Würfeln einer höheren Zahl < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachtet werden drei unterschiedliche faire Würfel A,B und C, auf denen die folgenden Zahlen stehen:
A: 116677
B: 224499
C: 335588
Bestimmen Sie zum Vergleich der Erfolgsaussichten zweier Würfel die Wahrscheinlichkeiten dafür, mit einem Würfel eine höhere Zahl zu würfeln als mit einem anderen. |
Zunächst habe ich versucht die Grundmenge aufzustellen, also
[mm] \Omega=\{(i,j,k)|1\le i,j,k \le 9 \wedge i,j,k \mbox{ paarweise verschieden}\}
[/mm]
[mm] |\Omega|=3^3
[/mm]
Nun ist nach dem Ereignis gefragt, mit einem Würfel eine höhere Zahl zu würfeln als mit einem anderen.
Der Würfel mit der höheren Zahl soll A sein. Die Ereignismenge würde dann folgendermaßen aussehen:
[mm] \mathcal{A}_A=\{\{6,2\},\{6,4\},\{6,3\},\{6,5\},\{7,2\},\{7,4\},\{7,3\},\{7,5\}\}
[/mm]
[mm] |\mathcal{A}_A|=8
[/mm]
Die Ereignismengen für die beiden anderen "Fälle", also mit Würfel B/C eine höhere Zahl als mit den beiden anderen zu würfeln, haben die Kardinalitäten:
[mm] |\mathcal{A}_B|=9
[/mm]
[mm] |\mathcal{A}_C|=10
[/mm]
Vielleicht könnte mir jemand Rückmeldung geben ob das soweit in Ordnung ist.
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> Betrachtet werden drei unterschiedliche faire Würfel A,B
> und C, auf denen die folgenden Zahlen stehen:
>
> A: 116677
> B: 224499
> C: 335588
>
> Bestimmen Sie zum Vergleich der Erfolgsaussichten zweier
> Würfel die Wahrscheinlichkeiten dafür, mit einem Würfel
> eine höhere Zahl zu würfeln als mit einem anderen.
> Zunächst habe ich versucht die Grundmenge aufzustellen,
> also
> [mm]\Omega=\{(i,j,k)|1\le i,j,k \le 9 \wedge i,j,k \mbox{ paarweise verschieden}\}[/mm]
>
> [mm]|\Omega|=3^3[/mm]
>
> Nun ist nach dem Ereignis gefragt, mit einem Würfel eine
> höhere Zahl zu würfeln als mit einem anderen.
>
> Der Würfel mit der höheren Zahl soll A sein. Die
> Ereignismenge würde dann folgendermaßen aussehen:
>
> [mm]\mathcal{A}_A=\{\{6,2\},\{6,4\},\{6,3\},\{6,5\},\{7,2\},\{7,4\},\{7,3\},\{7,5\}\}[/mm]
> [mm]|\mathcal{A}_A|=8[/mm]
>
> Die Ereignismengen für die beiden anderen "Fälle", also
> mit Würfel B/C eine höhere Zahl als mit den beiden
> anderen zu würfeln, haben die Kardinalitäten:
>
> [mm]|\mathcal{A}_B|=9[/mm]
> [mm]|\mathcal{A}_C|=10[/mm]
>
> Vielleicht könnte mir jemand Rückmeldung geben ob das
> soweit in Ordnung ist.
Hallo BunDemOut
Die Aufgabe erinnert sehr stark an eine bekannte
scheinbare Paradoxie der Wahrscheinlichkeits-
rechnung:
![[]](/images/popup.gif) Würfel von Bradley Efron
Ich denke, dass es sich hier um eine Variante davon
handelt. Dabei sollen die verschiedenen Würfel
jeweils nur paarweise gegeneinander "antreten",
also nicht alle 3 oder alle 4 aufs Mal, sondern (bei
deinen 3 Würfeln) betrachtet man nur die über
eine längere Spielsequenz zu erwartenden
Gewinner bei einer Spielserie zwischen A und B,
dann bei einer Spielserie zwischen A und C und
schließlich bei einer Spielserie zwischen B und C.
LG , Al-Chw.
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Also müsste ich quasi 3 Fallunterscheidungen machen und die Grund- und Ereignismenge jeweils dem Fall entsprechend anpassen?
Wieso wurde dann die Aufgabe nicht von vorneherein mit nur 2 Würfeln gestellt?
Bzw. gibt es andere Meinung zur Interpretation dieser Aufgabe?
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> Also müsste ich quasi 3 Fallunterscheidungen machen und
> die Grund- und Ereignismenge jeweils dem Fall entsprechend
> anpassen?
> Wieso wurde dann die Aufgabe nicht von vorneherein mit nur
> 2 Würfeln gestellt?
