Wronski Determinante < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:04 Di 17.03.2009 | | Autor: | Yami |
Hallo, leute
sooo da die Prüfung schon bald vor der tür steht wollte ich nochmal um eure hilfe bitten.
Ich habe hier paar Aufgaben gelöst und wollte wissen ob das alles so stimmt was ich gezaubert habe
edit: da ich selber gemerkt habe das der post zu groß war teile ich das besser mal auf :D
Fangen wir mal an:
Aufgabe 1: Wronksi determinante
Seien [mm] f_1(x), f_2(x), f_3(x) [/mm] zweimal stetig differenzierbare Funktionen auf [mm] \IR [/mm]
a) Zeigen Sie: Falls ein x [mm] \in \IR [/mm] existiert mit
[mm] \vmat{ f_1 & f_2 & f_3 \\ f^'_1 & f^'_2 & f'_3 \\ f^''_1 & f^''_2 & f''_3} \not= [/mm] 0
dann folgt, daß [mm] {f_1, f_2, f_3} [/mm] linear unabhängig ist. Untersuchen Sie, ob auch die Umkehrung gilt.
b) Man untersuche, als direkte Anwendung von a), ob die Menge der Funktionen [mm] {e^x, x, sin(x)} [/mm] linear unabhängig ist.
zu a)
ich weiß ja das für Alle x [mm] \in \IR [/mm] wo die determinante ungleich 0 ist folgt das es linear unabhängig ist
wenn ich jetzt ein x habe wo meine determinante ungleich 0 ist ist es ja linear unabhängig oder muss ich da noch mehr zeigen?
jetzt soll ich gucken ob die Umkehrung gilt.
das heißt ich soll zeigen das aus
[mm] \vmat{ f_1 & f_2 & f_3 \\ f^'_1 & f^'_2 & f'_3 \\ f^''_1 & f^''_2 & f''_3} [/mm] = 0
lineare abhängigkeit hervorgeht.
dies ist ja aber nicht der fall (laut wikipedia). Doch wie zeige ich das?
zu b) nun die direkte Anwendung
das heißt ich habe
[mm] \vmat{ f_1 & f_2 & f_3 \\ f^'_1 & f^'_2 & f'_3 \\ f^''_1 & f^''_2 & f''_3} [/mm] mit [mm] \vmat{ e^x & x & sin(x) \\ e^x & 1 & cos(x) \\ e^x & 0 & -sin(x)}
[/mm]
jetzt kann ich ja irgendwein x [mm] \in \IR [/mm] nehmen um zu zeigen das die determinante nicht ungleich 0 ist, weil laut definition muss ja für alle x gelten es linear unabhängig ist.
so mit x = 0 folgt
[mm] \vmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0} [/mm] daraus ergibt sich die determinante ist gleich 0 und somit nicht linear unabhängig.
Ist mein Beweis so gütlig?
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:55 Di 17.03.2009 | | Autor: | trouff |
Hi
Ich glaube, dass ich dir zu b antworten kann. Bei mir sind die Funktionen aber linear unabhängig!
[mm] \vmat{ e^{x} & x & sin(x) \\ e^{x} & 1 & cos(x) \\ e^{x} & 0 & -sin(x) }\to
[/mm]
[mm] \vmat{ 0 & x - 1 & sin(x) - cos(x) \\ e^{x} & 1 & cos(x) \\ e^{x} & 0 & -sin(x) } \to
[/mm]
[mm] \vmat{ 0 & x - 1 & sin(x) - cos(x) \\ 0 & 1 & cos(x) -sin(x) \\ e^{x} & 0 & -sin(x) } \to
[/mm]
- [mm] \vmat{e^{x} & 0 & -sin(x) \\ 0 & 1 & cos(x) -sin(x) \\ 0 & x - 1 & sin(x) - cos(x) } \to
[/mm]
[mm] -e^{x}((sin(x)-cos(x))-(x-1)(cos(x)-sin(x))= -e^{x}(-x(cos(x)-sin(x)))
[/mm]
= [mm] e^{x}x(cos(x)-sin(x))
[/mm]
[mm] \Rightarrow \{e^{x},x,sin{x}\} [/mm] ist linear unabhängig.
Wenn es nicht stimmt ist korrektut erwünscht!
