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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Di 09.10.2007 | | Autor: | Leif |
Hallo!
Mich beschäftigt in letzter Zeit die Frage, wie ich eine Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Augensumme bei einem gleichzeitigen Wurf von mehreren Würfeln berechne. Wenn ich z.B. 3 Würfel habe und die Wahrscheinlichkeit ausrechnen möchte, dass die Summe 7 beträgt, dann kann ich das durch ein Urnenmodell mit ungeordneten Stichproben mit Zurücklegen simulieren: Jeder Würfel zeigt mindestens eine "1", daher muss ich nur die übrigen 4 Augen auf 3 Würfel verteilen. Dies berechne ich nach der bekannten Formel: [mm] \vektor{n+k-1 \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{4+3-1 \\ 3} [/mm] = 15 Möglichkeiten.
Allerdings funktioniert die Formel nur, solange die noch aufzuteilende Augenzahl 5 nicht überschreitet, da dann Fälle mitberechnet werden, in denen ein Würfel mehr als 6 Augen zeigt, was ja nicht vorkommen soll. Ich habe trotz einigen Bemühungen noch keine Lösung gefunden, die betroffenen Fälle allgemein in eine Formel zusammenfasst, um sie subtrahieren zu können. Es wäre schön wenn mir hier jemand weiterhelfen könnte!
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Hallo Leif!
> Hallo!
> Mich beschäftigt in letzter Zeit die Frage, wie ich eine
> Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Augensumme bei einem
> gleichzeitigen Wurf von mehreren Würfeln berechne. Wenn ich
> z.B. 3 Würfel habe und die Wahrscheinlichkeit ausrechnen
> möchte, dass die Summe 7 beträgt, dann kann ich das durch
> ein Urnenmodell mit ungeordneten Stichproben mit
> Zurücklegen simulieren: Jeder Würfel zeigt mindestens eine
> "1", daher muss ich nur die übrigen 4 Augen auf 3 Würfel
> verteilen. Dies berechne ich nach der bekannten Formel:
> [mm]\vektor{n+k-1 \\ k}[/mm] = [mm]\vektor{4+3-1 \\ 3}[/mm] = 15
> Möglichkeiten.
> Allerdings funktioniert die Formel nur, solange die noch
> aufzuteilende Augenzahl 5 nicht überschreitet, da dann
> Fälle mitberechnet werden, in denen ein Würfel mehr als 6
> Augen zeigt, was ja nicht vorkommen soll. Ich habe trotz
> einigen Bemühungen noch keine Lösung gefunden, die
> betroffenen Fälle allgemein in eine Formel zusammenfasst,
> um sie subtrahieren zu können. Es wäre schön wenn mir hier
> jemand weiterhelfen könnte!
Ich würde das anders machen, und zwar so:
Wenn du z. B. zwei Würfel gleichzeitig wirfst, kann die Augensumme z. B. nur dann 2 sein, wenn beide Würfel eine 1 zeigen - dafür gibt es also genau eine Möglichkeit. Eine 3 bekommst du, wenn ein Würfel eine 1 und der andere eine 2 zeigt - also auch genau eine Möglichkeit. Für eine 4 gibt es aber zwei Möglichkeiten: zwei 2en oder eine 1 und eine 3, usw.. Insgesamt gibt es [mm] 6^2=36 [/mm] Möglichkeiten bei zwei Würfeln, und dann kannst du das nach der einfachen "Formel" [mm] \frac{\mbox{Anzahl günstiger Fälle}}{\mbox{Anzahl aller Möglichkeiten}} [/mm] berechnen.
Weiß nicht, ob du so was auch nimmst, oder ob du es unbedingt mit deiner Formel machen willst...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:10 Di 09.10.2007 | | Autor: | Leif |
Die "Formel" [mm] \bruch{Anzahl günstiger Fälle}{Anzahl aller Möglichkeiten} [/mm] benutze ich ja auch am Ende. Das Problem besteht darin, die Anzahl günstiger Fälle zu berechnen! Für wenige Würfel geht das sicher noch im Kopf, doch wie mache ich das für 26 Würfel gleichzeitig und die Augensumme 87?
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 20:43 Di 09.10.2007 | | Autor: | informix |
Hallo Bastiane,
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") , da hat sich bei dir ein Fehler eingeschlichen!
> Hallo Leif!
>
> > Hallo!
