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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:20 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Corn |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Es sei (X,Y) das Ergebnis des gleichzeitigen WErfens zweier unterscheidbarer Würfel.
Es sei
U:= max (X,Y)
V = min(X,Y)
und
W= X-Y
Geben Sie die Wertebereiche der Zufallsvariablen an und bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten
a) P(W=K)
b) P(U, V) = (l,k)) |
Hallo.
Vollkommen klar ist mir die Anfangslösung
W(U)=W(V) = (1,...,6) W(W) = (-5,...,5)
a) P(W=K) = P(X-Y=k) = [mm] P(\sum_{l=1}^6 [/mm] [X-y=k, Y=l] )
= [mm] \sum^6_{l=1} [/mm] P(X-Y=k, Y=l) = [mm] \sum^6_{l=1} [/mm] P(X=k+l, Y=l)
Aber jetzt verstehe ich null
1 [mm] \le [/mm] l [mm] \le [/mm] 6 und k+l [mm] \le [/mm] 6 <=> [mm] 1-k\le [/mm] l [mm] \le [/mm] 6-k
max(1,1-k) [mm] \le [/mm] l [mm] \le [/mm] min(6,6-k)
P(W=K) = [mm] \sum^{6-k}_{l=1} [/mm] P(X=k+l,Y=l) = 1/36 (6-k) [mm] 0
P(W=K) = [mm] \sum^{6}_{l=k} [/mm] P(X=k+l,Y=l) = 1/36 (6+k)
P(W=K) = 0 sonst
Die Lösung für b ist sogar noch kürzer. Deswegen kann mir jemand bitte den unteren Teil Zeile für Zeile erklären? Mir ist nicht klar, wie man auf P(W=k) kommt. Gar nicht, die rechte Seite total fremd. Und warum ist es eigentlich 1-k [mm] \le [/mm] l?
Ich freue mich über all eure Hinweise.
Vielen Dank im Voraus, Corn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Mo 21.01.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin,
schau dir mal meine Loesung zu X+Y hier an. Vielleicht kannst du sie ja geeignet ausschlachten.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:38 Di 22.01.2008 | | Autor: | Corn |
Moin,
> schau dir mal meine Loesung zu X+Y
> hier an.
> Vielleicht kannst du sie ja geeignet ausschlachten.
Nicht so ganz, denn in meiner Frage hatte ich eine Frage versteckt, die aber fürs Verständnis fundamental wichtig ist. Nämlich
Was bedeutet eigentlich P(W=k) = $ [mm] \sum^{6-k}_{l=1} [/mm] $ P(X=k+l,Y=l) = 1/36 (6-k) $ [mm] 0
P(W=k) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass für Augenzahl Würfel 1 - Augenzahl Würfel 2 nun -5,-4,...,4,5 herauskommt.
(Würfel 1 hat eine größer kleinere Augenzahl als Würfel 2)
Aber jetzt die Summe, die geht bei l=1 los und hört bei 6-k auf. Was heißt das? Und warum ist es P(X=k+l,Y=l) ?
Meine Idee für P(W=k) ist
$P(W=k) = [mm] \sum_{k=1}^6 \sum_{l=1, l
Offensichtlich steht in der Lösung aber etwas anderes.
Wenn meine Vermutung richtig wäre, was sie nicht ist, könnte ich auch mit einer Tabelle arbeiten, vermutlich soll man das sogar.
Aber bei der Summe kann ich schon nicht mehr folgen.
Und dann ist das Ergebnis ja
P(W=K) = $ [mm] \sum^{6-k}_{l=1} [/mm] $ P(X=k+l,Y=l) = 1/36 (6-k) $ [mm] 0
P(W=K) = $ [mm] \sum^{6}_{l=k} [/mm] $ P(X=k+l,Y=l) = 1/36 (6+k)
P(W=K) = 0 sonst
Was ist denn in der Mitte die Eingrenzung für k? [mm] $6\le k\le12$ [/mm] Ist mir schon nicht plausibel. Oder einfach k=6, aber dann hätte man es einfach ins Ergebnis schon einsetzen können, also muss da ja ein Intervall hinkommen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:01 Di 22.01.2008 | | Autor: | luis52 |
Hallo Corn,
die Formeln laufen auf die Faltung vom zwei diskret
verteilten Zufallsvariablen hinaus. Das ist eine wichtige
Technik, die ganz gut ![[]](/images/popup.gif) hier erklaert wird.
Schau dir mal das Beispiel zur Poisson-Verteilung an, Seite 2-3.
vg Luis
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:38 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Corn |
Hallo
> Schau dir mal das Beispiel zur Poisson-Verteilung an,
> Seite 2-3.
So viel wars ja nicht, habe alles fleißig durchgearbeitet, aber verstehen tu ichs immer noch nicht
P(W=K) = $ [mm] \sum^{6-k}_{l=1} [/mm] $ P(X=k+l,Y=l) = 1/36 (6-k) $ [mm] 0
P(W=K) = $ [mm] \sum^{6}_{l=k} [/mm] $ P(X=k+l,Y=l) = 1/36 (6+k)
P(W=K) = 0 sonst
Wie kommt man hier auf die Laufindexe der Summe? Und was ist das Intervall vom zweiten ?<k<?
