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| Aufgabe | Die Tangenten an den Graphen der Funktion x [mm] \to \wurzel{x} [/mm] in den Punkten P1(a/ya) und P2(b/yb) (mit a<b) schneiden sich im Punkt S. Gib seine Koordinaten an.
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Bitte um Lösung mit Lösungsweg, da ich keine Ahnung habe, wie diese Aufgabe zu lösen ist.
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, angreifer,
> Die Tangenten an den Graphen der Funktion x [mm]\to \wurzel{x}[/mm]
> in den Punkten P1(a/ya) und P2(b/yb) (mit a<b) schneiden
> sich im Punkt S. Gib seine Koordinaten an.
>
>
> Bitte um Lösung mit Lösungsweg, da ich keine Ahnung habe,
> wie diese Aufgabe zu lösen ist.
Eigentlich so rum: Erst Du, dann wir vom Matheraum!
Aber pass auf:
(1) Funktion ableiten: f'(x).
(2) Tangenten in den beiden Punkten ermitteln; dabei beachten, dass z.B. ya = f(a) und außerdem: t: y = f'(a)*(x-a)+ya.
(Entsprechend für P2).
(3) Schneiden, indem Du beide Tangenten gleichsetzt und das Ganze nach x auflöst!
So! Nun aber los!
mfG!
Zwerglein
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(1) f' (x) = [mm] \bruch{1}{2} \wurzel{x}
[/mm]
(2) y= [mm] \bruch{1}{2} \wurzel{a} [/mm] * (x-a) +ya
[mm] y=\bruch{1}{2} \wurzel{b} [/mm] * (x-b) +yb
Und dann???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 So 05.03.2006 | | Autor: | angreifer |
kann mir denn keiner weiterhelfen, ich bin echt am verzweifeln????
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:43 So 05.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo angreifer!
> (1) f' (x) = [mm]\bruch{1}{2} \wurzel{x}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Nicht ganz ... $f'(x) \ = \ \bruch{1}{2*\wurzel{x}$
> (2) y= [mm]\bruch{1}{2} \wurzel{a}[/mm] * (x-a) +ya
> [mm]y=\bruch{1}{2} \wurzel{b}[/mm] * (x-b) +yb
Korrektur: siehe oben!
Wenn Du nun noch ersetzt [mm] $y_a [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{a}$ [/mm] bzw. [mm] $y_b [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{b}$ [/mm] , kannst Du diese beiden Gleichungen nun gleichsetzen und nach $x \ = \ ...$ umstellen:
[mm] $\bruch{1}{2*\wurzel{a}}*(x-a)+\wurzel{a} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{b}}*(x-b)+\wurzel{b}$
[/mm]
Gruß
Loddar
PS: Bitte hier auch nicht drängeln mit den Antworten ... schließlich sind wir hier alles freiwillige Helfer!
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wie stelle ich denn diese gleichung nach x frei???
das hört sich jetzt bestimmt total doff an aber ich schaff es einfach nicht.
Hab das ganze mal ausmultipliziert aber glaub das ist auch nicht hilfreich!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 So 05.03.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Jesper,
> wie stelle ich denn diese gleichung nach x frei???
>
> das hört sich jetzt bestimmt total doff an aber ich schaff
> es einfach nicht.
>
> Hab das ganze mal ausmultipliziert aber glaub das ist auch
> nicht hilfreich!
