Würfel < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:49 Do 07.12.2017 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Im Nachbarraum werden zwei Würfel geworfen. Wir erhalten die Information, dass die Augensumme aus beidenWürfeln mindestens 8 beträgt. Mit welcherWahrscheinlichkeit zeigt mindestens einer der Würfel eine 6? |
Hallo :)
Ich möchte nur wissen ob hier bedingte Wahrscheinlichkeit gefragt ist oder nur eine Schnittmenge ?
lg
Mandy_90
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Hallo Mandy,
ich würde hier mit der bedingten Wahrscheinlichkeit rechnen…
das kannst du dir einfach überlegen: Stell dir vor die Frage lautet nicht
"Mit welcher Wahrscheinlichkeit zeigt mindestens einer der Würfel eine 6?" sondern "Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Augensumme mindestens 8?".
Was würdest du antworten?
Welches Ergebnis würdest du mit bedinger WKeit erhalten und welches mit einem einfachen Schnitt?
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:09 Do 07.12.2017 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy,
>
> ich würde hier mit der bedingten Wahrscheinlichkeit
> rechnen…
Das habe ich auch gemacht, also könnte meine Lösung richtig sein. Mir kam nur noch nebenbei der Gedanke vom Schnitt deswegen wollte ich ne zweite Meinung hören. Danke :)
> das kannst du dir einfach überlegen: Stell dir vor die
> Frage lautet nicht
>
> "Mit welcher Wahrscheinlichkeit zeigt mindestens einer der
> Würfel eine 6?" sondern "Mit welcher Wahrscheinlichkeit
> ist die Augensumme mindestens 8?".
Aber wenn ein Würfel min. 6 zeigt muss die Augensumme min. 7 sein und nicht 8 oder ?
>
> Was würdest du antworten?
> Welches Ergebnis würdest du mit bedinger WKeit erhalten
> und welches mit einem einfachen Schnitt?
>
> Gruß,
> Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:00 Fr 08.12.2017 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> > "Mit welcher Wahrscheinlichkeit zeigt mindestens einer der
> > Würfel eine 6?" sondern "Mit welcher Wahrscheinlichkeit
> > ist die Augensumme mindestens 8?".
> Aber wenn ein Würfel min. 6 zeigt muss die Augensumme
> min. 7 sein und nicht 8 oder ?
Ja, aber was hat das mit der Frage zu tun?
Gruß,
Gono
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Du musst hier folgender Maßen vorgehen:
Da du weißt, dass die Augensumme mindestens 8 beträgt, schreibst du alle möglichen Kombinationen dafür auf:
1. Würfel 2. Würfel Anzahl mit mind. eine 6
2 6 1
3 5 6 1
4 4 5 6 1
5 3 4 5 6 1
6 2 3 4 5 6 5
Es gibt somit 15 Kombinationen, wovon 9 mind. eine 6 haben. Somit 9/15 = 3/5 = 0,6.
Falsch ist folgender Ansatz:
1. Würfel 2. Würfel Wahrsch. für mind. eine 6
2 6 1/5 * 1 = 1/5 (1/5 für 1. Würfel, 1 für 1 Mgl. beim 2. Würfel)
3 5 6 1/5 * 1/2 = 1/10
4 4 5 6 1/5 * 1/3 = 1/15
5 3 4 5 6 1/5 * 1/4 = 1/20
6 2 3 4 5 6 1/5 * 5/5 = 1/5 (da bei allen die 1. eine 6 ist).
Das gäbe zusammen eine W. von 37/60>36/60=3/5.
Woran liegt das?
Die Wahrscheinlichkeit, dass der 1. Wurf eine 2 war, wäre grundsätzlich 1/6, hier nur 1/5,da der 1. Wurf nicht 1 gewesen sein kann. Aber- das stimmt nicht! Für die 2 als 1. Wurf gibt es nur noch die Möglichkeit, dass der nächste Wurf eine 6 war, während für eine 6 am Anfang 5 günstige Möglichkeiten für den 2. Wurf existieren. Es ist daher 5 mal so wahrscheinlich, dass der erste Wurf eine 6 und keine 2 war!
