuell die Leserechte beschränkt habe und sie auch nur ebenso wieder aufgehoben werden können.
Deine Konstruktion basiert auf der gleichen Idee wie die von mir beschriebene, also gleichseitiges Dreieck und ein Teil eines Fünfecks.
Allerdings hätte ich nicht gedacht, dass man sie so weit "abspecken" kann. So sieht es ja richtig elegant aus.
Schade, dass die Geometrie so weit verdrängt worden ist. In der griechischen Mathematik Alexandriens (Euklid!) galt sie noch als höchste Kunst.
Übrigens müsste man für die 3°-Behauptung eigentlich nur zeigen, dass der Winkel 3° konstruierbar ist. Das ist leicht: [mm] 60^{\circ}+\tfrac{1}{2}*\tfrac{1}{2}*60^{\circ}-72^{\circ}=3^{\circ}
[/mm]
Es genügen also wieder Dreieck und Fünfeck für die Konstruktion.
Herzliche Grüße
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![[a]](uploads/forum/00639164/forum-i00639164-n001.png "Dateianhänge"){kind=small}
Link zum 1. Dateianhang