doch ist es ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Arbeitsanweisung:
1. ausmultiplizieren
2. alle x auf eine Seite; alles andere auf die andere
3. das x wieder ausklammern
4. durch den Term der beim x steht teilen
5. fertig
Liebe Grüße
Herby
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(1) ausmultiplizieren
[mm] \bruch{x}{2* \wurzel{a}} [/mm] - [mm] \bruch{a}{2* \wurzel{a}} [/mm] + [mm] \wurzel{a} [/mm] =
[mm] \bruch{x}{2* \wurzel{b}} [/mm] - [mm] \bruch{b}{2* \wurzel{b}} [/mm] + [mm] \wurzel{b}
[/mm]
(2) alle x auf eine Seite; alles andere auf die andere
[mm] \bruch{x}{2* \wurzel{a}} [/mm] - [mm] \bruch{x}{2* \wurzel{b}} [/mm] = [mm] \bruch{a}{2* \wurzel{a}} [/mm] - [mm] \bruch{b}{2* \wurzel{b}} [/mm] - [mm] \wurzel{a} [/mm] + [mm] \wurzel{b}
[/mm]
(3) das x wieder ausklammern
x * [mm] (\bruch{1}{2* \wurzel{a}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2* \wurzel{b}}) [/mm] = [mm] \bruch{a}{2* \wurzel{a}} [/mm] - [mm] \bruch{b}{2* \wurzel{b}} [/mm] - [mm] \wurzel{a} [/mm] + [mm] \wurzel{b}
[/mm]
(4) durch den Term der beim x steht teilen
x = [mm] \bruch{a}{2* \wurzel{a}} [/mm] - [mm] \bruch{b}{2* \wurzel{b}} [/mm] - [mm] \wurzel{a} [/mm] + [mm] \wurzel{b} [/mm] / [mm] (\bruch{1}{2* \wurzel{a}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2* \wurzel{b}})
[/mm]
ist das so richtig???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 So 05.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo angreifer!
Prinzipiell hast Du alles richtig gemacht (wenn Du in der letzten Zeile nun auch noch ein Klammerpaar mehr benutzt):
$x \ = \ [mm] \red{\left(}\bruch{a}{2*\wurzel{a}} -\bruch{b}{2* \wurzel{b}} [/mm] - [mm] \wurzel{a} +\wurzel{b}\red{\right)} [/mm] / [mm] \left(\bruch{1}{2* \wurzel{a}} - \bruch{1}{2* \wurzel{b}}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\bruch{a}{2*\wurzel{a}} -\bruch{b}{2* \wurzel{b}} - \wurzel{a} +\wurzel{b}}{\bruch{1}{2* \wurzel{a}} - \bruch{1}{2* \wurzel{b}}}$
[/mm]
Allerdings kann man hier noch deutlich vereinfachen.
Den Ausdruck im Nenner kann man noch gleichnamig machen durch entsprechendes Erweitern der Teilbrüche.
Zudem gilt auch z.B. [mm] $\bruch{a}{2*\wurzel{a}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{a}{\wurzel{a}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{a^1}{a^{\bruch{1}{2}}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*a^{1-\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*a^{\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\wurzel{a}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:41 So 05.03.2006 | | Autor: | angreifer |
Danke für die Lösung!!!
da hat unser Lehrer uns aber ein wenig überfordert. Könntest du mir noch einmal die endlösung aufschreiben, wäre dir sehr dankbar, aber verstanden habe ich es jetzt so gut wie!!!
MfG jesper
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:47 So 05.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo angreifer!
Wie wäre es denn hier anders herum? Du postst Dein Endergebnis ... und wir kontrollieren dieses.
Jedenfalls kommt am Ende nur noch ein einziger Wurzelausdruck heraus.
Gruß
Loddar
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x = [mm] \bruch{0,5 \wurzel{a} - 0,5 \wurzel{b} - \wurzel{a} + \wurzel{b} }{ \bruch{\wurzel {a} - \wurzel {a} }{2} \wurzel {a-b}}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:23 Mo 06.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo angreifer!
Zum einen kann man im Zähler noch weiter zusammenfassen. Im Nenner musst Du Dich wohl vertippt haben.
Aber da hat sich auch ein weiterer Fehler eingeschlichen: wo kommt denn das Minuszeichen in der einen Wurzel her?
