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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 So 18.11.2012 | | Autor: | Maxga |
| Aufgabe | (X,d) sei ein metrischer Raum. Weiter seien [mm] \emptyset \not= [/mm] A,B [mm] \subset [/mm] X beliebige Teilmengen.
Wir definieren:
d(A,B) := inf {d(y,y') | y [mm] \in [/mm] A, y' [mm] \in [/mm] B}.
Zeigen Sie:
Für A kompakt und B abgeschlossen gilt: A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset [/mm] => d(A,B) > 0 .
Zeigen Sie an einem Beispiel, dass diese Aussage im Allgemeinen nicht gilt, wenn von A nur die Abgeschlossenheit gefordert wird. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hey,
muss leider schon wieder ne Frage stellen, diesmal zu der obigen Aufgabe.
Mir ist auch irgendwie kein wirklich passender Threadtitel eingefallen.
Mir ist nicht klar, wieso die Abgeschlossenheit von A hier nicht ausreicht.
Seien [mm] \emptyset \not= [/mm] A,B [mm] \subset [/mm] X mit A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset [/mm] .
Angenommen d(A,B) = 0.
Sei x [mm] \in [/mm] Rand(A) derart, dass [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 : [mm] \cup_{\varepsilon}(x) \cap [/mm] B [mm] \not= \emptyset [/mm] .
So ein x exestiert, denn sonst wäre d(A,B) = min {d(y,y') | y [mm] \in [/mm] Rand(A) , y' [mm] \in [/mm] B } > 0. //Bei dem Schluss hier bin ich mir nicht sicher, nehme mal an es scheitert hierbei irgendwo.
Wegen x [mm] \in [/mm] Rand(A) gilt: [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0: [mm] \cup_{\varepsilon}(x) \cap [/mm] (X \ A) [mm] \not= \emptyset \not= \cup_{\varepsilon}(x) \cap [/mm] A .
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 => [mm] \cup_{\varepsilon}(x) \cap [/mm] B [mm] \not= \emptyset [/mm] .
Außerdem A [mm] \subseteq [/mm] (X \ B)
=> [mm] \cup_{\varepsilon}(x) \cap [/mm] (X \ B) [mm] \not= \emptyset [/mm] => x [mm] \in [/mm] Rand(B) => x [mm] \in [/mm] B.
Außerdem war x [mm] \in [/mm] Rand(A) => x [mm] \in [/mm] A.
Widerspruch zu A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset [/mm] .
Wo ist hier der Fehler, oder wo benutze ich die Kompaktheit von A? Nehme mal an, dass man noch irgendwo die Beschränktheit von A zusätzlich zu der Abgeschlossenheit braucht, weiß aber nicht wo.
Hoffe mal der Beweis ist nicht grundsätzlich falsch.
Danke schonmal!
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 So 18.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> (X,d) sei ein metrischer Raum. Weiter seien [mm]\emptyset \not=[/mm]
> A,B [mm]\subset[/mm] X beliebige Teilmengen.
> Wir definieren:
> d(A,B) := inf {d(y,y') | y [mm] \in [/mm] A, y' [mm] \in [/mm] B}.
> Zeigen Sie:
> Für A kompakt und B abgeschlossen gilt: A [mm]\cap[/mm] B =
> [mm]\emptyset[/mm] => d(A,B) > 0 .
> Zeigen Sie an einem Beispiel, dass diese Aussage im
> Allgemeinen nicht gilt, wenn von A nur die
> Abgeschlossenheit gefordert wird.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hey,
> muss leider schon wieder ne Frage stellen, diesmal zu der
> obigen Aufgabe.
> Mir ist auch irgendwie kein wirklich passender Threadtitel
> eingefallen.
> Mir ist nicht klar, wieso die Abgeschlossenheit von A hier
> nicht ausreicht.
