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| Aufgabe | Ich habe heute an folgendem Wahrscheinlichkeitsproblem gerätselt.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei achtmaligem würfeln (Mit einem ganz normalen) mindestens einmal jede Zahl vorkommt. |
> Also ich kann acht Mal würfeln und möchte wissen wie hoch die
> Wahrscheinlichkeit ist, dass die Zahlen 1,2,3,4,5,6,x,y dabei vorkommen,
> wobei x und y natürlich gleich sein können und die Reihenfolge auch
> keine Rolle spielt.
>
> Ich wäre intuitiv so vorgegangen.
>
> Beim 1.Wurf eine bestimmte Zahl ist p=1/6
> Beim 2. bis zum 6 Wurf jeweils auch, bei den anderen beiden ist es egal.
>
> Also habe ich schon einmal [mm] (1/6)^6
[/mm]
>
> Jetzt habe ich noch 6! verschiedene Anordnungen, also [mm] (1/6)^6*6!, [/mm] aber > ich kann das nicht recht glauben weil die letzten beiden Würfe müssen
> sich irgendwie auswirken.
Hallo,
unterscheide folgende Grundfälle:
- eine Zahl kommt genau dreimal (das kann jede der 6 Zahlen sein) und alle anderen kommen genau einmal
- genau zwei Zahlen kommen doppelt (es gibt 15 Möglichkeiten, welche die beiden Zahlen sind) und die restlichen 4 Zahlen kommen genau einmal.
Gruß Abakus
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> Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei achtmaligem
> würfeln (Mit einem ganz normalen) mindestens einmal jede
> Zahl vorkommt. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Du meinst die Wahrscheinlichkeit, dass jede Zahl (1,2,3,4,5,6)
mindestens einmal vorkommt.
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal jede Zahl
vorkommt, ist nämlich gleich Null, denn in jedem einzelnen
Wurf erscheint ja nur genau eine (und nie jede) Zahl.
LG
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Hallo,
dieses Problem hat es in sich, um es gleich vorneweg zu sagen.
Man kann die Frage abwandeln und danach fragen, wie lange man im Mittel würfeln muss, bis jede Zahl mindestens einmal gefallen ist. Obwohl hier die Zufallsvariable die Anzahl der Würfe beschreibt und ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion alles andere als einfach ist, so besitzt das Problem - so wie oben formuliert - doch eine verblüffend einfache Lösung. Man findet sie unter dem Oberbegriff ![[]](/images/popup.gif) Sammlerproblem bzw. auf Englisch Coupon Collectors Problem im Netz und in der Literatur.
Nun aber zu deiner Frage. Bei den verlinkten Lösungen greift man zu einem Trick, um zur Berechnung des Erwartungswertes die Berechnung der Wahrscheinlichkeitsfunktion zu umgehen. Dies ist bei deiner Frage zwar prinzipiell auch möglich, bzw. kann man die Wahrscheinlichkeit als Rekursion angeben. Das ist aber auch nicht einfacher als der Tipp, den ich dir anzubieten habe: versuche, unter Verwendung der Siebformel die Wahrscheinlichkeitsfunktion explizit aufzuschreiben. Deine Version, wie du richtig vermutest, ist leider falsch.
Gruß, Diophant
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Erst einmal vielen Dank für deinen Beitrag. Sobald es mir zeitlich möglich ist die einzelnen Ideen näher anzusehen, werde ich es bestimmt tun. Wenn jemand irgendeine Idee hat, bitte posten  Ich habe mir diese Frage heute mit 2 Freunden gestellt und es wäre bestimmt interessant festzustellen, welche verschiedenen Lösungsvorschläge es hier gibt.
Wenn ich weiß wieoft ich würfeln muss damit zu 100% alle Zahlen abgedeckt sind, kann ich das dann auch irgendwie mit den 8 Würfen (oder jeder anderen x [mm] \ge{6} [/mm] beliebigen Zahl) zusammenbringen?
Wie schaut das ganze bei 6 Würfen aus, also wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit das ich bei 6 Würfen jede Zahl genau einmal würfle? [mm] (1/6)^6 [/mm] oder [mm] \bruch{6!}{6^6} [/mm] ?
