Winkelsumme im Dreieck < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 23:00 Mo 25.09.2006 | | Autor: | retep |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt
Damit ist hier gemeint:
Ich werde diese Frage vielleicht in der nächsten Zeit noch im Forum "Matheplanet" stellen.
Hallo,
mir ist folgendes aufgefallen: Jedes Buch über lineare Algebra, das ich kenne, definiert den Winkelbegriff als
[mm] $\angle(x,y):= \text{arccos} \frac{}{\norm{|x|\cdot |y|}}$
[/mm]
aber keines führt vor, wie der Satz über die Winkelsumme im Dreieck aus dieser Winkeldefinition folgt.
Wer hat das schon mal gemacht?
Wenn wir "Winkelsumme im Dreieck" mal definieren als
[mm] $\angle(v,w) [/mm] + [mm] \angle(-v,w-v) [/mm] + [mm] \angle(v-w,-w)$
[/mm]
mit zwei linear unabhängigen Vektoren $v$ und $w$, dann habe ich da bislang keine bessere Idee, als mechanisch die Definition und die Additionstheoreme für den Arcuscosinus
[mm] $\text{arccos}(x)+\text{arccos}(y) [/mm] = [mm] \text{arccos}(xy-\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)})$ [/mm]
und
[mm] $\text{arccos}(x)-\text{arccos}(y) [/mm] = [mm] \text{arccos}(xy+\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)})$ [/mm]
anzuwenden, und das scheint mir [mm] \emph{sehr} [/mm] lang und mühsam, und vielleicht ist es auch gar nicht so leicht es zu schaffen, dass am Ende [mm] $\pi$ [/mm] dasteht.
Wer hat das schon mal gemacht? Wer hat eine bessere Idee?
Vielen Dank,
retep
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