Würfelrechnung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 Di 20.12.2011 | | Autor: | central |
Hallo erstmal. Vieleicht kann mir Ihr jemand helfen mit einer Würfelaufgabe. Ich mache z .Zt. ein fernstudium und fange gerade mit Wahrscheinlichkeitsrechnung an.
"Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mit 3 Würfeln auf einen Wurf"
a)2 gleiche u . 1 verschiedene Zahl zu bekommen
b)3 verschiedene Zahlen zu bekommen
Ich versuche mir gerade erstmal die Grundlagen zu sichern, dass klappt auch ganz gut, aber bei den etwas schwierigeren Aufgaben habert es noch, vieleicht bin ich ihr richtig, wäre schön.
Ich hoffe mir kann geholfen werden????
danke
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/3-Wuerfel-auf-einmal
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Hallo central, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Aufgaben dieser Größenordnung sind noch ganz gut zu lösen, wenn man sie gründlich analysiert.
> Hallo erstmal. Vieleicht kann mir Ihr jemand helfen mit
> einer Würfelaufgabe. Ich mache z .Zt. ein fernstudium und
> fange gerade mit Wahrscheinlichkeitsrechnung an.
>
> "Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mit 3 Würfeln auf
> einen Wurf"
> a)2 gleiche u . 1 verschiedene Zahl zu bekommen
> b)3 verschiedene Zahlen zu bekommen
Für beide Aufgaben nehmen wir mal an, die Würfel seien unterscheidbar, also z.B. verschiedenfarbig, sagen wir rot, blau und gelb. Dann ist es egal, in welcher Reihenfolge sie geworfen werden, vielleicht erst rot und gelb gleichzeitig und später der blaue oder halt sonstwie.
Fangen wir dann mal mit b) an. Die Wurfreihenfolge sei gelb, blau, rot.
Für den gelben Würfel ist ja noch egal, welche Zahl er zeigt. Also [mm] p_{g}=1. [/mm] Der blaue Würfel darf nicht die gleiche Zahl zeigen wie der gelbe, also [mm] p_b=\bruch{5}{6}. [/mm] Und der rote muss dann eine der vier verbliebenen Zahlen zeigen, also [mm] p_r=\bruch{4}{6}. [/mm]
Die gesamte Wahrscheinlichkeit für das gesuchte Ereignis beträgt also [mm] p=p_g*p_b*p_r=\bruch{5}{9}.
[/mm]
Bei Aufgabe a) kommt man auf diesem Weg nicht um eine Fallunterscheidung herum. Die Wurfreihenfolge sei wie eben schon.
Für den gelben Würfel ist es wieder egal, [mm] p_g=1
[/mm]
Danach gibt es drei Fälle:
1) blau hat die gleiche Zahl wie gelb, also [mm] p_b=\bruch{1}{6}, [/mm] und rot eine andere, also [mm] p_r=\bruch{5}{6};
[/mm]
2) blau hat eine andere Zahl als gelb, also [mm] p_b=\bruch{5}{6}, [/mm] aber rot die gleiche wie gelb, also [mm] p_r=\bruch{1}{6};
[/mm]
3) blau und rot haben zwar die gleiche Zahl, aber eben eine andere als gelb. Hier gilt also [mm] p_b=\bruch{5}{6} [/mm] und [mm] p_r=\bruch{1}{6}.
[/mm]
Insgesamt gilt also [mm] p=\bruch{1}{6}*\bruch{5}{6}+\bruch{5}{6}*\bruch{1}{6}+\bruch{5}{6}*\bruch{1}{6}=\bruch{5}{12}.
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Mi 21.12.2011 | | Autor: | central |
Hi. Danke dir erstmal für die Antwort, ganz gut verstanden. Also Pg = 1 heißt ich kann eine x-beliebige zahl nehmen oder: den Rest habe ich dann verstanden.
Wir hatten die Aufgabe schon in der Vorlesung. Ich kann dir ja mal die Rechnung aufzeigen. Doch leider blicke ich nicht durch. Aufgabe a)
Würfel 1: p= 1/6 * 1/6* 5/6 = 5/216
Würfel 2: p= 1/6 * 5/6* 1/6 = 5/216
Würfel 3: p= 5/6 * 1/6* 1/6 = 5/216
P1+p2+p3 = 15/216 dann *6 = 90/216 = 5/12
Und Aufgabe b)
P (3gleiche Zahlen) = 1/36 = das ist klar.
P( 3 verschiedene Zahlen) da muss ich ja mit dem Gegenergebnis anfangen oder, also:
P= 1-1/36 = 35/36 und dann hat der Prof geschrieben: 35/36 – 15/36 ??? = 20/36 = 5/9
Die Ergebnisse sind wie deine, aber bei dieser Rechnung blicke ich nicht durch.
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Hallo central,
> Hi. Danke dir erstmal für die Antwort, ganz gut
> verstanden. Also Pg = 1 heißt ich kann eine x-beliebige
> zahl nehmen oder: den Rest habe ich dann verstanden.