Mfg trouff
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> Hi
>
> Ich glaube, dass ich dir zu b antworten kann. Bei mir sind
> die Funktionen aber linear unabhängig!
>
> [mm]\vmat{ e^{x} & x & sin(x) \\ e^{x} & 1 & cos(x) \\ e^{x} & 0 & -sin(x) }\to[/mm]
>
> [mm]\vmat{ 0 & x - 1 & sin(x) - cos(x) \\ e^{x} & 1 & cos(x) \\ e^{x} & 0 & -sin(x) } \to[/mm]
>
> [mm]\vmat{ 0 & x - 1 & sin(x) - cos(x) \\ 0 & 1 & cos(x) \red{+}sin(x) \\ e^{x} & 0 & -sin(x) } \to[/mm]
Hallo,
an dieser Stelle hattest Du ein falsches Minuszeichen.
Abgesehen von dem Vorzeihenfehlerchen:
>
> - [mm]\vmat{e^{x} & 0 & -sin(x) \\ 0 & 1 & cos(x) -sin(x) \\ 0 & x - 1 & sin(x) - cos(x) } \to[/mm]
>
> [mm]-e^{x}((sin(x)-cos(x))-(x-1)(cos(x)-sin(x))= -e^{x}(-x(cos(x)-sin(x)))[/mm]
>
> = [mm]e^{x}x(cos(x)-sin(x))[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \{e^{x},x,sin{x}\}[/mm] ist linear unabhängig.
Wie Du hier den Schluß ziehst, wird nicht klar.
Das müßtest Du weiter ausführen.
man erkennt nicht, wie Du die Aussage aus a) verwendest.
Gruß v. Angela
>
> Wenn es nicht stimmt ist korrektut erwünscht!
>
> Mfg trouff
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Di 17.03.2009 | | Autor: | trouff |
Hallo
Um meinen letzten Schritt abschließend zu klären, könnte man für x, 1 einsetzen. Mit x=1 ist die Determinante ungeleich null und daraus resultiert, dass die Funktionen linear unabhängig sind!
Mfg trouff
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Di 17.03.2009 | | Autor: | Yami |
Ja aber das gilt dann nur für ein x wert aber das muss ja für alle x Werte aus [mm] \IR [/mm] gelten oder sehe ich das falsch?
Weil wenn wir nun für x = 0 einsetzen ist es linear abhängig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:35 Di 17.03.2009 | | Autor: | trouff |
Hi
Das siehst du falsch :D.
In der Aufgabenstellung steht: Falls ein x [mm] \in \IR [/mm] existiert mit W [mm] \not= [/mm] 0, dann linear unabhängig!
Mfg trouff
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 Di 17.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Yami,
> Ja aber das gilt dann nur für ein x wert aber das muss ja
> für alle x Werte aus [mm]\IR[/mm] gelten oder sehe ich das falsch?
> Weil wenn wir nun für x = 0 einsetzen ist es linear
> abhängig.
naja, das ist ein Missverständnis:
Die Gleichung [mm] $\sum_{k=1}^n \lambda_k f_k(t)=0$ [/mm] für alle [mm] $t\,$ [/mm] muss [mm] $\lambda_k=0$ [/mm] für jedes $k [mm] \in \{1,\;...,\;n\}$ [/mm] implizieren.
Dass man das i.a. nicht aus einem einzigen [mm] $t_0$ [/mm] erhält, sieht man, wenn die [mm] $f_k$ [/mm] alle eine gemeinsame Nullstelle [mm] $t_N$ [/mm] haben. Schau' Dir mal an, wie man z.B. beweist, dass (z.B. je endliche viele) Funktionen (der Bauart)
[mm] $$f_k(x):=x^k\;\;\; [/mm] (x [mm] \in \IR)$$ [/mm]
linear unabhängig sind.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 Di 17.03.2009 | | Autor: | Yami |
Es tut mir wirklich leid das ich das nicht in mein Kopf bekomme oder die hilfen vielleicht richtig versteh aber die Antwort hilft mir nicht weiter.
in b) sollte ich ja unter Anwendung von a) zeigen das [mm] e^x, [/mm] x , sin(x) linear unabhängig sind
da ich wie man sieht schon genug problem mit a habe ist b nur so gelöst worden wie ich a verstanden bzw. gelöst habe.
alo zunächst bringe ich das in diese form:
[mm] \vmat{ e^x & x & sin(x) \\ e^x & 1 & cos(x) \\ e^x & 0 & -sin(x) }
[/mm]
in a) steht ja auch noch: Falls ein x [mm] \in \IR [/mm] existiert mit det(a) [mm] \not= [/mm] 0 das es linear unabhängig ist
aus dieser Aussage dachte ich mir wenn ich ein x [mm] \in \IR [/mm] finde wofür das vielleicht nicht gilt also wo die det(A) = 0 wird sei es gezeigt.
