Wurzel (an) Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Mo 15.05.2006 | | Autor: | svensven |
| Aufgabe | | Ist an eine konvergente Zahlenfolge mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}an=a [/mm] so ist die Folge [mm] \wurzel{an} [/mm] konvergent mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{an}= \wurzel{a} [/mm] |
Hallo,
die Lösung habe ich nun mit einem freigewählten 'an' gemacht,
momentan habe ich für an:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2x^2}{(x^2+1)}=\bruch{2}{(1+0)}=2
[/mm]
und für [mm] \wurzel{an}:
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{\bruch{2x^2}{(x^2+1)}}=\wurzel{\bruch{2}{(1+0)}}=\wurzel{2}
[/mm]
Aber gibt es nicht auch einen allgemein gültigen Nachweis?
Die Lösung sieht mir ein wenig kurz aus.
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Hallo svensven,
kleiner Tip von mir:
[mm] $|\sqrt [/mm] a- [mm] \sqrt b|\cdot |\sqrt [/mm] a+ [mm] \sqrt [/mm] b| =|a-b|$ (3. binomische formel)
Kriegst dus jetzt hin?
Vg
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Mo 15.05.2006 | | Autor: | svensven |
Danke für Deine schnelle Hilfe Matthias, aber ich fürchte nein. Was mich stört ist das in der binomischen Formel nun auch noch ein b auftaucht, aber in der Aufgabe nur von an gesprochen wird. Muss ich an und bn wählen oder wie haben die aussehen?
Wird die binomische Formel in so etwas hier umgeformt? :
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a= \limes_{n\rightarrow\infty}(|an-bn|*|an+bn|)-\limes_{n\rightarrow\infty}b
[/mm]
oder bin ich damit auf dem Holzweg?
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Hi Sven,
sorry, wollte dich durch das $b$ nicht verwirren...  setze mal [mm] $a_n$ [/mm] statt $b$ ein.
du musst ja zeigen, dass [mm] $|\sqrt {a_n}-\sqrt [/mm] a|$ gegen null geht für $n$ gegen unendlich. erweiterst du diesen ausdruck nun mit [mm] $|\sqrt {a_n}+\sqrt [/mm] a|$, so steht schon fast die lösung deines problems da. du musst dann noch $a=0$ gesondert betrachten.
VG
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Mo 15.05.2006 | | Autor: | svensven |
Ich hoffe ich mache mit mit meiner Frage nun nicht lächerlich, aber meinst Du so?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}an\Rightarrow [/mm] a
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}an-a\Rightarrow [/mm] 0
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|an-a|\Rightarrow [/mm] 0
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|an-a|*|an+a|\Rightarrow [/mm] 0
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}an^2-a^2\Rightarrow [/mm] 0
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}an^2\Rightarrow a^2
[/mm]
Und wie betrachte ich den Fall a=0? Ist der nicht auch da miteingeschlossen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 Mo 15.05.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo,
die Definition lautet doch: [mm] \forall\varepsilon>0 \exists N\in\IN \forall n>N:|a_n-a|<\varepsilon
[/mm]
das solltest du mit einbauen
Liebe Grüße
Herby
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lächerlich macht sich hier niemand 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Mo 15.05.2006 | | Autor: | svensven |
Ist denn meine Lösung ausbaubar oder liege ich mit dem Ansatz falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:39 Mo 15.05.2006 | | Autor: | Herby |
Hi,
na klar ist sie ausbaubar du musst nur das [mm] \varepsilon [/mm] noch reinbringen und den Hinweis von Matthias beachten.
