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| Aufgabe | 7. Jemand rechnet
x = [mm] \wurzel{a^2-2a+1} [/mm] -a = [mm] \wurzel{(a-1)^2} [/mm] -a = (a-1)-a= -1
für a=0 erhält man jedoch x=1. Wo steckt der Fehler? |
Hallo, kann jmd. die Aufgabe lösen? Ich versteh die Aufgabe nicht ganz, wenn ich rechne kürzt sich das a weg (wie oben). Das Ergebnis ist dann -1=x.
wenn sich a wegkürzt, heißt das jedoch nicht das a=0 ist?
danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:20 Sa 18.08.2007 | | Autor: | Vreni |
Hallo huskeyblaueaugen,
Du hast ja an sich eine Funktion [mm] x(a)=\sqrt{a^2-2a+1}-a [/mm] gegeben, bei der x von a abhängt. Laut der angegebenen Rechnung "fällt" diese Abhängigkeit von a anscheinend weg und x=-1 für alle a. Aber das Gegenbeispiel [mm] x(0)=\sqrt{0^2-2*0+1}-0=\sqrt{1}-0=1 [/mm] zeigt, dass das so nicht stimmen kann.
Der richtige Rechenweg wäre:
[mm] x=\sqrt{a^2-2a+1}-a=\sqrt{(a-1)^2}-a=|a-1|-a
[/mm]
Die Betragsstriche sind hier das Entscheidende, die Wurzel und das Quadrat heben sich zwar sozusagen gegenseitig auf, aber man erhält eben nicht genau a-1, sondern den Betrag von a-1: |a-1|
D.h. wenn a>1, also a-1>0 ist, gilt:
x=(a-1)-a=-1
wenn a<1 gilt:
x=-(a-1)-a=1-2a (insbesondere x=1 für a=0)
Ich hoffe ich konnte dir helfen und du hast alles soweit verstanden,
Gruß,
Vreni
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Hallo Vreni,
danke für deine Antwort,
ich glaube ich habe alles verstanden was du geschrieben hast,
wenn man die wurzel einer zahl zieht, gibt es ja immer 2 Ergebnisse.
trotzdem ziemlich kompliziert...
bis denn
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Deine Bemerkung "Wenn man die Wurzel aus einer Zahl zieht, gibt es immer 2 Ergebnisse" ist nicht richtig!
Die Wurzel aus einer Zahl - falls man sie überhaupt ziehen kann, die Zahl also positiv ist - ist immer ein positiver Wert. Also: [mm] \wurzel{4} [/mm] = 2 und nicht -2 oder beides.
Es ist aber so: Wenn du eine positive Zahl (z.B. 2) quadrierst (=4) und dann aus dem Ergebnis wieder die Wurzel ziehst, erhältst du wieder die Ausgangszahl (2). Hier heben sich also Quadrieren und Wurzelziehen auf.
Wenn du aber eine negative Zahl (z.B. -2) quadrierst (=4) und dann aus dem Ergebnis wieder die Wurzel ziehst, erhältst du nicht die Ausgangszahl (-2), sondern deren positiven Gegenwert (2). Hier heben sich also Quadrieren und Wurzelziehen nicht auf.
Deshalb ist also [mm] \wurzel{a^2}=a, [/mm] falls a positiv ist, aber [mm] \wurzel{a^2}=-a, [/mm] falls a negativ ist (das -a ist dann positiv).
Also nochmals: Wurzelziehen liefert nicht 2 verschiedene Ergebnisse, sondern Wurzelziehen hebt sich nur dann mit dem Quadrieren auf, wenn die Ausgangszahl positiv ist.
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