Doch wie es aussieht liege ich da falsch ich hoffe ich habe mein Problem präziser dargestellt so das euch das antworten leichter fällt
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 Di 17.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> in a) steht ja auch noch: Falls ein x [mm]\in \IR[/mm] existiert mit
> det(a) [mm]\not=[/mm] 0 das es linear unabhängig ist
diese Aussage ist richtig, anstatt det(a) meinst Du nur sicher det($A$). Und Du solltest das Wort 'es' mal konkretisieren:
'Es' meint hier die (oder das System der) Funktionen [mm] $f_1,...,f_n\,.$
[/mm]
Warum diese Aussage stimmt, steht hier.
> aus dieser Aussage dachte ich mir wenn ich ein x [mm]\in \IR[/mm]
> finde wofür das vielleicht nicht gilt also wo die det(A) =
> 0 wird sei es gezeigt.
Nein. Was stimmt, ist: Wenn für ein [mm] $x\,$ [/mm] die Determinante der Wronski-Matrix nicht verschwindet, dann sind [mm] $f_1,...,f_n$ [/mm] linear unabhängig. Es kann sein, dass Du ein solches [mm] $x\,$ [/mm] sehr lange suchen musst, weil die Determinante der Wronskimatrix, auch, wenn die [mm] $f_1,...,f_n$ [/mm] linear unabhängig sind, an sehr vielen anderen Stellen verschwinden kann.
Anders gesagt:
Selbst, wenn Du wüßtest, dass die obige Determinante überall verschwindet, so könntest Du daraus nicht auf die lineare Abhängigkeit der [mm] $f_1,...,f_n$ [/mm] schließen.
Also sinnvollerweise, weil die Betrachtete Stelle ja auch bedeutend ist, schreibe ich anstatt [mm] $\,A$ [/mm] mal [mm] $A(t)\,$:
[/mm]
Findet man ein [mm] $x\,$ [/mm] so, dass det$(A(x)) [mm] \not=0\,,$ [/mm] so sind [mm] $f_1,...,f_n$ [/mm] linear unabhängig.
(Das ist wegen der Kontraposition gleichwertig mit der Aussage:
Sind [mm] $f_1,...,f_n$ [/mm] linear abhängig, so verschwindet die Determinante der Wronskimatrix an allen Stellen.)
Findet man aber kein [mm] $x\,$ [/mm] so, dass det$(A(x)) [mm] \not=0\,,$ [/mm] so weiß man nicht, ob [mm] $f_1,\,...,f_n$ [/mm] linear abhängig oder unabhängig sind.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Di 17.03.2009 | | Autor: | Yami |
Danke für deine bemühungen es uns näher zu bringen, doch ich glaube ich muss mir das hier nochmal ganz in ruhe angucken.
nur um mal zu sehen wie es geht wie würde denn die überprüfung von [mm] e^x, [/mm] x , sin(x) auf lineare unabhängigkeit unter anwendung von a) aussehen?
ch habe mir nämlich nochmal gedanken gemacht und b) mit der hilfe einer älteren Aufgabe gelöst:
nehmen wir wieder die drei funktionen: [mm] e^x, [/mm] x , sin(x), ich kann die lineae unabhängigkeit doch auch so zeigen:
F(x) = [mm] \lambda_1 [/mm] * [mm] f_1(x) [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] * [mm] f_2(x) [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] * [mm] f_3(x) [/mm] = 0
wenn ich nun für x = 0 einsetze erhalte ich für [mm] \lambda_1 [/mm] = 0 somit bleibt nur noch F(x) = [mm] \lambda_2 [/mm] * [mm] f_2(x) [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] * [mm] f_3(x)
[/mm]
mit x = [mm] \pi
[/mm]
folgt das [mm] \lambda_2 [/mm] = 0 ist. Es bleibt nur noch F(x) = [mm] \lambda_3 [/mm] * [mm] f_3(x) [/mm] woraus folgt das [mm] \lambda_3 [/mm] * [mm] f_3(x) [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow \lambda_3 [/mm] = 0
somit ist gezeigt das [mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_3 [/mm] = 0 sind und die drei Funktionen linear unabhängig sind, das wäre doch jetzt auch ein gültiger beweis oder?
