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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:26 Di 26.12.2006 | | Autor: | ginababy |
| Aufgabe | Einem Würfel (Kantenlänge a) wird in der abgebildeten Weise ein Tetraeder (Kantenlänge b) einbeschrieben. Die Länge a ist zahlenmäßig bekannt.
a) Geben Sie den Rauminhalt V_Tetraeder an (ausgedrückt durch a)
b) Den Würfel kann man sich zusammengesetzt denken aus dem Tetraeder sowie vier Pyramiden gleichen Grundflächeninhalts. Wie groß ist der Rauminhalt V_Pyramide jeder dieser Pyramiden?
c) Machen Sie die Probe, ob die Summe aller 5 Pyramiden- Rauminhalte in der Tat gleich dem Rauminhalt des Würfels ist. |
Zu
a) hab ich einfach nur V= [mm] \wurzel{2} [/mm] : 12 * a³ =0,12a³
bei aufgabe b) weiß ich nicht genau da hab ich einfach nur V=1/3 G*h stehen und für G hab ich noch eingesetzt a*b
also V=1/3*a*b*h
bei c weiß ich überhaupt nicht mehr weiter weil mich die aufgabe ganz schön stutzig macht irgendwie hab ich das gefühl dass alles total falsch angegangen zu haben :-(
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Hmh, leider weiß hier keiner, wie genau dein Tetraeder in dem Würfel sitzt. Ich denke mal, so wie auf ![[]](/images/popup.gif) http://www.hattendoerfer.de/friedrich/anageo/node36.html ?
Wie du auf dein Ergebnis in a) kommst, weiß ich nicht. Kannst du das ein wenig erläutern? 0,12 vom Würfelinhalt finde ich etwas wenig.
Zur b)
Nun, die Grundfläche ist doch bruch{a*a}{2}, und die Höhe ist auch a. Also [mm] $V_p=\bruch{a^3}{6}$. [/mm] Davon gibt es vier (!) Stück, nicht 5, also [mm] $V_{4p}=\bruch{2}{3}a^3$
[/mm]
Zusammen mit dem Volumen des Tetraeders muß das ja wieder das Würfelvolumen a³ ergeben, das ist Aufgabe c).
Naja, und das wäre dann der Fall, wenn das Tetraedervolumen [mm] $V_{T}=\bruch{1}{3}a^3$ [/mm] wäre.
Also scheinst du dich wohl bei a) verrechnet zu haben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 Di 26.12.2006 | | Autor: | ginababy |
ja wie auf dem link sieht mein tetraeder aus.
zu a) ich habe einfach nach der formel für das volumen geschaut und ich hab unter tetraeder die formel V=( [mm] \wurzel [/mm] {2} : 12)* a³ gefunden und beim ausrechnen kam ich auf 0,12a³
zu b) deine antwort kann ich nachvollziehen
zu c) ich verstehe nicht wie man da auf die formel kommt, wo ich ja was ganz anderes gefunden hab also wie rechne ich dass denn aus um darauf zu kommen?
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Zur a)
Naja, wenn in der Formel ein a steht, mußt du doch erstmal schaun, ob das das gleiche a wie bei dir ist. Das ist eine der wichtigsten Dinge in der Geometrie! Ich meine a²+b²=c² kennst du, aber was ist, wenn das Dreieck die Seiten x,y,z hat?
Also, schau dir deine Figur genau an. Der Tetraeder hat die Seitenlänge [mm] $(a*\wurzel{2})$. [/mm] Das ist das, was in deinem Formelheft mit a bezeichnet wird.
Eingesetzt ergibt sich [mm] $V_T=\bruch{\wurzel{2}}{12}(a*\wurzel{2})^3=\bruch{1}{12}a^3*\wurzel{2}^4=\bruch{1}{12}a^3*4=\bruch{1}{3}a^3$
[/mm]
Na, sag ich doch!
Und jetzt paßt auch Aufgabe c). Das Tetraedervolumen zusammen mit dem Volumen der vier Pyramiden sollte a³ ergeben, und das tut es.
Die Pyramide ACDH im Bild hat die Grundfläche ACD, und das wiederum ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten AC=a, AD=a. Die kann man als Breite und Höhe des Dreiecks nehmen, um die Grundfläche zu berechnen. Die Höhe DH=a komplettiert dann deine Volumenformel.
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