Würfelspiel < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 Sa 15.11.2008 | | Autor: | SpoOny |
| Aufgabe | | Ein idealer Würfel wird geworfen bis zum ersten Mal zwei Sechsen hintereinander auftreten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Spiel beim spätestens beim zwölften Wurf endet? |
Mein Wahrscheinlichkeitsraum sieht dann so aus
[mm] O_{n}:= [/mm] { [mm] (x_{1,}...,x_{n}) \in [/mm] {1,...,6} ^{n} : [mm] x_{i}*x_{i+1}<36, \forall [/mm] i=1,...n-2 , [mm] x_{n-1}=x_{n}=6 [/mm] }
betrachte [mm] |O_{n}| [/mm]
[mm] |O_{2}|= [/mm] 1 nämlich { (6,6) }
[mm] |O_{3}|= [/mm] 5 nämlich { (a,6,6) : a [mm] \in [/mm] {1,...,5} }
[mm] |O_{4}|=25 [/mm] da für jedes a [mm] \in [/mm] {1,...,5} ein ein b [mm] \in [/mm] {1,...,5} dazu kommt
also {(a,b,6,6) : a,b [mm] \in [/mm] {1,...,5}}
[mm] |O_{n}|= [/mm] 5* [mm] |O_{n-1}|
[/mm]
betrachte nun Anzahl möglicher Ereignisse für n Würfe
bezeichne [mm] A_{n} [/mm] als diese Anzahl
dann ist [mm] A_{n}= 6^{n}
[/mm]
Mit Laplace folgt
[mm] p_{n}= \bruch{|O_{n}|}{6^{n}}=\bruch{|O_{n-1}|*5}{6^{n}}
[/mm]
[mm] p_{12}= \bruch{9765625}{6^{12}}
[/mm]
Jetzt hab ich die Wahrscheinlichkeit das das Spiel genau mit zwölf würfen endet. Es ist aber von spätestens beim zwölften Wurf die Rede.
das heißt ich summiere [mm] p_{1} [/mm] bis [mm] p_{12} [/mm] und hätte dann mein Ergebnis ?
Der Eigentliche W-Raum ist ja [mm] O=O_{\infty} \cup \bigcup_{i=2}^{n} O_{i}
[/mm]
Da das Spiel ja unendlich lange dauern könnte.
Dabei habe ich nur in [mm] O_{i} [/mm] die Gleichverteilung da O nicht abzählbar ist.
Inwieweit muss ich diese Überlegung noch in meiner Lösung einbringen??
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:17 Sa 15.11.2008 | | Autor: | cp3de |
Für meine Begriffe hast du was vergessen.
Bsp.:
Bei [mm] O_{4} [/mm] ist a [mm] \in [/mm] {1,...,6} , da b [mm] \not= [/mm] 6 ist und
somit nicht zwei Sechsen hintereinander auftreten können.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Sa 15.11.2008 | | Autor: | SpoOny |
richtig danke. Ich werd das gleich überarbeiten
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:25 So 16.11.2008 | | Autor: | SpoOny |
da hab ich mal wieder nicht nachgedacht. ALSO:
betrachte [mm]|O_{n}|[/mm]
[mm] |O_{2}|=1 [/mm] nämlich { (6,6) }
[mm] |O_{3}|=5 [/mm] nämlich { (a,6,6) : a [mm] \in [/mm] {1,...,5} }
[mm] |O_{4}|=30 [/mm] da für jedes a [mm] \in [/mm] {1,...,5} ein ein b [mm] \in [/mm] {1,...,6}
sodass wir {b,a,6,6} haben
[mm] |O_{5}|= [/mm] 175
Erklärung für {c,b,a, 6,6} c [mm] \in [/mm] {1,...,5} gibt es 30*5=150
für c=6 gibt es 25 Möglichkeiten
[mm] |O_{6}|= [/mm] 1025
Erklärung für {d,c,b,a, 6,6} d [mm] \in [/mm] {1,...,5} gibt es 175*5= 875
für d=6 gibt es 150 Möglichkeiten
[mm] |O_{7}|= [/mm] 6000
Erklärung für {e,d,c,b,a, 6,6} e [mm] \in [/mm] {1,...,5} gibt es 1025*5= 5125
für e=6 gibt es 875 Möglichkeiten
Die Vorschrift ist also
[mm] |O_{n}|=5*|O_{n-1}| [/mm] + [mm] 5*|O_{n-2}| [/mm]
Gleiche Frage wie vorher auch. Ist die Summe [mm] \summe_{i=1}^{12} [/mm] p(i)=p(maximal 12 Würfe) ??
Und was mache ich mit der Gleichverteilung bzw. nicht Gleichverteilung ??
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 So 16.11.2008 | | Autor: | SpoOny |
[mm] \summe_{i=1}^{12} [/mm] p(i)= 0,23958 =p(maximal 12 Würfe) ??
die Wahrscheinlichkeit liegt also bei etwas weniger als 24%
Wenn meine obige Lösung stimmt. Oder hab ich was übersehen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 So 16.11.2008 | | Autor: | luis52 |
>
>
> [mm]\summe_{i=1}^{12}[/mm] p(i)= 0,23958 =p(maximal 12 Würfe) ??
>
> die Wahrscheinlichkeit liegt also bei etwas weniger als
> 24%
> Wenn meine obige Lösung stimmt. Oder hab ich was
> übersehen?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Sieht gut aus.
vg Luis
|
|
|
|