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> nur um mal zu sehen wie es geht wie würde denn die
> überprüfung von [mm]e^x,[/mm] x , sin(x) auf lineare unabhängigkeit
> unter anwendung von a) aussehen?
Hallo,
Berechne die Determinante der fraglichen matrix und finde ein x, für welches die Det. nicht =0 ist.
>
> ch habe mir nämlich nochmal gedanken gemacht und b) mit der
> hilfe einer älteren Aufgabe gelöst:
>
> nehmen wir wieder die drei funktionen: [mm]e^x,[/mm] x , sin(x), ich
> kann die lineae unabhängigkeit doch auch so zeigen:
>
> F(x) = [mm]\lambda_1[/mm] * [mm]f_1(x)[/mm] + [mm]\lambda_2[/mm] * [mm]f_2(x)[/mm] + [mm]\lambda_3[/mm]
> * [mm]f_3(x)[/mm] = 0
>
> wenn ich nun für x = 0 einsetze erhalte ich für [mm]\lambda_1[/mm] =
> 0 somit bleibt nur noch F(x) = [mm]\lambda_2[/mm] * [mm]f_2(x)[/mm] +
> [mm]\lambda_3[/mm] * [mm]f_3(x)[/mm]
>
> mit x = [mm]\pi[/mm]
>
> folgt das [mm]\lambda_2[/mm] = 0 ist. Es bleibt nur noch F(x) =
> [mm]\lambda_3[/mm] * [mm]f_3(x)[/mm] woraus folgt das [mm]\lambda_3[/mm] * [mm]f_3(x)[/mm] = 0
> [mm]\Rightarrow \lambda_3[/mm] = 0
>
> somit ist gezeigt das [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]\lambda_2[/mm] = [mm]\lambda_3[/mm] = 0
> sind und die drei Funktionen linear unabhängig sind, das
> wäre doch jetzt auch ein gültiger beweis oder?
Ja.
Gruß v. Angela
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> Fangen wir mal an:
>
> Aufgabe 1: Wronksi determinante
>
> Seien [mm]f_1(x), f_2(x), f_3(x)[/mm] zweimal stetig
> differenzierbare Funktionen auf [mm]\IR[/mm]
>
> a) Zeigen Sie: Falls ein x [mm]\in \IR[/mm] existiert mit
>
> [mm]\vmat{ f_1 & f_2 & f_3 \\ f^'_1 & f^'_2 & f'_3 \\ f^''_1 & f^''_2 & f''_3} \not=[/mm]
> 0
>
> dann folgt, daß [mm]{f_1, f_2, f_3}[/mm] linear unabhängig ist.
> Untersuchen Sie, ob auch die Umkehrung gilt.
>
> zu a)
>
> ich weiß ja das für Alle x [mm]\in \IR[/mm] wo die determinante
> ungleich 0 ist folgt das es linear unabhängig ist
Hallo,
ich verstehe das nicht.
Was meinst Du mit "es"?
>
> wenn ich jetzt ein x habe wo meine determinante ungleich 0
> ist ist es ja linear unabhängig oder muss ich da noch mehr
> zeigen?
S.o.
Hiermit ist bisher nichts gezeigt.
Unten schreibst Du, daß Du bei Wikipedia nachgeschaut hast.
da ist der beweis doch vorgemacht.
Ebenso gibt's ein Gegenbeispiel für die Umkehrung.
Gruß v. Angela
> jetzt soll ich gucken ob die Umkehrung gilt.
>
> das heißt ich soll zeigen das aus
> [mm]\vmat{ f_1 & f_2 & f_3 \\ f^'_1 & f^'_2 & f'_3 \\ f^''_1 & f^''_2 & f''_3}[/mm]
> = 0
>
> lineare abhängigkeit hervorgeht.
