Würfelaufgabe < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 Mo 02.07.2007 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Mit [mm] X_{n} [/mm] wird die Anzahl der geworfenen 6 in einer Serie von n unabhängigen Würfen mit einem Würfel bezeichnet.
(i) Welcher Wahrscheinlichkeitsverteilung unterliegt [mm] X_{n}?
[/mm]
(ii) Für [mm] \varepsilon [/mm] = 0,01 bestimme man eine Anzahl [mm] n_{o} [/mm] von unabhängigen Würfen, so dass
P({| [mm] \bruch{X_{n_{0}}}{n_{0}} -\bruch{1}{6} [/mm] | [mm] \le [/mm] 0,01 }) [mm] \ge [/mm] 0,5
gilt, sowohl mit Hilfe der Tschebyscheffschen Ungleichung, der Hoeffdingschen Ungleichung als auch approximativ mittels des zentralen Grenzwertsatzes. |
Hallo,
Handelt es sich, bei der Verteilung , von einer Bernoulli-Verteilung oder der Binomialverteilung , also B(1,p) oder B(n,p) ? Denn die Erwartungswerte und die Varianzen unterscheiden sich dabei.
(ii) habe ich noch nicht genauer angeschaut. Jedoch , ich merke , dass man dafür z.B für die Tschebyschew - Ungleichung den Erwartungswert und Varianz braucht, die sich wie gesagt unterscheiden ( im Falle der Bernoulli - bzw. Binomialverteilungen)
Kann mir hier jemand helfen?
Schöne Grüße
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 Mo 02.07.2007 | | Autor: | luis52 |
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> Handelt es sich, bei der Verteilung , von einer
> Bernoulli-Verteilung oder der Binomialverteilung , also
> B(1,p) oder B(n,p) ? Denn die Erwartungswerte und die
> Varianzen unterscheiden sich dabei.
Binomialverteilung.
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> (ii) habe ich noch nicht genauer angeschaut. Jedoch , ich
> merke , dass man dafür z.B für die Tschebyschew -
> Ungleichung den Erwartungswert und Varianz braucht, die
> sich wie gesagt unterscheiden ( im Falle der Bernoulli -
> bzw. Binomialverteilungen)
Wenn [mm] $X_n$ [/mm] binomialverteilt ist, was besagt denn dann die TU fuer
diese Verteilung? Und was besagt sie fuer [mm] $X_{n_0}/n_0$?
[/mm]
lg
Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:10 Mo 02.07.2007 | | Autor: | Igor1 |
Hallo luis52 !
was bedeutet TU ? Was mir als einziges dabei in den Sinn kommt, ist Technische Universität  .
Wenn ich richtig verstanden habe, dann gucke ich das mal nach
Schöne Grüße
Ach Ja !! TU ist die Tschebyscheff Ungleichung !!
Für diese Frage ist keine Reaktion notwendig.
Igor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Di 03.07.2007 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
bis jetzt konnte ich folgendes erfahren: [mm] \bruch{X_{n_{0}} }{n_{0}} [/mm] ist die relative Häufigkeit. Was die Tschebyscheff-Ungleichung über die Binomial-Verteilung besagt, weiss ich nicht so direkt. Jedoch ich habe verucht, die Aufgabe zu lösen und möchte hier die Lösung vorstellen.
Ich weiss nicht, ob sie richtig ist:
(ii) [mm] P({|\bruch{X_{n_{0}} }{n_{0}}- \bruch{1}{6}| \le 0,01})=1- P({|\bruch{X_{n_{0}} }{n_{0}}- \bruch{1}{6}| > 0,01}) \le [/mm] 1- [mm] \bruch{1}{\varepsilon^{2}n_{0}}*\bruch{1}{6} *\bruch{5}{6}=1-\bruch{1388}{n_{0}}=0,5 [/mm] für [mm] n_{0}=2.776
[/mm]
Korrigiert mich bitte , wenn was falsch ist.
Die Zufallsvariablen [mm] X_{1}, X_{2}..... [/mm] müssen hier stochastisch unabhängig sein. Wie kann ich das rechnerisch beweisen, obwohl intuitiv das klar ist?
Schöne Grüße
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 Di 03.07.2007 | | Autor: | luis52 |
> Ich weiss nicht, ob sie richtig ist:
> (ii) [mm]P({|\bruch{X_{n_{0}} }{n_{0}}- \bruch{1}{6}| \le 0,01})=1- P({|\bruch{X_{n_{0}} }{n_{0}}- \bruch{1}{6}| > 0,01}) \le[/mm]
> 1- [mm]\bruch{1}{\varepsilon^{2}n_{0}}*\bruch{1}{6} *\bruch{5}{6}=1-\bruch{1388}{n_{0}}=0,5[/mm]
> für [mm]n_{0}=2.776[/mm]
>
> Korrigiert mich bitte , wenn was falsch ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (*Ich* erhalte [mm] $n_0=2778$; [/mm] du hast etwas zu kuehn gerundet.)
>
> Die Zufallsvariablen [mm]X_{1}, X_{2}.....[/mm] müssen hier
> stochastisch unabhängig sein. Wie kann ich das rechnerisch
> beweisen, obwohl intuitiv das klar ist?
>
Hae? Die Variablen wurden doch als unabhaengig vorausgesetzt.
lg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Di 03.07.2007 | | Autor: | Igor1 |
Hallo luis52 !
Danke für die Korrektur !
So nebenbei... kann man es beweisen, wenn die Unabhängigkeit nicht vorausgesetzt werden würde?