Liebe Grüße
Herby
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:03 Di 16.05.2006 | | Autor: | Herby |
Guten Morgen,
![[kaffeetrinker]](/images/smileys/kaffeetrinker.gif "[kaffeetrinker]")
Fallunterscheidung:
Fall1: Sei a=0
Wegen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=0 [/mm] folgt doch
[mm] \forall \varepsilon>0 \exists N\in \IN \forall n\ge N:0\le a_n<\varepsilon² [/mm] (oder auch: [mm] |a_n-a|<\varepsilon²)
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \forall \varepsilon>0 \exists N\in \IN \forall n\ge N:0\le \wurzel{a_n}<\varepsilon
[/mm]
Und daher ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{a_n}=0
[/mm]
jetzt für a>0
ich schreibe mal die erste Zeile:
[mm] \forall \varepsilon>0 \exists N\in \IN \forall n\ge [/mm] N: [mm] |a_n-a|<\varepsilon*\wurzel{a}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] ..........
nun musst du den Hinweis von Matthias einsetzen und dann noch die (edit: [mm] \red{linke} [/mm] ) Seite "verkleinern". Das ist erlaubt, da du hier eine Ungleichung hast.
Wie lautet also der Grenzwert?
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Di 16.05.2006 | | Autor: | svensven |
Hallo,
also mache ich aus:
[mm] |a_n-a|<\varepsilon\cdot{}\wurzel{a}
[/mm]
ersteinmal:
[mm] |\wurzel{a_n}-\wurzel{a}|*|\wurzel{a_n}+\wurzel{a}|<\varepsilon\cdot{}\wurzel{a}
[/mm]
ich denke, auf der linken Seite muss dann nur noch
[mm] |\wurzel{a_n}-\wurzel{a}|
[/mm]
stehen bleiben, also:
[mm] |\wurzel{a_n}-\wurzel{a}|<\varepsilon\cdot{}\wurzel{a}*|\wurzel{a_n}+\wurzel{a}|
[/mm]
Ich weiss es nicht, Beweise sind und bleiben wahrscheinlich immer ein Geheimnis für mich ![[traurig]](/images/smileys/traurig.gif "[traurig]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Di 16.05.2006 | | Autor: | svensven |
Hups, ist mir jetzt auch aufgefallen, naja Seiten verwechseln passiert einigen, aber noch dümmer wenn man eine einfache Division nicht beherrscht...
Also nochmal,
[mm] |\wurzel{a_n}-\wurzel{a}|\cdot{}|\wurzel{a_n}+\wurzel{a}|<\varepsilon\cdot{}\wurzel{a}
[/mm]
[mm] |\wurzel{a_n}-\wurzel{a}|<\varepsilon\cdot{}\bruch{\wurzel{a}}{|\wurzel{a_n}+\wurzel{a}|}
[/mm]
nun dachte ich mir:
[mm] |\wurzel{a_n}-\wurzel{a}|<\varepsilon\cdot{}\bruch{\wurzel{a}}{|\wurzel{a_n}+\wurzel{a}|}<\varepsilon\cdot{}\bruch{\wurzel{a}}{\wurzel{a}}
[/mm]
[mm] |\wurzel{a_n}-\wurzel{a}|<\varepsilon
[/mm]
Aber die linke Seite verkleinern? Muss die nicht damit die Ungleichung stimmig bleibt vergrössert werden? bzw. die rechte verkleinert?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:16 Di 16.05.2006 | | Autor: | svensven |
Vielen Dank für Deine Bemühungen!
Mir sind aber Aufgaben mit ein paar Zahlen drin doch lieber als kryptische Beweise zu führen.
Danke nochmal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Mo 15.05.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo svensven,
eine andere Möglichkeit wäre, mit den Grenzwertsätzen zu argumentieren, denn es gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_n*b_n)=a*b [/mm] sofern die Grenzwerte für [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] existieren und das tun sie bei dir.
Liebe Grüße
Herby
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![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]"){kind=small}
![[pfeif]](/images/smileys/pfeif.gif "[pfeif]"){kind=small}
![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]"){kind=small}
und wie bekommen wir das hin - schau mal rechts (da hab ich dir einen Faktor hingeschmuggelt)
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
)
![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