>
> dies ist ja aber nicht der fall (laut wikipedia). Doch wie
> zeige ich das?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Di 17.03.2009 | | Autor: | Yami |
Wie wäre denn der Beweis oder wie beweise ich das richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Di 17.03.2009 | | Autor: | trouff |
Hallo
Ich interessiere mich auch für den Beweis der Wronski-Determinante.
Verstehe den Beweis auf Wikipedia leider nicht wirklich. Zuerst müsste ich glaube ich die "1. Formulierung als Kriterium für lineare Unabhängigkeit"
verstehen. Was ist in dem Kriterium genau W?
Ist es eine einfache Menge von Funktionen? Oder ist es eine Linearkombination? Was ist es?
Dann fängt ja der Beweis an:
Aus [mm] \sum_{k=1}^n\lambda_kf_k \equiv [/mm] folgt [mm] \sum_{k=1}^n\lambda_kf_k^{(j)}(t_0) [/mm] = 0 Warum?? Das verstehe icht nicht. Gut damit habe ich wahrscheionlich den ganzen beweis erfragt, aber irgendwie leuchtet mir das nicht ein.
Danke schonmal für eure Antworten
Mfg trouff
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Di 17.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo
>
> Ich interessiere mich auch für den Beweis der
> Wronski-Determinante.
> Verstehe den Beweis auf Wikipedia leider nicht wirklich.
> Zuerst müsste ich glaube ich die "1. Formulierung als
> Kriterium für lineare Unabhängigkeit"
> verstehen. Was ist in dem Kriterium genau W?
> Ist es eine einfache Menge von Funktionen? Oder ist es
> eine Linearkombination? Was ist es?
>
> Dann fängt ja der Beweis an:
>
> Aus [mm]\sum_{k=1}^n\lambda_kf_k \equiv \blue{0}[/mm] folgt
> [mm]\sum_{k=1}^n\lambda_kf_k^{(j)}(t_0)[/mm] = 0 Warum?? Das
> verstehe icht nicht.
das ist ganz einfach. Differenziere einfach mal bei [mm] $\sum_{k=1}^n\lambda_kf_k \equiv [/mm] 0$ beide Seiten [mm] $j\,$ [/mm] Mal, und an der Stelle [mm] $t_0$ [/mm] gilt das dann immer noch.
Schau' Dir das ganze mal z.B. für [mm] $n=3\,$ [/mm] an, für beliebiges, festes $n [mm] \in \IN$ [/mm] geht das genauso, man muss nur wissen, dass man Summen von Funktionen Summandenweise differenzieren darf und konstante Faktoren rausziehen darf:
Es gelte
[mm] $$\lambda_1 f_1(t)+\lambda_2 f_2(t)+\lambda_3 f_3(t) \equiv 0\,,$$ [/mm]
d.h. die [mm] $0\,$ [/mm] rechterhand ist die Nullfunktion (mit entsprechendem Definitionsbereich); Du kannst meinetwegen dort auch [mm] $...\equiv [/mm] n(t)$ mit [mm] $n(t):=0\,$ [/mm] für alle (betrachteten) [mm] $t\,$ [/mm] schreiben.
Dann folgt
[mm] $$\frac{d}{dt}(\lambda_1 f_1(t)+\lambda_2 f_2(t)+\lambda_3 f_3(t)) \equiv \frac{d}{dt}0$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow$$
[/mm]
[mm] $$\lambda_1 \frac{d}{dt} f_1(t)+\lambda_2 \frac{d}{dt} f_2(t)+\lambda_3 \frac{d}{dt} f_3(t) \equiv [/mm] 0$$
[mm] $$\Rightarrow$$
[/mm]
[mm] $$(\star)\;\;\;\lambda_1 f_1\!\,'(t)+\lambda_2 f_2\!\,'(t)+\lambda_3 f_3\!\,'(t)=0\;\;\;\text{für alle }t\,.$$
[/mm]
Da [mm] $(\star)$ [/mm] für alle [mm] $t\,$ [/mm] gilt, gilt [mm] $(\star)$ [/mm] insbesondere auch für [mm] $t=t_0$:
[/mm]
[mm] $$\lambda_1 f_1\!\,'(t_0)+\lambda_2 f_2\!\,'(t_0)+\lambda_3 f_3\!\,'(t_0)=0\,.$$
[/mm]
Für beliebiges $n [mm] \in \IN$ [/mm] siehst Du dann genauso, dass
[mm] $$(\star_2)\;\;\; \sum_{k=1}^n \lambda_k f_k(t) \equiv [/mm] 0$$
die Gleichung
[mm] $$\sum_{k=1}^n \lambda_k f_k\!\,'(t_0) \equiv [/mm] 0$$
impliziert. Und das wäre nach einmaliger Differentiation (also für $j=1$), sind alle [mm] $f_k$ $j\,$ [/mm] Mal differenzierbar, so kannst Du halt [mm] $(\star_2)$ $j\,$ [/mm] Mal differenzieren, dann folgt
[mm] $$\frac{d^j}{dt^j}\left(\sum_{k=1}^n \lambda_k f_k(t)\right) \equiv \frac{d^j}{dt^j} [/mm] 0$$
[mm] $$\Rightarrow$$
[/mm]
[mm] $$\sum_{k=1}^n \lambda_k f_k^{(j)}(t) \equiv 0\,,$$
[/mm]
und damit insbesondere für [mm] $t=t_0$
[/mm]
[mm] $$\sum_{k=1}^n \lambda_k f_k^{(j)}(t_0) [/mm] = [mm] 0\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Di 17.03.2009 | | Autor: | trouff |
gut... das sieht man irgendwo ein.
