Wozu brauche ich einen Normalvector bzw. was ist das ? < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:35 Di 08.06.2004 | | Autor: | mennowar |
Hallo :)
Ich stehe vor folgendem Problem:
Für eine Fräßmaschine wird der zu fahrende Fräßweg (Werkzeugpfad) gesucht.
Dieser wird aus angeklickten Linien einer Zeichnung ermittelt.
Soweit kein Problem.
Allerdings: An Stellen an denen das Werkstück diese Form hat:
[Dateianhang nicht öffentlich]
]-->
Muß beim Endpunkt ||a|| der komplette Pfad um die Werkzeughöhe h nach unten verschoben werden, Linien C und D dürfen nicht erfaßt werden bei der Berechnung des Pfades und Linie E darf erst ab der höhe von Endpunkt A + Höhe des Werkzeuges angefahren werden.
Um es noch mehr zu verkomplizieren muß wenn Linie B angegeben wird diese als Werkzeugpfad auch noch komplett um h nach unten verschoben werden. (Es können also bei der Erfassung vom Benutzer angegeben werden: A+B+C+D+E oder A+E, oder auch A+B+E; Das Ergebnis der Berechnung soll jeweils der selbe WerkzeugPfad sein)
Ich bekam nun die "Weisung" Normalvectoren zur Lösung zu benutzen, allerdings ist alles was ich über diese weiß das es Vectoren sind die im 90° Winkel auf der andern Linie steht. Also etwas in der Art wie
---+---- a
| n
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Wobei a ein Vector ist, und n der Normalvector.
Hat zufällig jemand eine idee was gemeint sein könnte bzw. in wie weit ein Normalvector zur Lösung beitragen könnte? Bin dankbar über jeden Hinweis.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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hmm... hast du die Linien A,B,C,D und E als Vektor o.ä. vorliegen?
ich gehe mal davon aus, dass der Umriss o.ä. nur in 2-dimensionaler Form vorliegt.
wie Marc schon bemerkt hat, ist ein Normalenvektor ein Vektor, der senkrecht auf dem Bezugsvektor steht.
Also stünde zB der Normalenvektor zur Linie A senkrecht auf A, entweder nach links oder nach rechts (beides ist möglich)
Ich versuche mal, den Pfad den du möchtest, zu beschreiben, wie ich ihn verstanden habe:
Du möchtest vom Endpunkt von B aus (der rechts am Ende von B ist) eine direkte Linie zu E ziehen, um die Bucht von C und D wegfallen zu lassen, richtig?
Dazu würde ich zunächst A und B folgen. Dann berechnest du den Normalenvektor zu E und verschiebst diesen, so dass er durch den Endpunkt von B geht. Dieser Vektor ist jetzt deine direkte Verbindungslinie vom Endpunkt von B zu E. Dort wo der Vektor auf E "aufsetzt", folgst du wieder wie gewohnt E.
(sollte B auf A senkrecht stehen, erhältst du so auch für A,E ; A,B,E ; A,B,C,D,E das selbe Ergebnis)
Ich gehe mal davon aus, dass A senkrecht auf B steht.
also: sei p=(p1,p2) dein Endpunkt (ob von A oder B is eigentlich egal). dann lässt sich p auch als Vektor [mm] \begin{pmatrix} p1 \\ p2 \end{pmatrix} [/mm] darstellen.
sei nun [mm] n=\begin{pmatrix} n1 \\ n2 \end{pmatrix} [/mm] der Normalenvektor von E.
dann ist [mm] x=\begin{pmatrix} p1-n1 \\ p2-n2 \end{pmatrix} [/mm] der gesuchte Punkt, ab dem du E weiter folgen kannst, vorausgesetzt der Normalenvektor hat die passende Länge, also den Abstand von Endpunkt zu E, und die richtige Richtung (hier zeigt der Normalenvektor von E auf p zu, sollte er in die andere Richtung zeigen mach aus dem - in x ein +)
Wie man allerdings den Abstand von p zu E berechnet kann ich dir leider auch nicht sagen.
Wenn du den Abstand nich berechnen kannst oder das umgehen willst, bleibt dir nur, den Schnittpunkt von [mm] \begin{pmatrix} p1-x*n1 \\ p2-x*n2 \end{pmatrix} [/mm] und [mm] \begin{pmatrix} s1+y*e1 \\ s2+y*e2\end{pmatrix} [/mm] zu berechnen. s=(s1,s2) ist hier der Startpunkt von E, [mm] \begin{pmatrix}e1\\e2\end{pmatrix} [/mm] der Richtungsvektor von E. Daraus folgen die beiden Gleichungen:
[mm]p1-x*n1=s1+y*e1[/mm]
[mm]p2-x*n2=s2+y*e2[/mm]
Das sollte sich für [mm] x,y\in \IR [/mm] lösen lassen.