> > Mich beschäftigt in letzter Zeit die Frage, wie ich
> eine
> > Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Augensumme bei einem
> > gleichzeitigen Wurf von mehreren Würfeln berechne. Wenn ich
[..]
>
> Ich würde das anders machen, und zwar so:
>
> Wenn du z. B. zwei Würfel gleichzeitig wirfst, kann die
> Augensumme z. B. nur dann 2 sein, wenn beide Würfel eine 1
> zeigen - dafür gibt es also genau eine Möglichkeit. Eine 3
> bekommst du, wenn ein Würfel eine 1 und der andere eine 2
> zeigt - also auch genau eine Möglichkeit.
leider nein:
wenn du anschließend davon ausgehst, dass es [mm] 6^2 [/mm] Möglichkeiten gibt, musst du gedanklich die Reihenfolge beachten:
Die Augensumme 3 kannst du zweimal erhalten: (1;2) und (2;1).
> Für eine 4 gibt
> es aber zwei Möglichkeiten: zwei 2en oder eine 1 und eine
> 3, usw..
wieder falsch: AS 4: (1;3) (2;2) und (3;1) also dreimal!
> Insgesamt gibt es [mm]6^2=36[/mm] Möglichkeiten bei zwei
> Würfeln, und dann kannst du das nach der einfachen "Formel"
> [mm]\frac{\mbox{Anzahl günstiger Fälle}}{\mbox{Anzahl aller Möglichkeiten}}[/mm]
> berechnen.
>
> Weiß nicht, ob du so was auch nimmst, oder ob du es
> unbedingt mit deiner Formel machen willst...
>
Da der Fragesteller mit einer großen Anzahl von Würfeln und einer hohen Augensumme rechnen will, ist diese Vorgehensweise nicht so recht günstig - mir fällt aber auch keine andere ein.
Gruß informix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 Di 09.10.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Leif,
derartige Fragestellungen kann im allgemeinen mit einer Technik loesen,
die man "Faltung" nennt. Ich knuepfe an die Ausfuehrungen von Bastiane an
und leite die Verteilung der Augensumme von zwei Wuerfeln her. Die
folgende Tabelle zeigt alle moeglichen Augensummen, die sich aus allen
Augenzahlen $x$ und $y$ bilden lassen:
[mm] \begin{tabular} {@{}ccccccc@{}}\hline
&\multicolumn{6}{c}{y}\\
x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\
2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\
6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\
\end{tabular}
[/mm]
Addierst du nun diagonal, gleichsam in Falten, identische Augensummen, so
erhaeltst du nach Bastianes "einfacher" Formel die entsprechenden
Wahrscheinlichkeiten, also
[mm] $P(X+Y=2)=\frac{1}{36},\quad
[/mm]
[mm] P(X+Y=3)=\frac{2}{36},...,P(X+Y=7)=\frac{6}{36},...,P(X+Y=12)=\frac{1}{36}$
[/mm]
Um die Verteilung von drei Wuerfeln zu erhalten, argumentiere ich wie
oben fuer $X+Y$ und die Augenzahl $Z$ des dritten Wuerfels, und zwar mit der
folgenden Tabelle:
[mm] \begin{tabular} {@{}cccccccc@{}}\hline
&& \multicolumn{6}{c}{z}\\
x+y & P(X+Y=x+y) & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
2 & 1/36 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
3 & 2/36 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
4 & 3/36 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
5 & 4/36 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\
6 & 5/36 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\
7 & 6/36 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 \\
8 & 5/36 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 \\
9 & 4/36 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\
10 & 3/36 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\
11 & 2/36 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 \\
12 & 1/36 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 \\
\hline
\end{tabular}
[/mm]
Dieser Tabelle entnehmen wir
[mm] $P(X+Y+Z=3)=P(X+Y=2)\times P(Z=1)=1/36\times1/6=1/6^3$,
[/mm]
[mm] $P(X+Y+Z=4)=P(X+Y=3)\times P(Z=1)+P(X+Y=2)\times
[/mm]
[mm] P(Z=2)=1/36\times1/6+2/36\times1/6=3/6^3$, [/mm] usw.
Mit diesem Verfahren finde ich bei 26 Wuerfen die Wahrscheinlichkeit
0.041 fuer die Augensumme 87. Das habe ich mit dem Computer berechnet,
denn eine geschlossene Formel ist mir in diesem Zusammenhang nicht
bekannt.
lg Luis
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