$x\ = \ [mm] \bruch{0.5 \wurzel{a} - 0.5 \wurzel{b} - \wurzel{a} + \wurzel{b} }{ \bruch{\wurzel {\red{b}} - \wurzel {a} }{2* \wurzel {a\red{\times}b}}} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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Tangentengleichung:
f'(x) = [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{x}}
[/mm]
Steigung der Tangenten mt= [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{a}}
[/mm]
ta: y= mt * x + n
[mm] \wurzel{a} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{a}} [/mm] a + n
n= [mm] \bruch{1}{2} \wurzel{a}
[/mm]
ta: y= [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{a}}x [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \wurzel{a}
[/mm]
tb: y= [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{b}}x [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \wurzel{b}
[/mm]
Gleichsetzen:
[mm] \bruch{1}{2 \wurzel{a}}x [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \wurzel{a} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{b}}x [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \wurzel{b}
[/mm]
Ausklammern:
x ( [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{a}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{b}}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \wurzel{b} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} \wurzel{a}
[/mm]
nach x freistellen:
x = [mm] \bruch{\bruch{1}{2} \wurzel{b} - \bruch{1}{2} \wurzel{a}}{( \bruch{1}{2 \wurzel{a}} - \bruch{1}{2 \wurzel{b}})}
[/mm]
mit 2 erweitern:
x = [mm] \bruch{\wurzel{b} - \wurzel{a}}{( {\bruch{1} \wurzel{a}} - \bruch{1}{\wurzel{b}})}
[/mm]
mit [mm] \wurzel{b} [/mm] und [mm] \wurzel{a} [/mm] die unteren Brüche erweitern:
x = [mm] \bruch{ \wurzel{b} - \wurzel{a}}{ \bruch{ \wurzel{b} - \wurzel{a}}{ \wurzel{a} * \wurzel{b}}}
[/mm]
mit [mm] \wurzel{a} [/mm] * [mm] \wurzel{b} [/mm] mal nehmen:
x= [mm] \bruch{ \wurzel{b} - \wurzel{a}(\wurzel{a} * \wurzel{b})}{ \wurzel{b} - \wurzel{a}}
[/mm]
Y-Wert berechnung:
das müsste doch jetzt die Wurzel aus dem x-Wert sein, also...
[mm] \wurzel{\bruch{ \wurzel{b} - \wurzel{a}(\wurzel{a} * \wurzel{b})}{ \wurzel{b} - \wurzel{a}}
}
[/mm]
dann wäre S [mm] (\bruch{ \wurzel{b} - \wurzel{a}(\wurzel{a} * \wurzel{b})}{ \wurzel{b} - \wurzel{a}} [/mm] / [mm] \wurzel{\bruch{ \wurzel{b} - \wurzel{a}(\wurzel{a} * \wurzel{b})}{ \wurzel{b} - \wurzel{a}}})
[/mm]
bitte um Korrektur falls ich noch einen fehler drin habe!!!
mfG jesper
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Mo 06.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo jesper!
> x = [mm]\bruch{ \wurzel{b} - \wurzel{a}}{ \bruch{ \wurzel{b} - \wurzel{a}}{ \wurzel{a} * \wurzel{b}}}[/mm]
Bis zu dieser Zeile stimmt alles!
Dann unterschlägst Du Klammern:
> mit [mm]\wurzel{a}[/mm] * [mm]\wurzel{b}[/mm] mal nehmen:
>
> x= [mm]\bruch{ \wurzel{b} - \wurzel{a}(\wurzel{a} * \wurzel{b})}{ \wurzel{b} - \wurzel{a}}[/mm]
$x \ = \ [mm] \bruch{\red{\left(}\wurzel{b} - \wurzel{a}\red{\right)}*\left(\wurzel{a} * \wurzel{b}\right)}{ \wurzel{b} - \wurzel{a}}$
[/mm]
Und nun kann man nämlich noch hervorragend kürzen und es verbleibt ein schöner einfacher Wurzelausdruck!
Gruß
Loddar
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x = [mm] \bruch{ \wurzel{b} * \wurzel{a}}{1}
[/mm]
y= [mm] \wurzel{\bruch{ \wurzel{b} * \wurzel{a}}{1}}
[/mm]
das ist dann die entgültige Lösung?
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y = [mm] \bruch{1}{2\wurzel{a}}x [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \wurzel{a}
[/mm]
y= [mm] \bruch{1}{2\wurzel{a}}*\wurzel{a*b}+ \bruch{1}{2} \wurzel{a}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:57 Di 07.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jesper!
> [mm]y=\bruch{1}{2\wurzel{a}}*\wurzel{a*b}+ \bruch{1}{2} \wurzel{a}[/mm]
Den ersten Term kann man aber noch etwas zusammenfassen (durch [mm] $\wurzel{a}$ [/mm] kürzen) und evtl. noch [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] ausklammern.
Gruß
Loddar
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Nein, Du musst den [mm] $x_s$-Wert [/mm] in eine der beiden Tangentengleichungen einsetzen, um den gesuchten Schnittpunkt bzw. dessen [mm] $y_s$-Wert [/mm] zu erhalten.
