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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:49 So 05.11.2006 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | | Ein Würfel wird n-mal (n [mm] \ge [/mm] 6) geworfen. Wie groß muss n mindestens sein, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jede Augenzahl mindestens einmal vorkommt, größer als 0,5 ist? (Hinweis: Ein- und Ausschlussprinzip!) |
Hallo alle zusammen !
Wäre toll,wenn ihr mir helfen könntet. Weiß nämlich nicht, ob meine Lösung richtig ist. Also, meine Überlegungen:
Ich splitte das Ereignis B = " jede Augenzahl mindestens einmal "
in die Teilereignis [mm] A_{6} [/mm] bis [mm] A_{n} [/mm] auf, wobei
[mm] A_{i} [/mm] bedeutet,dass beim i-ten Wurf 5 Zahlen mindestens einmal vorgekommen sind UND die letzte Zahl zum ersten Mal erscheint.
Dann hat das Ereignis [mm] A_{i} [/mm] die Wkeit:
[mm] P(A_{i})= \bruch{5^{i-1}*1*6^{n-1}}{6^{n}} [/mm] = [mm] \bruch{5^{i-1}}{6^{i}}
[/mm]
B = [mm] A_{6} \cup A_{7 } \cup.... \cup A_{n}
[/mm]
Wenn ich die Wkeit von B mit der Siebformel berechne,
dann bleibt P(B) = [mm] \summe_{i=6}^{n} P(A_{i}) [/mm] , da die Schnitte der A-Ereignisse leer sind.
Mithilfe der geometrischen Reihe ergibt sich
[mm] \summe_{i=6}^{n}\bruch{1}{5}*(\bruch{5}{6})^{i}=\bruch{1-(\bruch{5}{6})^{n+1}}{1-\bruch{5}{6}}-\summe_{i=0}^{5}\bruch{1}{5}*(\bruch{5}{6})^{i}
[/mm]
= [mm] \bruch{6}{5} [/mm] - [mm] (\bruch{5}{6})^{n} [/mm] - 0,798
Jetzt muss noch die Gleichung
[mm] \bruch{6}{5} [/mm] - [mm] (\bruch{5}{6})^{n} [/mm] - 0,798 > [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
gelöst werden.
n > [mm] \bruch{lg(0,098)}{lg(\bruch{5}{6})}
[/mm]
n > 12,74
Kann das stimmen ?
Lg
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 So 05.11.2006 | | Autor: | luis52 |
Hallo Fry,
hier hat man dir eine harte Nuss zum Knacken gegeben. Die Aufgabe laeuft
in der Literatur unter "Coupon Collecter's Problem". Schau dir
beispielsweise einmal
http://www.math.uah.edu/stat/urn/Coupon.xhtml
an. Eine direkte Formel, nach der die dir gestellte Frage geloest werden koennte,
ist mir nicht bekannt. Vielleicht weiss euer Dozent(?) da mehr. Bitte
stelle die Loesung doch spaeter einmal vor. Bin neugierig.
hth
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Di 07.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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