Wo ist f eine Kontraktion? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei F(x)= [mm] \bruch{1}{ \wurzel{x}}
[/mm]
In welchem Bereich ist das eine Kontraktion? |
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt!
Hallo,
die obrige Aufgabe beschäftigt mich jetzt schon den halben Tag :(
Folgenden Ansatz habe ich zusammengetragen:
F: B -> B ist dann eine Kontraktion wenn gilt:
[mm] \parallel [/mm] F(x) - F(y) [mm] \parallel [/mm] <= q [mm] \parallel [/mm] x - y [mm] \parallel [/mm] für alle x,y [mm] \in [/mm] B
q wird auch Lipschitz-Konstante genannt.
Frage: ist [mm] \parallel [/mm] hier als Absolut-Betrag-Zeichen zu interpretieren?
In diesem Fall Hilfreich scheint auch der Mittelwertsatz der Differenzialrechnung zu sein: f(x) - f(y) = f'( [mm] \gamma)(x [/mm] - y) mit [mm] \gamma [/mm] = [mm] \lambda [/mm] x + (1 - [mm] \lambda) [/mm] y und für [mm] \lambda \in [/mm] (0,1)
Der Mittelwertsatz ist soweit ok, nur die definition von [mm] \gamma [/mm] und [mm] \lambda [/mm] verstehe ich nicht...
Mit diesen Voraussetzungen habe ich in mein f eingesetzt da mein f'( [mm] \gamma) [/mm] aus dem Mittelwertsatz ja eigentlich mein q aus der Kontraktion darstellt.
[mm] \bruch{d}{dx} \bruch{1}{\wurzel{x}} [/mm] = q = [mm] \bruch{-1}{2 * \wurzel{x^3}}
[/mm]
Aber wie bringe ich jetzt mein q mit dem Bereich zwischen x und y in Zusammenhang? Und wie gehe ich mit den Betragszeichen um?
Oder bin ich überhaupt auf dem Holzweg?
Wäre toll wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Vielen Dank im Vorhinein!
lg,
thomas
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Hallo,
> Sei F(x)= [mm]\bruch{1}{ \wurzel{x}}[/mm]
> In welchem Bereich ist
> das eine Kontraktion?
> Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt!
>
> Hallo,
>
> die obrige Aufgabe beschäftigt mich jetzt schon den halben
> Tag :(
> Folgenden Ansatz habe ich zusammengetragen:
>
> F: B -> B ist dann eine Kontraktion wenn gilt:
> [mm]\parallel[/mm] F(x) - F(y) [mm]\parallel[/mm] <= q [mm]\parallel[/mm] x - y
> [mm]\parallel[/mm] für alle x,y [mm]\in[/mm] B
> q wird auch Lipschitz-Konstante genannt.
> Frage: ist [mm]\parallel[/mm] hier als Absolut-Betrag-Zeichen zu
> interpretieren?
das kommt auf den zugrunde liegenden Raum an. Wenn B ein endlich dimensionaler Vektorraum ist, dann sind Normen äquivalent und unterscheiden sich nur um Konstanten. Dann könntest du natürlich mit der einfachsten Norm arbeiten! Außerdem fehlt hier was. q muss <1 sein, damit F Kontraktion ist!
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> In diesem Fall Hilfreich scheint auch der Mittelwertsatz
> der Differenzialrechnung zu sein: f(x) - f(y) = f'(
> [mm]\gamma)(x[/mm] - y) mit [mm]\gamma[/mm] = [mm]\lambda[/mm] x + (1 - [mm]\lambda)[/mm] y
> und für [mm]\lambda \in[/mm] (0,1)
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> Der Mittelwertsatz ist soweit ok, nur die definition von
> [mm]\gamma[/mm] und [mm]\lambda[/mm] verstehe ich nicht...
>
> Mit diesen Voraussetzungen habe ich in mein f eingesetzt da
> mein f'( [mm]\gamma)[/mm] aus dem Mittelwertsatz ja eigentlich mein
> q aus der Kontraktion darstellt.
>
> [mm]\bruch{d}{dx} \bruch{1}{\wurzel{x}}[/mm] = q = [mm]\bruch{-1}{2 * \wurzel{x^3}}[/mm]
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> Aber wie bringe ich jetzt mein q mit dem Bereich zwischen x
> und y in Zusammenhang? Und wie gehe ich mit den
> Betragszeichen um?
> Oder bin ich überhaupt auf dem Holzweg?
>
> Wäre toll wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Du solltest |f(x)-f(y)| geeignet abschätzen, um auf die Kontraktionsdarstellung zu kommen. Du könntest dir außerdem überlegen, was für Zusammenhänge zwischen lipschitz-stetig und stetig gelten!!! Könnte sich von Vorteil erweisen!
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> Vielen Dank im Vorhinein!
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> lg,
> thomas
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Viele Grüße
Daniel
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