Aber den Beweis der Wronski Determinante verstehe ich immer noch nicht.
Also versuche ich mal eine andere Frage zu stellen, die mir evtl. weiterhilft die Determinante zu verstehen.
Das die Funktionen linear unabhängig sind, wenn deren Linearkombination nur null ergibt wenn alle lambdas null sind ist ja klar. Aber warum muss auch die linearkombination der Ableitungen null ergeben?
Danke für die Antworten.
Mfg trouff
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 Di 17.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> gut... das sieht man irgendwo ein.
> Aber den Beweis der Wronski Determinante verstehe ich
> immer noch nicht.
> Also versuche ich mal eine andere Frage zu stellen, die
> mir evtl. weiterhilft die Determinante zu verstehen.
> Das die Funktionen linear unabhängig sind, wenn deren
> Linearkombination nur null ergibt wenn alle lambdas null
> sind ist ja klar. Aber warum muss auch die
> linearkombination der Ableitungen null ergeben?
irgendwo reden wir aneinander vorbei. Ich habe die Logik extra so aufgebaut, dass man mit Kontraposition argumentiert. Und da kann man dann mit den Spaltenvektoren der Wronskimatrix argumentieren, denn wenn [mm] $f_1,...,f_n$ [/mm] linear abhängig sind, dann sind auch diese Spalten linear abhängig:
Zur Verdeutlichung zunächst mal ein 'halberdachtes' Beispiel:
Nimm' mal an, wir hätten drei linear abhängige Funktionen [mm] $f_1,\;f_2,\;f_3\,,$ [/mm] die auch zwei mal differenzierbar wären.
Wir nehmen jetzt auch mal an, wir hätten eine konkrete nichttriviale Linearkombination der Nullfunktion gefunden, wüßten also, dass bspw.
[mm] $$f_1-2f_2-4f_3=0$$
[/mm]
bzw.
[mm] $$f_1=2f_2+4f_3\,.$$
[/mm]
Das impliziert
[mm] $$f_1^{(j)}=2f_2^{(j)}+4f_3^{(j)}\,, \text{ für }j=1,2\,.$$
[/mm]
Dann wüßten wir
[mm] $$\pmat{ f_1 & f_2 & f_3 \\ f_1' & f_2' & f_3' \\ f_1'' & f_2'' & f_3'' }=\pmat{ 2f_2+4f_3 & f_2 & f_3 \\ 2f_2'+4f_3' & f_2' & f_3' \\ 2f_2''+4f_3'' & f_2'' & f_3'' }$$
[/mm]
und würden, weil die Spaltenvektoren linear abhängig sind, erkennen
[mm] $$\vmat{ f_1(t) & f_2(t) & f_3(t) \\ f_1'(t) & f_2'(t) & f_3'(t) \\ f_1''(t) & f_2''(t) & f_3''(t) }=0\;\text{ für alle }t\,.$$
[/mm]
Die Determinante der Wronskimatrix würde in obigem Falle also für alle [mm] $t\,$ [/mm] verschwinden!