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Hiho,
> Wenn ich weiß wieoft ich würfeln muss damit zu 100% alle
> Zahlen abgedeckt sind, kann ich das dann auch irgendwie mit
> den 8 Würfen (oder jeder anderen x [mm]\ge{6}[/mm] beliebigen Zahl)
> zusammenbringen?
Damit zu 100% alle Zahlen abgedeckt sind, wirst du unendlich oft würfeln müssen.... was aber auch irgendwie klar ist, weil jede endliche Zahlenfolge mit Wahrscheinlichkeit > 0 möglich ist. Also auch bspw. alles 6en. Somit erreichst du mit Wahrscheinlichkeit > 0 NIE alle Zahlen.
> Wie schaut das ganze bei 6 Würfen aus, also wie hoch ist
> die Wahrscheinlichkeit das ich bei 6 Würfen jede Zahl
> genau einmal würfle? [mm](1/6)^6[/mm] oder [mm]\bruch{6!}{6^6}[/mm] ?
Eins von beiden stimmt. 
Wobei die Wahrscheinlichkeit hier sich einfach mit Laplace ausrechnen lässt. Da du keinen math. Hintergrund angegeben hast, lässt sich nur schwer erraten, mit welchen "Geschützen" man dir das nun erklären kann.
Laplace sagt halt [mm] $\bruch{\text{Anzahl gewollter Moeglichkeiten}}{\text{Anzahl aller Moeglichkeiten}}$
[/mm]
Wieviele Möglichkeiten gibts es 6 Zahlen zu würfeln und wieviele davon sind gewollt?
Dann hast du dein Ergebnis
MFG,
Gono.
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Mathematische Hintergrung: Uni-Niveau.
Ok, wenn ich nun 6 Mal würfle, dann ist die Wahrscheinlichkeit [mm] \bruch{6!}{6^6} [/mm] das jede Zahl genau einmal vorkommt.
Wie gesagt, wenn du Tipps für meine ursprüngliche Frage (Also wie schaut das Ganze u.a bei 8 Würfen aus) hast, nehme ich diese gerne entgegen.
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Hiho,
> Ok, wenn ich nun 6 Mal würfle, dann ist die
> Wahrscheinlichkeit [mm]\bruch{6!}{6^6}[/mm] das jede Zahl genau
> einmal vorkommt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie gesagt, wenn du Tipps für meine ursprüngliche Frage
> (Also wie schaut das Ganze u.a bei 8 Würfen aus) hast,
> nehme ich diese gerne entgegen.
naja, abzählen funktioniert auch hier. Ist nur etwas problematischer.
Du könntest es nun "von hand" ausrechnen, oder dir schnell per Computerhilfe lösen.
Sofern du nur an der Lösung interessiert bist.....
Vereinfachen kann man sich die Sache wie folgt:
von Permutation mal abgesehen hat ja jedes "günstige" Tupel die Form
(x,y,1,2,3,4,5,6)
Nun kannst du alle "günstigen" Tupel aufschreiben:
(1,1,1,2,3,4,5,6)
(1,2,1,2,3,4,5,6)
(1,3,1,2,3,4,5,6)
...
(1,6,1,2,3,4,5,6)
(2,2,1,2,3,4,5,6)
Falls du dich nun fragst, wo das Tupel (2,1,1,2,3,4,5,6) geblieben ist, das musst du natürlich weglassen, weil das ja als Permutation vom zweiten Tupel bereits existiert.
Schreibst dir also alle hin und überlegst dir dann, wieviele Möglichkeiten es für jedes Tupel gibt, das zu permutieren. Das ist halt in dem Sinne kompliziert, dass du bei gleichen Zahlen ja nicht unterscheidest zwischen "erster Eins" und "zweiter Eins" also nicht einfach 8 Zahlen auf 8 Plätze permutieren kannst, sondern jeweils die abziehen, die durch die doppelten Zahlen auch doppelt gezählt werden.
Nicht schwer, aber aufwändig.
MFG,
Gono.
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Vielen Dank für deine Antwort. Ich habe jetzt mal der Einfachheit halber angenommen, dass Würfelspiel mit nur 7 Würfen zu spielen. Also entstehen insgesamt 6 "günstige" Tupel.
