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| Aufgabe | Wurzelkriterium
Sei [mm] \sum^\infty_{n=N}a_n [/mm] Reihe.
(i) Existiert [mm] q\in[0,1) [/mm] und [mm] M\in\IN [/mm] mit [mm] \wurzel[n]{|a_n|} \leq [/mm] q für n [mm] \geq [/mm] M, so ist [mm] \sum^\infty_{n=N}a_n [/mm] absolut konvergent.
(ii) Ist [mm] \wurzel[n]{|a_n|} \geq [/mm] 1 für unendlich viele n, so ist [mm] \sum^\infty_{n=N}a_n [/mm] divergent.
Bemerkung:
Die Voraussetzung (i) ist äquivalent zu lim [mm] sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a_n|} [/mm] < 1, und die Voraussetzung in (ii) ist erfüllt, falls lim [mm] sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a_n|} [/mm] > 1.
Quotientenkriterium
Sei [mm] \sum^\infty_{n=N}a_n [/mm] Reihe.
(i) Existiert [mm] q\in[0,1) [/mm] und [mm] M\in\IN [/mm] mit [mm] a_n \neq [/mm] 0 und [mm] |\frac{a_{n+1}}{a_n}| \leq [/mm] q für n [mm] \geq [/mm] M, so ist [mm] \sum^\infty_{n=N}a_n [/mm] absolut konvergent.
(ii) Existiert [mm] M\in\IN [/mm] mit [mm] a_n \neq [/mm] 0 und [mm] |\frac{a_{n+1}}{a_n}| \geq [/mm] 1 für n [mm] \geq [/mm] M, so ist [mm] \sum^\infty_{n=N}a_n [/mm] divergent.
Bemerkung:
Es gelte [mm] a\neq [/mm] 0 für [mm] n\geq [/mm] M.
Die Voraussetzung (i) ist dann äquivalent zu lim [mm] sup_{n\rightarrow\infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] < 1, und die Voraussetzung in (ii) ist erfüllt, falls lim [mm] inf_{n\rightarrow\infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] > 1.
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Hallo liebes Forum,
Ich habe die o.g. Sätze (insbes. die Bemerkungen) wortwörtlich einem Skript entnommen. Die Beweise zu den Sätzen sind mir zwar soweit klar, aber:
Meine Frage: Kann mir jemand anschaulich erläutern, warum die o.g. (fettgedruckten) Bemerkungen gelten? Mein Verständnis sagt mir folgendes (nicht formal; nur eine Richtung, die andere wäre vermutlich nahezu analog):
[mm] "\Rightarrow": [/mm] Angenommen, es gilt (im Konvergenzfall beim Wurzelkriterium) lim [mm] sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a_n|} \geq [/mm] 1. Dann gibt es unendlich viele Suprema der jeweiligen "Restfolgenglieder" in [mm] (\wurzel[n]{|a_n|}), [/mm] die größer oder gleich 1 sind. Wegen der Annahme sind unendlich viele Folgenglieder gleich 1 (ansonsten wäre der "Mittelwert" zwischen dem jeweils größten (Rest-)Folgenglied und 1 eine kleinere Schranke als das Supremum), was jedoch ein Widerspruch zur Voraussetzung [mm] (\wurzel[n]{|a_n|} [/mm] < 1 ab einem bestimmten Folgenglied) ist.
Leider reicht mein Verständnis nicht so weit, um festzustellen, ob es beim Wurzelkriterium (Divergenzfall) nicht auch "lim inf" wie beim Quotientenkriterium heißen muß?!
Im Voraus bereits vielen lieben Dank für eine klärende Antwort! 
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Hallo!
Hier musst du eigentlich nur sorgfältig die Definition des [mm] $\limsup$ [/mm] und [mm] $\liminf$ [/mm] benutzen. In keinem der Fälle benötigst du einen Beweis mit Widerspruch. Versuch es lieber auf dem direkten Weg, dann wird im allgemeinen besser klar, woher der Zusammenhang kommt!
Warum du bei deinem Beweis folgern kannst, dass unendlich viele Folgenglieder gleich 1 sind ist mir unklar. Größer gleich 1 würde ich einsehen. Und was meinst du mit Mittelwert?
Versuchen wir es mal auf dem direkten Weg:
Wurzelkriterium:
(i) Sei zunächst [mm] $\sqrt[n]{a_n}\le [/mm] q$ für alle [mm] $n\ge [/mm] N$ und [mm] $q\in[0;1)$. [/mm] Sei nun [mm] $\left(a_{n_k}\right)_{k\in\IN}$ [/mm] die Teilfolge von [mm] $(a_n)$, [/mm] die den [mm] $\limsup$ [/mm] bildet. Dann gibt es ein [mm] $K\in\IN$, [/mm] so dass [mm] $n_k\ge [/mm] N$ für alle [mm] $k\ge [/mm] K$. Insbesondere:
[mm] $\limsup\sqrt[n]{a_n}=\lim_{k\to\infty} a_{n_k}\le [/mm] q<1$.
Die Rückrichtung ist eigentlich geschenkt:
Sei [mm] $\limsup\sqrt[n]{a_n}=:q<1$. [/mm] Nach Definition des [mm] $\limsup$ [/mm] gibt es also ein [mm] $N\in\IN$, [/mm] so dass [mm] $\sqrt[n]{a_n}\le [/mm] q$ für alle [mm] $n\ge [/mm] N$.
(ii) Sei [mm] $\limsup\sqrt[n]{a_n}>1$. [/mm] Sei wieder [mm] $\left(a_{n_k}\right)_{k\in\IN}$ [/mm] die Teilfolge von [mm] $(a_n)$, [/mm] die den [mm] $\limsup$ [/mm] bildet. Da diese Folge gegen einen Wert $>1$ konvergiert enthät sie unendlich viele Folgenglieder, die größer gleich 1 sind.
Hast du jetzt eine Idee, wie du die Bemerkung für's Quotientenkriterium angehen kannst?
Gruß, banachella
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