Und nun der 'allgemeine Fall', dort läuft der Beweis dann kurzgesagt so:
Seien [mm] $f_1,...,f_n$ [/mm] alle [mm] $n-1\,$ [/mm] differenzierbar.
1.) Sind [mm] $f_1,...,f_n$ [/mm] linear abhängig, so sind auch, für jedes [mm] $t\,,$ [/mm] die [mm] $n\,$ [/mm] Vektoren [mm] $\vektor{f_1(t)\\f_1'(t)\\.\\.\\.\\f_1^{(n-1)}(t)},\;\vektor{f_2(t)\\f_2'(t)\\.\\.\\.\\f_2^{(n-1)}(t)},\;...,\;\vektor{f_n(t)\\f_n'(t)\\.\\.\\.\\f_n^{(n-1)}(t)}$ [/mm] linear abhängig.
(Vgl. dazu auch nochmal meine Antworten hier und hier.)
2.) Aus 1.) folgt:
Sind [mm] $f_1,...,f_n$ [/mm] linear abhängig, so ist
[mm] $$\vmat{ f_1(t) & f_2(t) & . & . & . & f_n(t) \\ f_1'(t) & f_2'(t) & . & . & . & f_n'(t)\\ . & . & . & . & . & .\\ . & . & . & . & . & .\\ . & . & . & . & . & . \\f_1^{(n-1)}(t) & f_2^{(n-1)}(t) & . & . & . & f_n^{(n-1)}(t)}=0 \text{ für alle }t\,.$$
[/mm]
Wendet man nun auf 2.) die Kontraposition an, so erhält man die Aussage:
Gibt es ein [mm] $t_0$ [/mm] so, dass [mm] $\vmat{ f_1(t_0) & f_2(t_0) & . & . & . & f_n(t_0) \\ f_1'(t_0) & f_2'(t_0) & . & . & . & f_n'(t_0)\\ . & . & . & . & . & .\\ . & . & . & . & . & .\\ . & . & . & . & . & . \\f_1^{(n-1)}(t_0) & f_2^{(n-1)}(t_0) & . & . & . & f_n^{(n-1)}(t_0)} \not=0$, [/mm] so sind [mm] $f_1,...,f_n$ [/mm] linear unabhängig.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Di 17.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Aufgabe 1: Wronksi determinante
>
> Seien [mm]f_1(x), f_2(x), f_3(x)[/mm] zweimal stetig
> differenzierbare Funktionen auf [mm]\IR[/mm]
>
> a) Zeigen Sie: Falls ein x [mm]\in \IR[/mm] existiert mit
>
> [mm]\vmat{ f_1 & f_2 & f_3 \\ f^'_1 & f^'_2 & f'_3 \\ f^''_1 & f^''_2 & f''_3} \not=[/mm]
> 0
>
> dann folgt, daß [mm]{f_1, f_2, f_3}[/mm] linear unabhängig ist.
> Untersuchen Sie, ob auch die Umkehrung gilt.
>
> b) Man untersuche, als direkte Anwendung von a), ob die
> Menge der Funktionen [mm]{e^x, x, sin(x)}[/mm] linear unabhängig
> ist.
>
> zu a)
>
> ich weiß ja das für Alle x [mm]\in \IR[/mm] wo die determinante
> ungleich 0 ist folgt das es linear unabhängig ist
>
> wenn ich jetzt ein x habe wo meine determinante ungleich 0
> ist ist es ja linear unabhängig oder muss ich da noch mehr
> zeigen?
wenn Du weißt, dass
[mm] $$\vmat{ f_1(x) & f_2(x) & f_3(x) \\ f_1'(x) & f_2'(x) & f_3'(x) \\ f_1''(x) & f_2''(x) & f_3''(x)} \not=0\,,$$ [/mm]
dann weißt Du aus der linearen Algebra nur, dass die drei Spaltenvektoren
[mm] $$\vektor{f_1(x)\\f_1'(x)\\f_1''(x)},\;\vektor{f_2(x)\\f_2'(x)\\f_2''(x)},\;\vektor{f_3(x)\\f_3'(x)\\f_3''(x)}$$
[/mm]
linear unabhängig sind (analoges kann man auch für die Zeilenvektoren der betrachteten Matrix sagen). Das ist aber etwas anderes als die Frage, ob [mm] $f_1,\;f_2,\;f_3$ [/mm] linear unabhängig sind.