Hinweis: Bei dieser Antwort geht es nur um die Fragestellung,
warum man bei der Aufgabe die Kompaktheit von [mm] $A\,$ [/mm] nicht
alleine durch die Abgeschlossenheit von [mm] $A\,$ [/mm] ersetzen kann!
den Beweis brauche ich mir gar nicht anzugucken, weil er einen Fehler
enthalten wird:
Nimm' etwa [mm] $A=\{(x,y): x \ge 0 \wedge y \ge 0\}\,,$ [/mm] also der erste
Quadrant des [mm] $\IR^2\,.$ [/mm] Weiter setze [mm] $B:=\{(x,y):\;y=1/|x| \text{ für }x < 0\}\,.$ [/mm]
[mm] ($B\,$ [/mm] ist also der Graph der Funktion $f: [mm] (-\infty,\;0) \to \IR$ [/mm] mit
[mm] $f(x):=1/|x|\,$ [/mm] für alle $x < [mm] 0\,.$)
[/mm]
Zeige: Aus der Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] folgt die Abgeschlossenheit von [mm] $B\,.$
[/mm]
Die Abgeschlossenheit von [mm] $A\,$ [/mm] ist trivial, auch, dass $A [mm] \cap B=\emptyset$ [/mm]
gilt, ist leicht einzusehen. Zudem ist aber [mm] $d(A,B)=0\,.$
[/mm]
Und jetzt kannst Du ja mit diesem Beispiel "Deinen Beweisversuch"
durchgehen und gucken, an welcher Stelle Du etwas falsch gefolgert hast!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 So 18.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Marcel,
Dein Gegenbeispiel ist keines, da Dein $A$ nicht kompakt ist. Es lohnt sich also doch, den Beweis druchzugehen.
Edit: Ich nehme dies zurück. Ich dachte, im Beweis sollte die Aufgabe gezeigt werden, aber er soll ja zeigen, daß man auf die Kompaktheit von A verzichten kann.
Gruß,
Wolfgang
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:02 So 18.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wolfgang,
> Hallo Marcel,
>
> Dein Gegenbeispiel ist keines, da Dein [mm]A[/mm] nicht kompakt ist.
> Es lohnt sich also doch, den Beweis druchzugehen.
>
> Edit: Ich nehme dies zurück. Ich dachte, im Beweis sollte
> die Aufgabe gezeigt werden, aber er soll ja zeigen, daß
> man auf die Kompaktheit von A verzichten kann.
Du meinst "nicht verzichten".
Aber ich denke, ich schreibe gerade bei meiner Antwort mal dazu, was
ich dort mache, denn anscheinend geht das nicht klar daraus hervor.
Daher finde ich Deine Mitteilung schon sehr gut. 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 So 18.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Marcel,
> >
> > Dein Gegenbeispiel ist keines, da Dein [mm]A[/mm] nicht kompakt ist.
> > Es lohnt sich also doch, den Beweis druchzugehen.
> >
> > Edit: Ich nehme dies zurück. Ich dachte, im Beweis sollte
> > die Aufgabe gezeigt werden, aber er soll ja zeigen, daß
> > man auf die Kompaktheit von A verzichten kann.
>
> Du meinst "nicht verzichten".
Nein. Der Beweis soll zeigen, daß man auf die Kompaktheit von A verzichten kann.
Aber wir verstehen uns schon!
Gruß,
Wolfgang
>
> Aber ich denke, ich schreibe gerade bei meiner Antwort mal
> dazu, was
> ich dort mache, denn anscheinend geht das nicht klar
> daraus hervor.
> Daher finde ich Deine Mitteilung schon sehr gut.
>
> Gruß,
> Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 So 18.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wolfgang,
> Hallo Marcel,
>
> > >
> > > Dein Gegenbeispiel ist keines, da Dein [mm]A[/mm] nicht kompakt ist.
> > > Es lohnt sich also doch, den Beweis druchzugehen.
> > >
> > > Edit: Ich nehme dies zurück. Ich dachte, im Beweis sollte
> > > die Aufgabe gezeigt werden, aber er soll ja zeigen, daß
> > > man auf die Kompaktheit von A verzichten kann.