Hoffe, ich hab dir geholfen...
Cya!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:01 Mi 09.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo mennowar,
willkommen auf www.vorhilfe.de! 
So richtig habe ich die Arbeitsweise der Fräsmaschine nicht verstanden, am Ende versuche ich aber trotzdem auf dein Problem einzugehen.
> Ich stehe vor folgendem Problem:
> Für eine Fräßmaschine wird der zu fahrende Fräßweg
> (Werkzeugpfad) gesucht.
> Dieser wird aus angeklickten Linien einer Zeichnung
> ermittelt.
> Soweit kein Problem.
> Allerdings: An Stellen an denen das Werkstück diese Form
> hat:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
>
> Muß beim Endpunkt ||a|| der komplette Pfad um die
Wo ist dieser Endpunkt in der Zeichnung? Was bedeuten die beiden senkrechten Striche um a?
> Werkzeughöhe h nach unten verschoben werden, Linien C und D
> dürfen nicht erfaßt werden bei der Berechnung des Pfades
> und Linie E darf erst ab der höhe von Endpunkt A + Höhe des
Und dieser Endpunkt A, wo ist der in der Zeichnung?
> Werkzeuges angefahren werden.
> Um es noch mehr zu verkomplizieren muß wenn Linie B
> angegeben wird diese als Werkzeugpfad auch noch komplett um
> h nach unten verschoben werden. (Es können also bei der
> Erfassung vom Benutzer angegeben werden: A+B+C+D+E oder
> A+E, oder auch A+B+E; Das Ergebnis der Berechnung soll
> jeweils der selbe WerkzeugPfad sein)
Das verstehe ich gar nicht.
> Ich bekam nun die "Weisung" Normalvectoren zur Lösung zu
> benutzen, allerdings ist alles was ich über diese weiß das
> es Vectoren sind die im 90° Winkel auf der andern Linie
> steht. Also etwas in der Art wie
> ---+---- a
> | n
> |
>
> Wobei a ein Vector ist, und n der Normalvector.
> Hat zufällig jemand eine idee was gemeint sein könnte bzw.
> in wie weit ein Normalvector zur Lösung beitragen könnte?
> Bin dankbar über jeden Hinweis.
Soweit ich es verstanden habe befinden wir uns ja in einem dreidimensionalen Koordinatensystem, die Fräsmaschine bewegt sich aber nur nach rechts/links, vor/zurück und nach oben/unten, also nur parallel zu den Koordinatenachsen.
Zwei der Koordinatenachsen werden auf dem Monitor abgebildet, ich nenne sie mal x und y (x ist die links/rechts-Richtung, y die vor/zurück-Richtung).
Die Richtung "oben/unten" steht senkrecht auf dem Monitor, zeigt also gewissermaßen aus dem Monitor heraus.
Jetzt können alle Bewegungen der Fräsmaschine mit einem drei-dimensionalem Vektor beschrieben werden:
[mm] $\vektor{x\\y\\z}$
[/mm]
Bewegt man sich in der Monitor-Ebene, also nicht nach oben/unten, dann verändern sich nur die x- und y-Koordinaten, fährt man nach oben unten, dann verändert sich nur die z-Koordinate.
Beispiele:
[mm] $\vektor{0\\0\\h}$ [/mm] würde einem "Hochfahren" der Maschine um die Höhe des Werkstücks entsprechen, [mm] $\vektor{0\\0\\-h}$ [/mm] einem Absenken.
Mit dem Vektor [mm] $\vektor{1\\0\\0}$ [/mm] bewegt man sich um eine Längeneinheit nach rechts, mit [mm] $\vektor{-1\\0\\0}$ [/mm] nach links und mit [mm] $\vektor{0\\1\\0}$ [/mm] bzw. [mm] $\vektor{0\\-1\\0}$ [/mm] vor bzw. zurück.
In diesem Sinne sind nun die "hoch/runter"-Vektoren Normalenvektoren der normalen Arbeitsebene (die auf dem Monitor abgebildet wird), denn sie stehen ja senkrecht auf dieser Ebene ("normal" heißt "senkrecht").
Ich kann jetzt leider gar nicht einschätzen, inwieweit dir das jetzt weiterhilft, aber du kannst ja gerne weiter nachfragen , dann werden wir dein Problem schon lösen.
Viele Grüße,
Marc
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