Die bedingten W. dafür, dass der 1. Wurf eine 1 bzw. 2 bzw...6 war, beträgt 1/15 bzw. 2/15 bzw...5/15.
Man könnte somit so rechnen:
1. Würfel 2. Würfel Wahrsch. für mind. eine 6
2 6 1/5 * 1 = 1/5 (1/15 für 1. Würfel, 1 für 1 Mgl. beim 2. Würfel)
3 5 6 2/15 * 1/2 = 1/15
4 4 5 6 3/15 * 1/3 = 1/15
5 3 4 5 6 4/15 * 1/4 = 1/5
6 2 3 4 5 6 5/15 * 1 = 5/15 (da bei allen die 1. eine 6 ist).
Das macht dann auch wieder 9/15.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:50 Fr 08.12.2017 | | Autor: | Mandy_90 |
> Du musst hier folgender Maßen vorgehen:
> Da du weißt, dass die Augensumme mindestens 8 beträgt,
> schreibst du alle möglichen Kombinationen dafür auf:
>
> 1. Würfel 2. Würfel Anzahl mit mind. eine 6
>
> 2 6 1
> 3 5 6 1
> 4 4 5 6 1
> 5 3 4 5 6 1
> 6 2 3 4 5 6 5
>
> Es gibt somit 15 Kombinationen, wovon 9 mind. eine 6 haben.
> Somit 9/15 = 3/5 = 0,6.
>
> Falsch ist folgender Ansatz:
>
> 1. Würfel 2. Würfel Wahrsch. für mind. eine 6
>
> 2 6 1/5 * 1 = 1/5 (1/5 für
> 1. Würfel, 1 für 1 Mgl. beim 2. Würfel)
> 3 5 6 1/5 * 1/2 = 1/10
> 4 4 5 6 1/5 * 1/3 = 1/15
> 5 3 4 5 6 1/5 * 1/4 = 1/20
> 6 2 3 4 5 6 1/5 * 5/5 = 1/5 (da bei
> allen die 1. eine 6 ist).
Obwohl der Ansatz falsch ist, versteh ich den grad mehr als den anderen.
> Das gäbe zusammen eine W. von 37/60>36/60=3/5.
>
> Woran liegt das?
>
> Die Wahrscheinlichkeit, dass der 1. Wurf eine 2 war, wäre
> grundsätzlich 1/6, hier nur 1/5,da der 1. Wurf nicht 1
> gewesen sein kann. Aber- das stimmt nicht! Für die 2 als
> 1. Wurf gibt es nur noch die Möglichkeit, dass der
> nächste Wurf eine 6 war, während für eine 6 am Anfang 5
> günstige Möglichkeiten für den 2. Wurf existieren. Es
> ist daher 5 mal so wahrscheinlich, dass der erste Wurf eine
> 6 und keine 2 war!
>
> Die bedingten W. dafür, dass der 1. Wurf eine 1 bzw. 2
> bzw...6 war, beträgt 1/15 bzw. 2/15 bzw...5/15.
Wie genau würde das dennn rechnerisch aufgeschrieben werden, also wie kommt man mit der Formel von Bays auf die 1/15..... Und die 1 für den ersten Wurf fällt doch raus oder ? Wieso hat die dann die W. 1/15 ?
> Man könnte somit so rechnen:
>
> 1. Würfel 2. Würfel Wahrsch. für mind. eine 6
>
> 2 6 1/5 * 1 = 1/5 (1/15
> für 1. Würfel, 1 für 1 Mgl. beim 2. Würfel)
> 3 5 6 2/15 * 1/2 = 1/15
> 4 4 5 6 3/15 * 1/3 = 1/15
> 5 3 4 5 6 4/15 * 1/4 = 1/5
> 6 2 3 4 5 6 5/15 * 1 = 5/15 (da bei
> allen die 1. eine 6 ist).
Ich versteh noch nicht ganz wieso beim leetzten *1 gerechnet wird ?
