Wohldefiniert und stetig? < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:15 Mo 14.12.2009 | | Autor: | Doemmi |
| Aufgabe | Die Funktin f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] sei stetig. Bgründen Sie, warum die Funktionen g, h:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] mit
g(x) = [mm] max_{t \in [a,x]} [/mm] f(t) und h(x) = [mm] min_{t \in [a,x]} [/mm] f(t)
wohldefiniert sind und zeigen Sie, dass sie stetig sind. |
Wohldefiniertheit: So ganz klar ist mir noch nicht, was das überhaupt bedeutet. So wie ich das verstanden habe, ist eine Funktion wohldefiniert, wenn jeder Abbildung eines Wertes aus dem Definitionsbereich auch im Wertebereich liegt. Oder kommt das nicht der Bijektivität auch nahe?
Ein paar erklärende Worte anhand dieser Aufgabe wären hilfreich.
Stetigkeit: Meine Funktion f ist im angegebenden Intervall insbesondere glm. stetig, also in jedem Punkt in [a,b].
Und da hörts schon auf...
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> Die Funktin f:[a,b] [mm]\to \IR[/mm] sei stetig. Bgründen Sie,
> warum die Funktionen g, h:[a,b] [mm]\to \IR[/mm] mit
>
> g(x) = [mm]max_{t \in [a,x]}[/mm] f(t) und h(x) = [mm]min_{t \in [a,x]}[/mm]
> f(t)
>
> wohldefiniert sind und zeigen Sie, dass sie stetig sind.
Hallo,
beginnen wir mit der Wohldefiniertheit.
Hier wurde also eine Funktion definiert über dem Intervall [a,b].
Bzgl. der Wohldefiniertheit stellen sich hier zwei Fragen:
1. Ist die Zuorndnung des Funktionswertes eindeutig?
(Das ist die kleinere der Fragen. So klein, daß es schon fast keine mehr ist.)
2. Wird wirklich jedem Element aus [a,b] durch die Funktionsvorschrift ein Funktionswert zugeordnet?
Wer oder was garantiert das?
Mit Bijektivität hat diese Fragestellung nichts zu tun.
Bijektivität ist eine Eigenschaft von Funktionen.
Wir sind im Moment erst bei der Frage, ob hier überhaupt eine Funktion definiert wurde.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Mo 14.12.2009 | | Autor: | Doemmi |
Vielen Dank, Angela!
Die Zuordnung des Grenzwertes ist deshalb eindeutig, weil dem x unter den Funktionen g und h ein Wert der Funktion f zugeordnet wird.
Es wird jedem Wert aus [a,b] ein Funktionswert zugeordnet, da f gleichmäßig stetig ist und x [mm] \le [/mm] b ist, also x [mm] \in [/mm] [a,b]. Also wird doch jedem x unter g und h ein Wert aus der stetigen Funktion f zugeordnet.
Kann man das so gelten lassen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:23 Mo 14.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank, Angela!
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> Die Zuordnung des Grenzwertes ist deshalb eindeutig, weil
> dem x unter den Funktionen g und h ein Wert der Funktion f
> zugeordnet wird.
>
> Es wird jedem Wert aus [a,b] ein Funktionswert zugeordnet,
> da f gleichmäßig stetig ist und x [mm]\le[/mm] b ist, also x [mm]\in[/mm]
> [a,b]. Also wird doch jedem x unter g und h ein Wert aus
> der stetigen Funktion f zugeordnet.
>
> Kann man das so gelten lassen?
Da fehlt noch was. Es ist doch
(*) g(x) = $ [mm] max_{t \in [a,x]} [/mm] $ f(t) .
Damit (*) sinnvoll ist, sollte f auf [a,x] nach oben beschränkt sein und es sollte
$ [mm] sup_{t \in [a,x]} [/mm] $ f(t)= $ [mm] max_{t \in [a,x]} [/mm] $ f(t)
sein. Ist beides der Fall ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Mo 14.12.2009 | | Autor: | Doemmi |
Achso, na klar ist das der Fall. Denn die Definition von g setzt ja voraus, dass es ein Maximum gibt in [a,x]. Und da es diesen größten annehmbaren Wert gibt, ist dieser gleichzeitig das Supremum, da sup [mm] \ge [/mm] max .
Äquivalent dann für das min.
Inwiefern weiß ich dann, dass jedem Wert aus [a,b] ein Funktionswert zugeordnet wird?
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> Achso, na klar ist das der Fall. Denn die Definition von g
> setzt ja voraus, dass es ein Maximum gibt in [a,x].
Hallo,
ja, das tut sie, und die frage, die Du klären mußt,ist: tut sie dies mit Recht?
> Und da
> es diesen größten annehmbaren Wert gibt,
Das ist bisher lediglich eine Behauptung von Dir.
Du mußt das begründen. Führe einen bekannten Satz ins Feld, der die Existenz des besagten Maximum garantiert.
(Der Satz handelt von stetigen Funktionen und abgeschlossenen Intervallen).
> Inwiefern weiß ich dann, dass jedem Wert aus [a,b] ein
> Funktionswert zugeordnet wird?
Wenn Du gezeigt hast, daß das besagte Max für jedes x existiert, weißt Du das.
(Die Eindeutigkeit des Max garantiert Dir dann, daß jedem [mm] t\in [/mm] [a,b] genau ein Funktionswert zugewiesen wird.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Mo 14.12.2009 | | Autor: | Doemmi |
Wenn f stetig ist, ist der Bildbereich von f abgeschlossen und nimmt auf [a,b] sein Infimum m := inf{f(x) | a [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] b} und sein Supremum M := sup{f(x) | a [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] b} an.
So lautet der gesuchte Satz 
t [mm] \in [/mm] [a,x] und x [mm] \in [/mm] [a,b]
also a [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] b
Also nimmt f(x) für beliebiges x in g ein Supremum = Maximum und in h ein Infimum = Minimum an. Maximum und Minimum sind eindeutig, also wird jedem t [mm] \in [/mm] [a,x] ein Wert zugeordnet.
Auf welche Weise gehe ich den zweiten Aufgabenteil an (Stetigkeit der Funktionen g und h) ?
Danke!
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Wenn f stetig ist, ist der Bildbereich von f abgeschlossen
> und nimmt auf [a,b] sein Infimum m := inf{f(x) | a [mm]\le[/mm] x
> [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
b} und sein Supremum M := sup{f(x) | a [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
b}
> an.
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> So lautet der gesuchte Satz
> t [mm]\in[/mm] [a,x] und x [mm]\in[/mm] [a,b]
>
> also a [mm]\le[/mm] t [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] b
>
> Also nimmt f(x) für beliebiges x in g ein Supremum =
> Maximum und in h ein Infimum = Minimum an. Maximum und
> Minimum sind eindeutig, also wird jedem t [mm]\in[/mm] [a,x] ein
> Wert zugeordnet.
Hallo,
ja, und zwar eindeutig.
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>
> Auf welche Weise gehe ich den zweiten Aufgabenteil an
> (Stetigkeit der Funktionen g und h) ?
>
Anschaulich klargemacht hast Du's Dir schon? Find' ich immer nützlich. Also mal ein, zwei stetige Funktinen f skizzieren und g ins selbe Koordinatensystem
Den Beweis würde ich so angehen:
g ist monoton wachsend. Wenn g nicht stetig wäre, gäbe es eine Sprungstelle. Und damit würde ich dann versuchen, einen Widerspruch zur Stetigkeit von f zu erzeugen.
Gruß v. Angela
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