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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 So 14.12.2014 | | Autor: | Phnix |
| Aufgabe | Gegeben ist das Geschwindigkeitsfeld F(x,y,z)= [mm] (x^2y^2, [/mm] -z , [mm] y^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{x-z})^T [/mm] einer turbulenten Strömung sowie de Schnittfläche S des Zylinders Z mit der Ebene E, wobei [mm] Z={)x,y,z)^T \in R^3 | x^2+y^2 \le 9} [/mm] und [mm] E={(x,y,z)^T \in R^3 | x-z=1}
[/mm]
a) Berechne den Wirbelfluss des Feldes F durch S ohne Verwendung des Satzes von Stokes.
b) Man berechnen den Wirbelfluss des Vektorfeldes F durch S mithilfe von Stoke. |
Ich bin mir sehr Unsicher ob mein Teil a) stimmt und bei b) stehe ich auf den Schlauch bei der Parametrisierung...
Ich bedanke mich bei jeden der mich weiterbringt.
Mein Ansatz:
[mm] \integral_{s}^{}{rot(F) dA}= \integral_{s}^{}{rot F(x(r,\phi))*(tr x t\phi)} [/mm] dA
Parametrisieren des Zylinders mit [mm] \pmat{ r cos (\phi) \\ r sin (\phi) \\ z }
[/mm]
wobei z durch die Ebene z= x-1 => z= r cos -1 [mm] (\phi)
[/mm]
[mm] x(r,\phi)=\pmat{ r cos (\phi) \\ r sin (\phi) \\ r cos (\phi) -1} [/mm] mit [mm] 0\le\phi\le2\pi [/mm] und [mm] 0\le [/mm] r [mm] \le3 [/mm]
rot F = [mm] \pmat{ 2y+1 \\ - \bruch{1}{(x-z)^2} \\ -x^2 2y}
[/mm]
rot [mm] F(x(r,\phi))= \pmat{ 2*r*sin (\phi) \\ - \bruch{1}{(r*sin(\phi)-rcos(\phi) +1 )^2} \\ -r^2 cos^2(\phi) 2r sin (\phi)}
[/mm]
tr = [mm] \pmat{ cos (\phi) \\ sin (\phi) \\ cos (\phi)} t\phi= \pmat{ -r*sin (\phi) \\ r*cos(\phi) \\ -r sin (\phi)}
[/mm]
tr x [mm] t\phi= \pmat{ -r \\ 0 \\ r}
[/mm]
[mm] \integral_{s}^{}{rot F(x(r,\phi))*(tr x t\phi} [/mm] dA
= [mm] \integral_{0}^{3}\integral_{0}^{2\pi}<\pmat{ 2*r*sin (\phi) \\ - \bruch{1}{(r*sin(\phi)-rcos(\phi) +1 )^2} \\ -r^2 cos^2(\phi) 2r sin (\phi)} [/mm] * [mm] \pmat{ -r \\ 0 \\ r}> d\phi [/mm] dr
= [mm] \integral_{0}^{3}\integral_{0}^{2\pi} [/mm] - [mm] 2r^2 [/mm] sin [mm] (\phi) [/mm] - [mm] r-2r^4 cos^2(\phi) [/mm] sin [mm] (\phi) d\phi [/mm] dr
= [mm] \integral_{0}^{3} [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] r dr = 9 [mm] \pi
[/mm]
Teil b)
[mm] \integral_{A}^{}{rot(F) dA}= \integral_{\partialA}^{} [/mm] F [mm] d\gamma
[/mm]
So nun muss ich die Radkurve parametrisieren und habe keine Ahnung. Da ich nun ein Kreis habe wurde ich:
[mm] \gamma(\nu)= \vektor{3cos (t) \\ 3sin (t) \\ z } [/mm] Nun da die Ebene ja nicht gleichmeißig in der Höhe liegt muss ich halt irgendetwas für z angeben und da weiß ich leider nichts...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 So 14.12.2014 | | Autor: | CAKL |
Hallo,
ich bearbeite gerade die gleiche Aufgabe ;) ich habe vor einer halben Stunde einen Thread aufgemacht, kannst ja mal schauen.