> Das macht dann auch wieder 9/15.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:17 Fr 08.12.2017 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Mandy,
da ich HJKweseleit "seine" Antwort nicht vorwegnehmen möchte, nur als Mitteilung: Auf Schulniveau ist seine Antwort sicherlich ok, auf Universitätsniveau als Beantwortung einer Übungsaufgabe ist sie mir nicht zielführend. Für dein Verständnis war die Erklärung super, keine Frage, aber ein Aufschrieb an der Uni sollte anders aussehen.
Darauf zielte auch meine Rückfrage zu deiner Frage ab. Du hast die Voraussetzung gegeben:
B = "Die Summe der Augen ergibt mindestens 8."
Meine Rückfrage war: Welche Wahrscheinlichkeit würdest du unter der gegebenem Voraussetzung dem Ereignis "Die Summe der Augen ergibt mindestens 8" zuweisen.
Ich habe hier mit voller Absicht die selbe Aussage gewählt, denn dann lautet die Frage:
Wie wahrscheinlich ist es, dass die Summe der Augen mindestens 8 ist, wenn bereit vorgegeben ist, dass die Summe der Augen mindestens 8 ist.
Die Antwort wäre intuitiv: Die Wahrscheinlichkeit ist 1, weil wir ja nach einem Ereignis fragen, von dem wir bereits wissen, dass es eingetreten ist.
Betrachten wir uns nun mal die Wahrscheinlichkeit unter der bedingten W-keit und unter dem Schnitt. Für die bedingte Wahrscheinlichkeit ergibt sich:
[mm] $P[\text{"Die Summe der Augen ergibt mindestens 8."}| [/mm] B] = P[B|B] = 1$, was unserer intuitiven Eingebung entspricht.
Die Wahrscheinlichkeit für den Schnitt wäre dagegen:
[mm] $P\left(\text{"Die Summe der Augen ergibt mindestens 8."} \cap B\right) [/mm] P [mm] (B\cap [/mm] B) = P(B) < 1$
D.h. für die Aufgabe ist die bedingte WKeit anzuwenden…
Ich empfehle meinen Nachhilfeschülern immer: Wendet an, was ihr gelernt habt und versucht nicht zu viel zu denken. In 99% der Fälle verunsichert ihr euch durchs "nachdenken" und macht irgendwas falsch.
Wende stupide die Definition der bedingten WKeit an, die da mit
A= "mindestens einer der Würfel eine 6"
lautet:
$P(A | B) = [mm] \frac{P(A \cap B)}{P(B)} [/mm] = [mm] \frac{\frac{9}{36}}{\frac{15}{36}} [/mm] = [mm] \frac{9}{15}$
[/mm]
Gruß,
Gono
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> > Du musst hier folgender Maßen vorgehen:
> > Da du weißt, dass die Augensumme mindestens 8
> beträgt,
> > schreibst du alle möglichen Kombinationen dafür auf:
> >
> > 1. Würfel 2. Würfel Anzahl mit mind. eine 6
> >
> > 2 6 1
> > 3 5 6 1
> > 4 4 5 6 1
> > 5 3 4 5 6 1
> > 6 2 3 4 5 6 5
> >
> > Es gibt somit 15 Kombinationen, wovon 9 mind. eine 6 haben.
> > Somit 9/15 = 3/5 = 0,6.
> >
> > Falsch ist folgender Ansatz:
> >
> > 1. Würfel 2. Würfel Wahrsch. für mind. eine 6
> >
> > 2 6 1/5 * 1 = 1/5 (1/5 für
> > 1. Würfel, 1 für 1 Mgl. beim 2. Würfel)
> > 3 5 6 1/5 * 1/2 = 1/10
> > 4 4 5 6 1/5 * 1/3 = 1/15
> > 5 3 4 5 6 1/5 * 1/4 = 1/20
> > 6 2 3 4 5 6 1/5 * 5/5 = 1/5 (da
> bei
> > allen die 1. eine 6 ist).
>
> Obwohl der Ansatz falsch ist, versteh ich den grad mehr als
> den anderen.
