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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Fr 23.02.2007 | | Autor: | Italo |
| Aufgabe | | Ein Würfel wird 420-mal geworfen. In welchem Bereich liegt die Anzahl der Würfe mit Augenzahl 6 mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 95%? |
Ich habe Probleme mit der Verständlichkeit dieser Aufgabe. Könnte sie mir bitte jemand etwas erläutern?
LG, Italo
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Hi, Italo,
> Ein Würfel wird 420-mal geworfen. In welchem Bereich liegt
> die Anzahl der Würfe mit Augenzahl 6 mit einer
> Wahrscheinlichkeit von ungefähr 95%?
> Ich habe Probleme mit der Verständlichkeit dieser Aufgabe.
> Könnte sie mir bitte jemand etwas erläutern?
Die Trefferwahrscheinlichkeit für die Augenzahl 6 beträgt ja bei einem Würfel: [mm] p=\bruch{1}{6}.
[/mm]
Wenn Du einen Würfel 420 mal wirfst, wirst Du also damit rechnen, dass Du UNGEFÄHR [mm] 420*\bruch{1}{6} [/mm] = 70 mal die 6 wirfst.
Natürlich wirst Du bei 420 Würfen die 6 wohl nicht genau 70 mal kriegen; vielleicht nur 68 mal oder gar 73 mal. Aber eher unwahrscheinlich (wenn auch nicht ganz auszuschließen!) ist z.B. eine Trefferzahl von 15 oder auch eine Trefferzahl von 346, ...
Gefragt ist nun, zwischen welchen Zahlen die tatsächliche Trefferzahl mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 95% liegt.
Gemeint ist damit wohl ein "Intervall" (Grundmenge [mm] \IN [/mm] !) symmetrisch zum Erwartungswert, etwa das Folgende: [ 65; 75] (nur als Beispiel! Vermutlich ist dies nicht die Lösung!)
Wie Du siehst, kann man das Intervall auch so schreiben:
[ 65 ; 75 ] = [70-5 ; 70+5] = [mm] \{ |X - 70| \le 5 \}
[/mm]
Allgemein ist also ein Intervall der Art gesucht:
[70-c ; 70+c] = [mm] \{ |X - 70| \le c \} [/mm] mit geeignetem c.
Letztlich ist sogar "nur" das c gesucht.
Und somit ergibt sich für Deine Aufgabe der Ansatz:
P(|X - 70| [mm] \le [/mm] c) [mm] \approx [/mm] 0,95
Da Du vermutlich keine Tabelle hast, in der die Binomialverteilung B(420; [mm] \bruch{1}{6}) [/mm] drinsteht, musst Du die Aufgabe mit Hilfe der Standard-Normalverteilung lösen.
Schaffst Du das?
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Fr 23.02.2007 | | Autor: | Italo |
Dickes, dickes Danke! Für die gute Erläuterung.
Es ist u.a. eine 'Kumulierte Binominalverteilung für n=10' angegeben, sowie '"Sigma"-Regeln' für die Wahrscheinlichkeit und den Radius.
Kann ich bei dieser Aufgabe die 'Kumulierte Binominalverteilung für n=10' verwenden? Und falls ja wie?
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Hi, Italo,
> Kann ich bei dieser Aufgabe die 'Kumulierte
> Binominalverteilung für n=10' verwenden? Und falls ja wie?
Nein! Da bräuchtest Du die kumulierte Binomialverteilung für n=420.
Wie gesagt: Die Aufgabe benötigt m.E. die Standard-Normalverteilung.
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Fr 23.02.2007 | | Autor: | Italo |
"Da Du vermutlich keine Tabelle hast, in der die Binomialverteilung B(420; drinsteht, musst Du die Aufgabe mit Hilfe der Standard-Normalverteilung lösen.
Schaffst Du das?"
Wie Du viell gemerkt hast...nein.
Was soll ich denn in diese Formel einfüllen?
Könntest Du mir da noch mal helfen bitte?
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Hi, Italo,
nun, für ein Intervall, symmetrisch zum Erwartungswert, gilt für die Näherung:
P(|X - [mm] \mu| \le [/mm] c) [mm] \approx 2*\Phi(\bruch{c+0,5}{\sigma}) [/mm] - 1
Bei uns soll etwa 0,95 rauskommen.
Aufgelöst nach [mm] \Phi [/mm] ergibt sich dann:
[mm] \Phi(\bruch{c+0,5}{\sigma}) \approx [/mm] 0,975
Alles klar bis dahin?
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Sa 24.02.2007 | | Autor: | Italo |
Ja, das verstehe ich. Jetzt die Frage, was setze ich für Sigma ein? Ich habe ein Sigma-Regeln gegeben, welche in Wahrscheinlichkeit und Radius unterteilt sind. Soll ich diese dort einsetzen? Und für das c?
Könntest Du mir denn ungefähr sagen in welchem Bereich die Lösung liegen könnte?
Wirklich Danke bis hierhin!
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Hi, Italo,
> Ja, das verstehe ich. Jetzt die Frage, was setze ich für
> Sigma ein?
[mm] \sigma [/mm] must Du ausrechnen:
[mm] \sigma [/mm] = [mm] \wurzel{420*\bruch{1}{6}*\bruch{5}{6}} \approx [/mm] 7,638
> Und für das c?
Das sollst Du ja eben ausrechnen. Dazu musst Du in der Tabelle der Standardnormalverteilung erst mal den zu 0,975 gehörigen Wert für x suchen (Zur Kontrolle: 1,96) und dann c berechnen aus dem Ansatz
> Könntest Du mir denn ungefähr sagen in welchem Bereich die
> Lösung liegen könnte?
Nach dem, was ich rauskriege, scheint es so zu sein, dass Ihr (im Unterricht?) auf die Stetigkeitskorrektur (0,5) verzichtet, sodass Du den einfacheren Ansatz
[mm] \bruch{c}{7,638} \approx [/mm] 1,96
verwenden müsstest.
(Ergebnis dann ein bissl ungenauer, aber macht meist nichts!)
Am Ende ergibt sich bei mir jedenfalls das Intervall [ 55 ; 85 ]
(Bei Verwendung der Stetigkeitskorrektur übrigens nur [ 56 ; 84 ].)
Ich nehme an, unter "Sigma-Regeln" verstehst Du eine Tabelle, in der solche Werte wie die 1,96 von oben für einige wichtige Sonderfälle vorgegeben sind, stimmt's?
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:19 Sa 24.02.2007 | | Autor: | Italo |
"Ich nehme an, unter "Sigma-Regeln" verstehst Du eine Tabelle, in der solche Werte wie die 1,96 von oben für einige wichtige Sonderfälle vorgegeben sind, stimmt's?"
Ganz genau so eine Tabelle habe ich gegeben. Also einfach ablesen & einsetzen?!
Ich versuche es. Danke für Deine Hilfe.
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