Bei dir habe ich jetzt die Lösung auf meine Frage gefunden und in meinem Thread wirst du die Antwort auf deine Frage finden.
https://matheraum.de/read?t=1045400
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Hallo Phnix,
> Gegeben ist das Geschwindigkeitsfeld F(x,y,z)= [mm](x^2y^2,[/mm] -z
> , [mm]y^2[/mm] + [mm]\bruch{1}{x-z})^T[/mm] einer turbulenten Strömung sowie
> de Schnittfläche S des Zylinders Z mit der Ebene E, wobei
> [mm]Z={)x,y,z)^T \in R^3 | x^2+y^2 \le 9}[/mm] und [mm]E={(x,y,z)^T \in R^3 | x-z=1}[/mm]
>
> a) Berechne den Wirbelfluss des Feldes F durch S ohne
> Verwendung des Satzes von Stokes.
>
> b) Man berechnen den Wirbelfluss des Vektorfeldes F durch S
> mithilfe von Stoke.
> Ich bin mir sehr Unsicher ob mein Teil a) stimmt und bei
> b) stehe ich auf den Schlauch bei der Parametrisierung...
>
> Ich bedanke mich bei jeden der mich weiterbringt.
>
> Mein Ansatz:
>
> [mm]\integral_{s}^{}{rot(F) dA}= \integral_{s}^{}{rot F(x(r,\phi))*(tr x t\phi)}[/mm]
> dA
>
>
> Parametrisieren des Zylinders mit [mm]\pmat{ r cos (\phi) \\ r sin (\phi) \\ z }[/mm]
>
> wobei z durch die Ebene z= x-1 => z= r cos -1 [mm](\phi)[/mm]
>
> [mm]x(r,\phi)=\pmat{ r cos (\phi) \\ r sin (\phi) \\ r cos (\phi) -1}[/mm]
> mit [mm]0\le\phi\le2\pi[/mm] und [mm]0\le[/mm] r [mm]\le3[/mm]
>
> rot F = [mm]\pmat{ 2y+1 \\ - \bruch{1}{(x-z)^2} \\ -x^2 2y}[/mm]
>
Bei der 2.Komponente muss ein "+" stehen:
[mm]rot F = \pmat{ 2y+1 \\ \blue{+} \bruch{1}{(x-z)^2} \\ -x^2 2y}[/mm]
> rot [mm]F(x(r,\phi))= \pmat{ 2*r*sin (\phi) \\ - \bruch{1}{(r*sin(\phi)-rcos(\phi) +1 )^2} \\ -r^2 cos^2(\phi) 2r sin (\phi)}[/mm]
>
> tr = [mm]\pmat{ cos (\phi) \\ sin (\phi) \\ cos (\phi)} t\phi= \pmat{ -r*sin (\phi) \\ r*cos(\phi) \\ -r sin (\phi)}[/mm]
>
> tr x [mm]t\phi= \pmat{ -r \\ 0 \\ r}[/mm]
>
> [mm]\integral_{s}^{}{rot F(x(r,\phi))*(tr x t\phi}[/mm] dA
> = [mm]\integral_{0}^{3}\integral_{0}^{2\pi}<\pmat{ 2*r*sin (\phi) \\ - \bruch{1}{(r*sin(\phi)-rcos(\phi) +1 )^2} \\ -r^2 cos^2(\phi) 2r sin (\phi)}[/mm]
> * [mm]\pmat{ -r \\ 0 \\ r}> d\phi[/mm] dr
> = [mm]\integral_{0}^{3}\integral_{0}^{2\pi}[/mm] - [mm]2r^2[/mm] sin [mm](\phi)[/mm]
> - [mm]r-2r^4 cos^2(\phi)[/mm] sin [mm](\phi) d\phi[/mm] dr
Der Integrand muss hier lauten:
[mm]\[-2\,{r}^{4}\,{\mathrm{cos}\left( \phi\right) }^{2}\,\mathrm{sin}\left( \phi\right) -2\,{r}^{2}\,\mathrm{sin}\left( \phi\right) -r\][/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{3}[/mm] 2 [mm]\pi[/mm] r dr = 9 [mm]\pi[/mm]
>
>
> Teil b)
>
> [mm]\integral_{A}^{}{rot(F) dA}= \integral_{\partialA}^{}[/mm] F
> [mm]d\gamma[/mm]
>
> So nun muss ich die Radkurve parametrisieren und habe keine
> Ahnung. Da ich nun ein Kreis habe wurde ich:
>
> [mm]\gamma(\nu)= \vektor{3cos (t) \\ 3sin (t) \\ z }[/mm] Nun da
> die Ebene ja nicht gleichmeißig in der Höhe liegt muss
> ich halt irgendetwas für z angeben und da weiß ich leider
> nichts...
>
Nun, da es sich um die Randkurve handelt,
setze [mm]z=3*\cos\left(t}\right)-1[/mm]
Gruss
MathePower
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