Beim 1. Ansatz bedeutet z.B. die letzte Zeile: der 1. Würfel zeigte eine 6, der 2. Würfel eine 2 oder 3 oder 4 oder 5 oder 6. Es gibt also 5 Möglichkeiten (6|1),...(6|6).
Ich habe somit alle 15 mögliche Kombinationen, die zu mindestens Augensumme 8 führen, in einfacher Form aufzeigen wollen. Alle sind gleich wahrsch., 9 davon haben mindestens eine 6.
>
> > Das gäbe zusammen eine W. von 37/60>36/60=3/5.
> >
> > Woran liegt das?
> >
> > Die Wahrscheinlichkeit, dass der 1. Wurf eine 2 war, wäre
> > grundsätzlich 1/6, hier nur 1/5,da der 1. Wurf nicht 1
> > gewesen sein kann. Aber- das stimmt nicht! Für die 2 als
> > 1. Wurf gibt es nur noch die Möglichkeit, dass der
> > nächste Wurf eine 6 war, während für eine 6 am Anfang 5
> > günstige Möglichkeiten für den 2. Wurf existieren. Es
> > ist daher 5 mal so wahrscheinlich, dass der erste Wurf eine
> > 6 und keine 2 war!
> >
> > Die bedingten W. dafür, dass der 1. Wurf eine 1 bzw. 2
> > bzw...6 war, beträgt 1/15 bzw. 2/15 bzw...5/15.
>
> Wie genau würde das dennn rechnerisch aufgeschrieben
> werden, also wie kommt man mit der Formel von Bays auf die
> 1/15..... Und die 1 für den ersten Wurf fällt doch raus
> oder ? Wieso hat die dann die W. 1/15 ?
Ich benutze hier die Formel von Bayes nur indirekt. Der 1. Wurf kann keine 1 sein, sonst kommt man nicht auf 8 Augen. Also kommen für den 1. Wurf nur die Zahlen 2 - 6 in Frage. Die sind beim Würfeln alle gleich wahrscheinlich - aber nicht, wenn man schon weiß, dass es insgesamt 8 Augen waren. ! und 6 sind normaler Weise auch gleich wahrscheinlich, aber bei Augensumme 8 hat die 1 im 1. Wurf die W. 0 und nicht mehr 1/6!
Für die 6 im 1. Wurf gibt es anschließend 5 Mgl., über 8 zu kommen, für die 2 im 1. Wurf aber nur eine. Also ist viel wahrscheinlicher, dass der 1. Wurf eine 6 statt eine 2 war. Das ist nun Bayes. Da es 15 Mgl. für 8 oder mehr Augen gibt, entfallen 5 auf die 1. Wurfzahl = 6, und daher kommt der 1. Faktor 5/15 in der Zeile. Die darauffolgende 1 (Sonderfall) gibt die W. dafür an, anschließend mindestens eine 6 zu haben. Da aber hier der 1. Wurf schon eine 6 war, ist der 2. Wurf egal, man hat immer mindestens eine 6, und somit ist die W. hier 1. Ist der 1. Wurf z.B. 4, so ist dessen W. 3/15, da es hierfür 3 günstige Mlg. für Augensumme mindestens 8 gibt. Da im 2. Wurf aber nur einer von 3 Würfen eine 6 hervorbringt, ist dann die W. noch 1/3.
Um Bayes wirklich zu üben, müsste man so vorgehen, dass man zunächst nicht weiß, dass mindestens 8 Augen gefallen sind:
Wie groß ist W., dass mindestens eine 6 fiel? 11 Kombinationen von 36 haben eine 6, also 11/36. Damit W. für keine 6: 25/36.
Wie groß ist dann jeweils die W., dass es mindestens 8 Augen waren? Bei mind eine 6. gibt es dafür 9 Mgl. (von 11) , also 9/11, bei keine 6 gibt es dafür 6 von 25 Mgl., also 6/25. Damit ist die Gesamtwahrscheinl. für mind. 1 6 und mind 8 Augen 11/36*9/11=1/4 und für keine 6 und mind 8 Augen 25/36*6/25=1/6.