Es ist aber nicht schwer, zu beweisen:
Sind [mm] $f_1,\;f_2,\;f_3$ [/mm] linear abhängig, so sind auch für jedes [mm] $\tilde{x}\,$ [/mm] die drei Spaltenvektoren [mm] $\vektor{f_1(\tilde{x})\\f_1'(\tilde{x})\\f_1''(\tilde{x})},\;\vektor{f_2(\tilde{x})\\f_2'(\tilde{x})\\f_2''(\tilde{x})},\;\vektor{f_3(\tilde{x})\\f_3'(\tilde{x})\\f_3''(\tilde{x})}$ [/mm] linear abhängig.
Und damit bekommt man eben aus der Tatsache
[mm] $$\vmat{ f_1(x) & f_2(x) & f_3(x) \\ f_1'(x) & f_2'(x) & f_3'(x) \\ f_1''(x) & f_2''(x) & f_3''(x)} \not=0$$
[/mm]
dann heraus, dass die drei Spaltenvektoren linear unabhängig sein müssen, so dass dann auch [mm] $f_1,\;f_2,\;f_3$ [/mm] linear unabhängig sein müssen (Kontraposition der blauen Aussage!).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Di 17.03.2009 | | Autor: | Yami |
Danke für deine Antwort doch so ganz leuchtet es mir nicht ein.
Wenn die determinante einer Matrix ungleich 0 ist, so heißt die Matrix regulär
A * x = 3
Matrix A ist regulär.
per definition weiß ich wenn die Matrix regulär ist sind die Zeilen der Matrix linear unabhängig und wenn die Zeilen linear unabhängig sind folgt auch das die Spalten linear unabhängig sind.
So habe ich das verstanden
So ganz verstehe ich das auch nicht warum du angefangen hast mit der linearen abhängigkeit zu argumentieren und das bei dir daraus folgt das die determinante ungleich 0 ist.
So ganz erkenne ich noch nicht den beweis der mir sagen soll das [mm] f_1, f_2, f_3 [/mm] linear unabhängig sein sollen?
und so ganz wird mir auch nicht klar was ich bei der umkehrung zeigen soll
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> A * x = 3
>
> Matrix A ist regulär.
Hallo,
was willst Du hier mit A*x=3 sagen?
> per definition weiß ich wenn die Matrix regulär ist sind
> die Zeilen der Matrix linear unabhängig und wenn die Zeilen
> linear unabhängig sind folgt auch das die Spalten linear
> unabhängig sind.
Das ist nicht per definitionem so, sondern das kann man ausrechnen.
>
> So habe ich das verstanden
>
> So ganz verstehe ich das auch nicht warum du angefangen
> hast mit der linearen abhängigkeit zu argumentieren und das
> bei dir daraus folgt das die determinante ungleich 0 ist.
Marcel hat Dir folgendes gesagt:
Du kannst beweisen, daß aus der linearen Abhängigkeit von $ [mm] f_1,\;f_2,\;f_3 [/mm] $ folgt, daß die Spaltenvektoren $ [mm] \vektor{f_1(\tilde{x})\\f_1'(\tilde{x})\\f_1''(\tilde{x})},\;\vektor{f_2(\tilde{x})\\f_2'(\tilde{x})\\f_2''(\tilde{x})},\;\vektor{f_3(\tilde{x})\\f_3'(\tilde{x})\\f_3''(\tilde{x})} [/mm] $ für jedes [mm] \tilde{x} [/mm] linear abhängig sind. Aus der Abhängigkeit der Spalten folgt, daß die Determinante mit diesen Spalten =0 ist.
Wie er schreibt, ergibt sich durch Kontraposition: [mm] (\*)Det \not= [/mm] 0 für ein x ==> [mm] f_1,\;f_2,\;f_3 [/mm] sind linear unabhängig.
> So ganz erkenne ich noch nicht den beweis der mir sagen
> soll das [mm]f_1, f_2, f_3[/mm] linear unabhängig sein sollen?
>
> und so ganz wird mir auch nicht klar was ich bei der
> umkehrung zeigen soll
Du sollst zeigen, daß die Umkehrung der Aussage [mm] (\*) [/mm] nicht gilt, und das tut man durch ein Gegenbeispiel.
Gruß v. Angela
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vgl. Beweis bei Wiki