> >
> > Du meinst "nicht verzichten".
>
> Nein. Der Beweis soll zeigen, daß man auf die Kompaktheit
> von A verzichten kann.
>
> Aber wir verstehen uns schon!
ja, ich glaube, wir reden aneinander vorbei:
Der Aufgabensteller wollte beweisen, dass man auf die Kompaktheit von
[mm] $A\,$ [/mm] verzichten kann und dort nur mit Abgeschlossenheit von [mm] $A\,$
[/mm]
argumentieren könne. Das hat er versucht, zu beweisen.
Ich meinte halt, dass man in der ursprünglichen Aufgabenstellung eben
NICHT die Kompaktheit von [mm] $A\,$ [/mm] durch Abgeschlossenheit ersetzen darf.
Aber ich glaube, Du weißt eh, was ich meinte, und ich hab' jetzt kapiert,
warum Du das, was Du schriebst, auch so meintest. Jemand
außenstehendes wird vielleicht gar nix mehr kapieren, aber die
Hauptsache:
Wir verstehen noch, was wir meinten. 
Also Du hast recht: Wir verstehen uns schon.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 So 18.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> (X,d) sei ein metrischer Raum. Weiter seien [mm]\emptyset \not=[/mm]
> A,B [mm]\subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
X beliebige Teilmengen.
> Wir definieren:
> d(A,B) := inf {d(y,y') | y [mm]\in[/mm] A, y' [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B}.
> Zeigen Sie:
> Für A kompakt und B abgeschlossen gilt: A [mm]\cap[/mm] B =
> [mm]\emptyset[/mm] => d(A,B) > 0 .
wenn Du diesen Satz beweisen willst, wirst Du sicher an einer Stelle so
etwas benutzen, dass kompakt=folgenkompakt:
Jede Folge in [mm] $A\,$ [/mm] hat aufgrund der Kompaktheit eine in [mm] $A\,$ [/mm]
konvergente Teilfolge.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 So 18.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Angenommen d(A,B) = 0.
> Sei x [mm]\in[/mm] Rand(A) derart, dass [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 :
> [mm]\cup_{\varepsilon}(x) \cap[/mm] B [mm]\not= \emptyset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
.
> So ein x exestiert, denn sonst wäre d(A,B) = min$\{$ d(y,y') | y [mm]\in[/mm] Rand(A) , y' [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B $\} $> 0. //Bei dem Schluss hier
> bin ich mir nicht sicher, nehme mal an es scheitert hierbei
> irgendwo.
Und das ist genau hier. So ein $x$ muß es nämlich nicht geben, wie man an Marcels Gegenbeispiel sieht. Zu immer kleineren $\epsilon$ können immer wieder andere $x_\epsilon \in A$ und $y_\epsilon\in B$ nötig sein mit $d(x_\epsilon, y_\epsilon) < \epsilon\,.$ Nach Deiner Behauptung gibt es ein $x\in A$ zu dem es zu jedem $\epsilon$ ein $y_\epsilon\in B$ gibt mit $d(x, y_\epsilon) < \epsilon\,.$
> Wegen x [mm]\in[/mm] Rand(A) gilt: [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0:
> [mm]\cup_{\varepsilon}(x) \cap[/mm] (X \ A) [mm]\not= \emptyset \not= \cup_{\varepsilon}(x) \cap[/mm]
> A .
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0 => [mm]\cup_{\varepsilon}(x) \cap[/mm] B [mm]\not= \emptyset[/mm]
> .
> Außerdem A [mm]\subseteq[/mm] (X \ B)
> => [mm]\cup_{\varepsilon}(x) \cap[/mm] (X \ B) [mm]\not= \emptyset[/mm] => x
> [mm]\in[/mm] Rand(B) => x [mm]\in[/mm] B.
> Außerdem war x [mm]\in[/mm] Rand(A) => x [mm]\in[/mm] A.