Also ist die Gesamtwahrsch. für mind 8 Augen 1/4+1/6=5/12, davon entfallen 1/4 auf gleichzeitig 6 Augen, damit ist die bedingte W. 1/4 : 5/12 = 3/5 = 9/15.
>
> > Man könnte somit so rechnen:
> >
> > 1. Würfel 2. Würfel Wahrsch. für mind. eine 6
> >
> > 2 6 1/5 * 1 = 1/5 (1/15
> > für 1. Würfel, 1 für 1 Mgl. beim 2. Würfel)
> > 3 5 6 2/15 * 1/2 = 1/15
> > 4 4 5 6 3/15 * 1/3 = 1/15
> > 5 3 4 5 6 4/15 * 1/4 = 1/5
> > 6 2 3 4 5 6 5/15 * 1 = 5/15 (da
> bei
> > allen die 1. eine 6 ist).
>
> Ich versteh noch nicht ganz wieso beim leetzten *1
> gerechnet wird ?
>
> > Das macht dann auch wieder 9/15.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:03 Fr 08.12.2017 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
auch wenn ich deinem Artikel inhaltlich zustimme, möchte ich doch eine Sache anmerken:
> Du musst hier folgender Maßen vorgehen:
Ich denke da gibt es mehr als deinen Ansatz um zum Ergebnis zu kommen ^^
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:44 Fr 08.12.2017 | | Autor: | rabilein1 |
> Im Nachbarraum werden zwei Würfel geworfen. Wir erhalten die Information, dass die Augensumme aus beiden Würfeln mindestens 8 beträgt.
> Mit welcher Wahrscheinlichkeit zeigt mindestens einer der Würfel eine 6?
Wie ich sehe, hat es hier eine lange Diskussion gegeben, die ich aber nicht durchgelesen habe. Vom Prinzip her würde ich aber folgnedermaßen vorgehen:
1.) Notiere alle 6*6 (=36) möglichen Würfel-Ergebnisse (Möglichkeiten).
2.) Streiche daraus alle Möglichkeiten weg, bei denen die Augensumme weniger als 8 ist.
3.) Von den verbliebenen Möglichkeiten: Markiere alle Ereignisse, bei denen mindestens eine 6 gefallen ist.
4.) Dividiere die 6-er-Ergebnisse aus 3.) durch die verbliebenen Möglichkeiten aus 2.)
Auf diese Weise bekommst du zumindestens ein " optisch sicheres" Ergebnis.
> Ich möchte nur wissen ob hier bedingte Wahrscheinlichkeit gefragt ist oder nur eine Schnittmenge ?
Wenn du so vorgehst wie von mir beschrieben, siehst du eventuell, ob das mehr mit "bedingter Wahrscheinlichkeit" oder mit "Schnittmenge" zu tun hat.
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> Im Nachbarraum werden zwei Würfel geworfen. Wir erhalten
> die Information, dass die Augensumme aus beidenWürfeln
> mindestens 8 beträgt. Mit welcherWahrscheinlichkeit zeigt
> mindestens einer der Würfel eine 6?
> Hallo :)
> Ich möchte nur wissen ob hier bedingte Wahrscheinlichkeit
> gefragt ist oder nur eine Schnittmenge ?
>
> lg
> Mandy_90
Hallo Mandy,
sobald man das "Vorwissen", dass die Augensumme mindestens 8 beträgt, in die Überlegungen und Berechnungen einbezieht, hat man es natürlich mit einer bedingten Wahrscheinlichkeit zu tun, nämlich:
P("mindestens eine Sechs" | "Augensumme ≥ 8")
oder, etwas anders formuliert:
P( x=6 [mm] \vee [/mm] y=6 | x+y ≥ 8 )
Wahrscheinlichkeitswerte sind immer von dem Fundus an Vorwissen abhängig, von dem man ausgeht. Kommen neue Zusatzkenntnisse dazu, können sich Wahrscheinlichkeiten ändern (wegen der neuen Bedingungen).
LG , Al-Chw.
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