Guten Abend,
ich finde nur, dass die Fragestellung, so wie du sie ange-
geben hast:
"Bestimmen Sie zum Vergleich der Erfolgsaussichten zweier
Würfel die Wahrscheinlichkeiten dafür, mit einem Würfel
eine höhere Zahl zu würfeln als mit einem anderen."
nicht besonders geeignet ist, eine klare Aufgabenstellung
zu vermitteln. Da sollte es wenigstens möglich sein,
Rückfragen zu stellen etwa mit dem Inhalt: "Hä, Herr
Professor, was haben Sie da eigentlich genau gemeint ?"
Ich würde also so vorgehen wie schon erwähnt:
1.) Vergleich A gegen B
2.) Vergleich B gegen C
3.) Vergleich C gegen A
> Bzw. gibt es andere Meinung zur Interpretation dieser
> Aufgabe?
Diese Frage ginge an andere geneigte Leserinnen und
Leser ...
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:24 Di 08.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo BunDemOut,
> Also müsste ich quasi 3 Fallunterscheidungen machen und
> die Grund- und Ereignismenge jeweils dem Fall entsprechend
> anpassen?
Ich denke, das ist das naheliegendste.
(Falls du die Aufgabenstellung dagegen so verstehst, dass immer mit allen drei Würfeln gewürfelt wird, könntest du für alle drei Fälle die gleiche Grundmenge nehmen.)
> Wieso wurde dann die Aufgabe nicht von vorneherein mit nur
> 2 Würfeln gestellt?
Vermutlich (ich habe die Aufgabe noch nicht durchgerechnet) soll ein großer Überraschungseffekt beim Vergleich der drei Ergebnisse eintreten.
> Bzw. gibt es andere Meinung zur Interpretation dieser
> Aufgabe?
Von mir nicht.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:42 Di 08.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Betrachtet werden drei unterschiedliche faire Würfel A,B
> und C, auf denen die folgenden Zahlen stehen:
>
> A: 116677
> B: 224499
> C: 335588
>
> Bestimmen Sie zum Vergleich der Erfolgsaussichten zweier
> Würfel die Wahrscheinlichkeiten dafür, mit einem Würfel
> eine höhere Zahl zu würfeln als mit einem anderen.
> Zunächst habe ich versucht die Grundmenge aufzustellen,
> also
> [mm]\Omega=\{(i,j,k)|1\le i,j,k \le 9 \wedge i,j,k \mbox{ paarweise verschieden}\}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Für dieses [mm] $\Omega$ [/mm] würde z.B. [mm] $(1,6,7)\in\Omega$ [/mm] gelten. Für welches Ergebnis sollte $(1,6,7)$ stehen?
> [mm]|\Omega|=3^3[/mm]
Folgerichtig wäre [mm] $|\Omega|=9*8*7$.
[/mm]
Aber vielleicht meintest du ja
[mm] $\Omega:=\{(i,j,k)\;|\;i\in\{1,6,7\},j\in\{2,4,9\},k\in\{3,5,8\}\}$.
[/mm]
Das wäre eine korrekte Grundmenge für das Werfen der drei Würfel und dann wäre [mm] $|\Omega|=3^3$ [/mm] korrekt.
> Nun ist nach dem Ereignis gefragt, mit einem Würfel eine
> höhere Zahl zu würfeln als mit einem anderen.
>
> Der Würfel mit der höheren Zahl soll A sein.
Mit welchem der Würfel $B$ und $C$ vergleichst du $A$ gerade?
> Die
> Ereignismenge würde dann folgendermaßen aussehen:
>
> [mm]\mathcal{A}_A=\{\{6,2\},\{6,4\},\{6,3\},\{6,5\},\{7,2\},\{7,4\},\{7,3\},\{7,5\}\}[/mm]
Das ist weder eine Teilmenge deines [mm] $\Omega$ [/mm] noch eine Teilmenge meines [mm] $\Omega$.
[/mm]
Ereignisse sind hingegen immer Teilmengen von [mm] $\Omega$.
[/mm]
Beide [mm] $\Omega$ [/mm] bestehen aus 3-Tupeln, nicht aus 2-elementigen Mengen.
(Bei anderer Wahl von [mm] $\Omega$, [/mm] so dass [mm] $\Omega$ [/mm] den Wurf zweier statt aller drei Würfel modelliert, könnte [mm] $\Omega$ [/mm] hingegen schon aus 2-elementigen Mengen oder aus 2-Tupeln bestehen.)
> [mm]|\mathcal{A}_A|=8[/mm]
(Folgerichtig.)
Du scheinst noch grundlegende Schwierigkeiten beim Modellieren zu haben. Vielleicht hilft dir  dieses von mir geschriebene Tutorial (klick) weiter.
Viele Grüße
Tobias
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