Über
1 $ [mm] \le [/mm] $ l $ [mm] \le [/mm] $ 6 und k+l $ [mm] \le [/mm] $ 6 <=> $ [mm] 1-k\le [/mm] $ l $ [mm] \le [/mm] $ 6-k
max(1,1-k) $ [mm] \le [/mm] $ l $ [mm] \le [/mm] $ min(6,6-k)
habe ich lange gegrübelt, aber eine sinnvolle Vermutung kann ich leider immernoch nicht aufstellen
Gruß
Corn
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Sa 23.02.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Mi 23.01.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Corn,
wenn ich dich recht verstehe, geht es um die Summe in
$P(W=k)= [mm] \sum^6_{l=1} [/mm] P(X=k+l, Y=l)$,
die du wegen der Unabhaengigkeit von $X,Y$ auch so schreiben kannst:
[mm] $P(W=k)=\sum^6_{l=1} [/mm] P(X=k+l)P(Y=l)$. Jeder Summand ist genau dann [mm] $\ne0$, [/mm]
wenn jeder seiner Faktoren [mm] $\ne0$ [/mm] ist. Das bedeutet, dass gelten muss:
[mm] $l=1,\dots,6$ [/mm] und [mm] $k+l=1,\dots,6$ $\Leftrightarrow$ $l=1,\dots,6$ [/mm] und [mm] $l=1-k,\dots,6-k$ $\Leftrightarrow$ $\max(1,1-k) \le [/mm] l [mm] \le \min(6,6-k).$
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Corn |
Hallo
Darf ich dazu weiter fragen stellen? Komme mir schon aufdringlich vor
$ [mm] \sum^{6}_{l=k} [/mm] $ P(X=k+l,Y=l) = 1/36 (6+k)
warum ist die Grenze l=k und nicht l=1-k?
und wie kommt man auf die rechte Seite? Muß ich alle Möglichkeiten aufschreiben, um mir die Formel herzuleiten oder gibts da eine anschauliche Erklärung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 Mi 23.01.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Corn,
> Hallo
> Darf ich dazu weiter fragen stellen?
Nur zu.
> Komme mir schon
> aufdringlich vor
Ist okay.
>
> [mm]\sum^{6}_{l=k}[/mm] P(X=k+l,Y=l) = 1/36 (6+k)
Gruebel, gruebel, wo kommt denn das her? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
>
> warum ist die Grenze l=k und nicht l=1-k?
Verstehe ich leider nicht.
Die Summe ist so zu berechnen:
$ [mm] P(W=k)=\sum^{\min(6,6-k)}_{l=\max(1,1-k)} [/mm] P(X=k+l)P(Y=l) $.
Beispiel: Es soll $P(W=1)$ berechnet werden. Dann lautet die Formel
[mm] $P(W=1)=\sum^{\min(6,6-1)}_{l=\max(1,1-1)} P(X=k+l)P(Y=l)=\sum^{5}_{l=1} P(X=k+l)P(Y=l)=\frac{5}{36}$
[/mm]
Nochn Beispiel:
[mm] $P(W=-3)=\sum^{\min(6,6+3)}_{l=\max(1,1+3)} P(X=k+l)P(Y=l)=\sum^{6}_{l=4} P(X=k+l)P(Y=l)=\frac{3}{36}$
[/mm]
Oder hast du die Formel $ P(W=k)= [mm] \sum^6_{l=1} [/mm] P(X=k+l, Y=l) $ nicht verstanden?
Du siehst, mir ist unklar, was dir unklar ist.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Sa 26.01.2008 | | Autor: | Corn |
Guten Morgen
> Oder hast du die Formel [mm]P(W=k)= \sum^6_{l=1} P(X=k+l, Y=l)[/mm]
> nicht verstanden?
Was mir die Formel sagt, habe ich schon verstanden, wie man sofort die Lösung erkennt allerdings nicht. Das ist mir aber auch gar nicht so wichtig.
> Du siehst, mir ist unklar, was dir unklar ist.
Irgendwie ist die Aufgabe über meinem Niveau
Die Lösung dazu ist angeblich
P(W=K) = $ [mm] \sum^{6-k}_{l=1} [/mm] $ P(X=k+l,Y=l) = 1/36 (6-k) $ [mm] 0
P(W=K) = $ [mm] \sum^{6}_{l=k} [/mm] $ P(X=k+l,Y=l) = 1/36 (6+k)
P(W=K) = 0 sonst
würdest du sagen, dass die Grenzen der Summe biem zweiten falsch sind bzw. die gesamte Lösung falsch ist?
Hier noch mal die Aufgabe
| Aufgabe |
Es sei (X,Y) das Ergebnis des gleichzeitigen Werfens zweier unterscheidbarer Würfel.
Es sei
U:= max (X,Y)
V = min(X,Y)
und
W= X-Y
Geben Sie die Wertebereiche der Zufallsvariablen an und bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten
P(W=K)
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VG
Corn
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:05 Sa 26.01.2008 | | Autor: | luis52 |
> würdest du sagen, dass die Grenzen der Summe biem zweiten
> falsch sind bzw. die gesamte Lösung falsch ist?
>
Ah, ich glaube, ich hab's geschnallt: Du zeigst die vorgegebene Loesung!
Die lautet also:
$P(W=K) = 1/36 [mm] (6-k),\quad 0
$P(W=K) = 1/36 (6+k)$ (vermutlich fuer [mm] $-5
und
P(W=K) = 0 sonst.
Rechne mal nach, das stimmt mit dem Ergebnis oben ueberein:
Beispielsweise hatte ich berechnet $P(W=1)=5/36$ und das ist (1/36)(6-1)
usw.
vg Luis
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