Wie du bereits erläutert hast, ist mir nun das Permutieren ein Dorn im Auge. Weil ich weiß nicht wie ich am effizientesten folgendes Problem vermeide:
Ang 1.Permutation des 1.günstigen Falles schaut so aus:
(1 1 2 3 4 5 6)
Nun darf ja beim nächsten günstigen, und allen anderen Fällen u.a genau diese Permutation nicht entstehen, was jedoch der Fall wäre, würde ich ich glauben die Anzahl wäre 7!.
Ich merke schon das dies händisch sehr mühsam wäre, vielleicht hat jemand das passende Programm mit dem passenden Algorithmus um dies zu lösen, bzw. eine andere Möglichkeit verfügbar, dies schnell und effizient zu berechnen.
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Hiho,
zufällig hatte ich gerade ein ähnliches Programm da, was sich in 2-3 Minuten modifizieren lies.
Ergebnis siehst du hier.
Und hier der PHP-Code. Effizient ist anders, aber er tut, was er soll
| 1: |
| | 2: | <?php
| | 3: | ini_set('max_execution_time', 120);
| | 4: | print "Los gehts<br>";
| | 5: | $a=1; $b=1; $c=1; $d=1; $e=1; $f=1; $g=1; $h=1; $k=0;
| | 6: |
| | 7: | while ($a < 10){
| | 8: | $tupel = array($a,$b,$c,$d,$e,$f,$g,$h);
| | 9: | if (in_array(1,$tupel) && in_array(2,$tupel) && in_array(3,$tupel) && in_array(4,$tupel) && in_array(5,$tupel) && in_array(6,$tupel)){
| | 10: | $k++;
| | 11: | print "($a,$b,$c,$d,$e,$f,$g,$h)<br>";
| | 12: | }
| | 13: |
| | 14: | $h++;
| | 15: |
| | 16: | if ($h == 7){
| | 17: | $h = 1;
| | 18: | $g++;
| | 19: | }
| | 20: |
| | 21: | if ($g == 7){
| | 22: | $g = 1;
| | 23: | $f++;
| | 24: | }
| | 25: |
| | 26: | if ($f == 7){
| | 27: | $f = 1;
| | 28: | $e++;
| | 29: | }
| | 30: |
| | 31: | if ($e == 7){
| | 32: | $e = 1;
| | 33: | $d++;
| | 34: | }
| | 35: |
| | 36: | if ($d == 7){
| | 37: | $d = 1;
| | 38: | $c++;
| | 39: | }
| | 40: |
| | 41: | if ($c == 7){
| | 42: | $c = 1;
| | 43: | $b++;
| | 44: | }
| | 45: |
| | 46: | if ($b == 7){
| | 47: | $b = 1;
| | 48: | $a++;
| | 49: | }
| | 50: |
| | 51: | }
| | 52: | print "Es sind insgesamt $k Tupel";
| | 53: | ?>
|
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:37 Di 24.01.2012 | | Autor: | Omikron123 |
Danke an euch beide für eure Antworten. Laut dem php-Skript gibt es 236880 günstige Möglichkeiten. Wenn ich die Stirling Formel anwende komme ich auf 191520 günstige Mögl.
Offensichtlich muss sich beim php-Skript ein kleiner Fehler eingschlichen haben. Trotzdem danke für die Arbeit.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:49 Mi 25.01.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo Omikron123,
hier noch meine Formel:
[mm] P(X=k)=\bruch{1}{6^{k-1}}*\summe_{i=1}^{5}(-1)^{i+1}*\vektor{5 \\ i}*i^{k-1}
[/mm]
Eine Herleitung ist zeitaufwändig, das ganze basiert aber, wie schon erwähnt, auf der Siebformel bzw. dem Éinschluss-Ausschluss-Prinzip.
Damit berechnet sich die Wahrscheinlichkeit für k=8 zu
[mm] P(X=8)\approx{0,060014}
[/mm]
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 Di 24.01.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Das was du suchst, ist die Anzahl surjektiver Abbildungen einer 8-elementigen Menge in eine 6-elementige Menge. Denn deine 8 Würfe (8 Argumente aus dem Definitionsbereich) sind "gültig", wenn jeder Zielwert (die Zahlen von 1 bis 6 aus wem Wertebereich) einmal getroffen wird.
Siehe dazu hier.
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