> Widerspruch zu A [mm]\cap[/mm] B = [mm]\emptyset[/mm] .
> Wo ist hier der Fehler, oder wo benutze ich die
> Kompaktheit von A? Nehme mal an, dass man noch irgendwo die
> Beschränktheit von A zusätzlich zu der Abgeschlossenheit
> braucht, weiß aber nicht wo.
> Hoffe mal der Beweis ist nicht grundsätzlich falsch.
> Danke schonmal!
>
> LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:59 So 18.11.2012 | | Autor: | Maxga |
Ah okay,
danke euch für die Erklärung, das ergibt natürlich Sinn.
Ich hatte mir das irgendwie zu eindimensional vorgestellt, weil ich mir die Mengen einfach als Kreise aufgemalt hatte. Da dachte ich, es gibt auch ein Element, was am nächsten dran ist an allen Elemente aus B, und dass das eben genau ein Element auf dem Rand ist.
Ich werde dann probieren irgendwie mit Folgen zu arbeiten, ich melde mich, falls ich was neues habe.
LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 So 18.11.2012 | | Autor: | Maxga |
Hey,
ich denke jetzt habe ich es. In vorherigen Aufgabenteilen wurde auch definiert:
d(x,A) := inf {d(x,y) | y [mm] \in [/mm] A} .
Außerdem habe ich gezeigt, dass x [mm] \mapsto [/mm] d(x,A) stetig ist,
und dass d(x,A) = 0 <=> x [mm] \in \overline{A} [/mm] ,
d.h. irgendwie war es eigentlich klar, dass ich das brauche, hatte mich irgendwie nur zu sehr auf meinen vorherigen Beweis festgelegt.
Ist auch total simpel gewesen, wenn das folgende so stimmt.
Da A kompakt ist, nimmt
f: A-> [mm] \IR [/mm] , x [mm] \mapsto [/mm] d(x,B) sein Minimum in A an. Sei also m:=min(f).
Offensichtlich ist d(A,B) = m.
Angenommen m = 0
=> Es gibt x [mm] \in [/mm] A mit d(x,B) = 0 => x [mm] \in \overline{B} [/mm] => x [mm] \in [/mm] B Widerspruch zu A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset
[/mm]
=> m > 0
=> d(A,B) > 0
q.e.d.
Ist das korrekt so?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 So 18.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Hey,
> ich denke jetzt habe ich es. In vorherigen Aufgabenteilen
> wurde auch definiert:
> d(x,A) := inf {d(x,y) | y [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
A} .
> Außerdem habe ich gezeigt, dass x [mm]\mapsto[/mm] d(x,A) stetig
> ist,
> und dass d(x,A) = 0 <=> x [mm]\in \overline{A}[/mm] ,
> d.h. irgendwie war es eigentlich klar, dass ich das
> brauche, hatte mich irgendwie nur zu sehr auf meinen
> vorherigen Beweis festgelegt.
> Ist auch total simpel gewesen, wenn das folgende so
> stimmt.
> Da A kompakt ist, nimmt
> f: A-> [mm]\IR[/mm] , x [mm]\mapsto[/mm] d(x,B) sein Minimum in A an. Sei
> also m:=min(f).
> Offensichtlich ist d(A,B) = m.
> Angenommen m = 0
> => Es gibt x [mm]\in[/mm] A mit d(x,B) = 0 => x [mm]\in \overline{B}[/mm] =>
> x [mm]\in[/mm] B Widerspruch zu A [mm]\cap[/mm] B = [mm]\emptyset[/mm]
> => m > 0
> => d(A,B) > 0
> q.e.d.
>
> Ist das korrekt so?
Ja! Sehr schön! Manchmal macht es mir Freude, eine Frage zu lesen. Hier ist es so!
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:46 So 18.11.2012 | | Autor: | Maxga |
:) Perfekt, ich danke euch beiden für die Hilfe, einen schönen Abend noch!
LG
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