>
> Wir hatten die Aufgabe schon in der Vorlesung. Ich kann dir
> ja mal die Rechnung aufzeigen. Doch leider blicke ich nicht
> durch. Aufgabe a)
>
> Würfel 1: p= 1/6 * 1/6* 5/6 = 5/216
> Würfel 2: p= 1/6 * 5/6* 1/6 = 5/216
> Würfel 3: p= 5/6 * 1/6* 1/6 = 5/216
>
> P1+p2+p3 = 15/216 dann *6 = 90/216 = 5/12
>
> Und Aufgabe b)
>
> P (3gleiche Zahlen) = 1/36 = das ist klar.
>
> P( 3 verschiedene Zahlen) da muss ich ja mit dem
> Gegenergebnis anfangen oder, also:
>
> P= 1-1/36 = 35/36 und dann hat der Prof geschrieben: 35/36
> – 15/36 ??? = 20/36 = 5/9
>
>
> Die Ergebnisse sind wie deine, aber bei dieser Rechnung
> blicke ich nicht durch.
>
Dieses P=[mm]\bruch{35}{36}[/mm] ist dann die Wahrscheinlichkeit dafür,
daß keine 3 Zahlen gleich sind. Demnach ist das die Wahrscheinlichkeit
dafür, daß lauter verschiedene oder zwei verschiedene Zahlen erhalten
werden.
Damit ist auch klar, daß die Wahrscheinlichkeite von zwei
verschiedenen Zahlen noch subtrahiert werden muss.
Diese berechnet sich dann zu:
[mm]P\left(\operatorname{2 \ gleiche \ Zahlen}\right)=\bruch{3!}{2!}*6*5/216=\bruch{90}{216}=\bruch{15}{36}[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit für 3 verschiedene Zahlen kann auch
so ermittelt werden:
Für die erste Zahl gibt es 6 Möglichkeiten.
Für die zweite Zahl gibt es nur noch 5 Möglichkeiten.
Für die dritte Zahl gibt es nur noch 4 Möglichkeiten.
Daher ergibt sich die Wahrscheinichkeit zu [mm]\bruch{6*5*4}{6*6*6}= \bruch{5*4}{6*6}=\bruch{20}{36}=\bruch{5}{9}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Mi 21.12.2011 | | Autor: | central |
Danke für die Antwort.
Also deine letztere Lösung klingt natürlich einfacher für mich, aber die erste ist auch nachvollziebar. Nur eine Verständnisfrage habe ich noch:
die hast mir eine Grafik erstellt für "P (2 gleiche Zahlen).......
diese verwirrt mich etwas, denn die 15/36 wurden ja abgezogen von den 35/36 Ergebnis= 20/36... und dass verstehe ich nicht...
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Hallo central,
> Danke für die Antwort.
> Also deine letztere Lösung klingt natürlich einfacher
> für mich, aber die erste ist auch nachvollziebar. Nur eine
> Verständnisfrage habe ich noch:
> die hast mir eine Grafik erstellt für "P (2 gleiche
> Zahlen).......
> diese verwirrt mich etwas, denn die 15/36 wurden ja
> abgezogen von den 35/36 Ergebnis= 20/36... und dass
> verstehe ich nicht...
>
Erkläre uns doch, was Du daran nicht verstehst.
Ist es die Wahrscheinlichkeit für "2 gleiche Zahlen"?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Mi 21.12.2011 | | Autor: | central |
...ich kann halt in dieser Rechnung die 15/36 nicht nachvollziehen, wo kommen sie her und warum werden sie abgezogen...
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Hallo central,
> ...ich kann halt in dieser Rechnung die 15/36 nicht
> nachvollziehen, wo kommen sie her und warum werden sie
> abgezogen...
>
Die [mm]\bruch{15}{36}[/mm] werden von den [mm]\bruch{35}{36}[/mm] abgezogen, weil nur die Wahrscheinlichkeit
von 3 unterschiedlichen Zahlen gesucht ist.
[mm]\bruch{15}{36}[/mm] stellt die Wahrscheinlichkeit dar, daß sich unter
3 Zahlen 2 gleiche befinden.
Die Anzahl der Permutationen, die aus den Elementen a,a,b
gebildet werden können beträgt [mm]\bruch{3!}{2!}=3[/mm]
Dazu kommt noch, daß für das Element "a" 6 Möglichkeiten bestehen,
und es daher für das Element "b" nur noch 5 Möglichkeiten gibt.
Damit gibt es für "ab" insgesamt 6*5=30 Möglichkeiten.
Dies wird jetzt mit der Anzahl Permutationen multipliziert,
damit gibt es insgesamt 3*30=90 Möglichkeiten.
Da es für jeden Würfel 6 Möglichkeiten gibt,
gibt es für 3 Würfel [mm]6^{3}=216[/mm] Möglichkeiten.
Damit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit für 2 gleiche Zahlen:
[mm]\bruch{90}{216}=\bruch{15}{36}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:49 Mi 21.12.2011 | | Autor: | central |
ok, ich danke erstmal allen, ich denke ich habe es jetzt einigermaßen, werde mich jetzt nochmal an die aufgabe setzten und nachvollziehen.
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