Schöne Grüße
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 Di 03.07.2007 | | Autor: | luis52 |
> So nebenbei... kann man es beweisen, wenn die
> Unabhängigkeit nicht vorausgesetzt werden würde?
Was meinst du mit "beweisen"? Wenn die Variablen nicht
unabhaengig sind? Durchaus. Aber im allgemeinen wird
dies schwierig, wenn man nichts ueber die Art der Abhaengigkeit
weiss, also z.B. ueber die Kovarianz zwischen den Variablen. Diese
brauchst du zur Berechnung der Varianz von [mm] $X_n/n$, [/mm] die in
untere (oder obere) Schranke der TU eingeht.
lg
Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Di 03.07.2007 | | Autor: | Igor1 |
ich meine die Unabhängigkeit beweisen, wenn sie nicht vorausgesetzt werden würde.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:53 Di 03.07.2007 | | Autor: | luis52 |
Beweisen kannst du die Unabhaengigkeit von [mm] $X_1,...,X_n$, [/mm] wenn du
nachweisen kannst, dass sich die gemeinsame Verteilung als das Produkt
der Randverteilungen darstellen laesst, dass also (beispielsweise) gilt
[mm] $P((X_1\le x_1)\cap...\cap(X_n\le x_n))=P(X_1\le x_1)\times...\times P(X_n\le x_n)$
[/mm]
fuer alle [mm] $x_1,...,x_n\in\IR$.
[/mm]
lg luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:02 Di 03.07.2007 | | Autor: | Igor1 |
dies sieht nach einer üblichen Nachweismethode der Unabhängigkeit, ich meine damit den Ausdruck mit den W'k ganz unten . Nun muss ich möglicherweise auch die Randverteilung bzw. die gemeinsame Verteilung beachten, worüber ich wenig weiss. Denn normaleweise wird nur die W'k des Durchschnitts mit den einzelnen W'k verglichen. (ohne dass die rand bzw gemeinsame verteilung ins Spiel kommt.)
Ich habe versucht, die Unabhängigkeit mit der Formel für den Nachweis der Unabhängigkeit zu beweisen. Jetzt verstehe ich, dass man etwas über die rand bzw . gemeinsame Verteilung wissen muss.
Ich schaue mal das im Buch nach
Vielen Dank für die Hilfe!
Schöne Grüße
Igor
P.S: Entschuldigung
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:38 Di 03.07.2007 | | Autor: | luis52 |
>
> P.S: Entschuldigung
Schon gut. Das kann im Eifer des Gefechts schon mal passieren. 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 Mi 04.07.2007 | | Autor: | Igor1 |
Hallo ,
mit Hilfe der Hoeffdingschen-Ungleichung habe ich ein Ergebnis für [mm] n_{0}=6934. [/mm]
Jetzt muss man noch approximativ mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes [mm] n_{0} [/mm] bestimmen, so dass die ganz oben stehende Voraussetzung gilt.
Ich brauche bei dieser Aufgabe eine kleine Starthilfe , einen Tipp, wie man hier vorgehen sollte.
Schöne Grüße
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:27 Mi 04.07.2007 | | Autor: | luis52 |
> Jetzt muss man noch approximativ mit Hilfe des Zentralen
> Grenzwertsatzes [mm]n_{0}[/mm] bestimmen, so dass die ganz oben
> stehende Voraussetzung gilt.
>
> Ich brauche bei dieser Aufgabe eine kleine Starthilfe ,
> einen Tipp, wie man hier vorgehen sollte.
Da schau her:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Moivre-Laplace
lg
Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Do 05.07.2007 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Luis,
alles , was ich bis jetzt über den zentralen Grenzwertsatz erfahren habe bzw. wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen sollte, ist:
den linken Term [mm] \bruch{X{n_{0}}}{n_{0}}-\bruch{1}{6} [/mm] zentrieren, dann normalisieren ; dann folgt : [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}}(\summe_{i=1}^{n}A_{i}) \to [/mm] N(0,1) mit [mm] A_{n}=\bruch{X_{n}-E(X_{n})}{\wurzel{Var(X_{n})}}.
[/mm]
Wie sollte ich weiter vorgehen?
Schöne Grüße
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 Do 05.07.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Igor,
fuer dein [mm] $X_n$ [/mm] besagt der ZGS:
[mm] $P\left(z_1\le\frac{\displaystyle \sqrt{n}(X_n/n-1/6)}{\displaystyle
\sqrt{(1/6)(5/6)}}\le z_2\right)\to\Phi(z_2)-\Phi(z_1)$
[/mm]
fuer [mm] $n\to \infty$. [/mm] Ist $n$ hinreichend gross, so ist folglich
[mm] $P\left(z_1\le\frac{\displaystyle \sqrt{n}(X_n/n-1/6)}{\displaystyle
\sqrt{(1/6)(5/6)}}\le z_2\right)\approx\Phi(z_2)-\Phi(z_1)$.
[/mm]
Versuche das Ereignis $ [mm] (|\bruch{X_{n_{0}}}{n_{0}} -\bruch{1}{6}|\le [/mm] 0.01) $ in obige Form zu bringen.
lg
Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:55 Fr 06.07.2007 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Luis ,
ich habe eine Lösung mit [mm] n_{0} [/mm] = 643 herausbekommen. D.h , dass die oberste Ungleichung für diesen Wert und höher gilt.
Vielen Dank für die Tipps !
Schöne Grüße
Igor
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Mal nur so am Rande: Findest du nicht, dass "stochastische Analysis" etwas hochgegriffen ist? Einfache Wahrscheinlichkeitstheorie - um nicht Feld-, Wald- und Wiesen-Stochastik zu sagen - hätte doch genügt
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