Wurzel aus komplexer Zahl < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 Do 14.01.2010 | | Autor: | fiktiv |
| Aufgabe | | [z + [mm] 1]^{4} [/mm] = [mm] cos(\bruch{\pi}{2}) [/mm] + i * [mm] sin(\bruch{\pi}{2}) [/mm] |
Hinzugefügt sei, das z [mm] \in \IC.
[/mm]
Ich soll daraus alle Wurzeln bestimmen, nur bin ich aufgrund des [z + 1] etwas verunsichert.
Ich kann ja sicher nicht einfach auf das folgende schließen..:
z = -1 + [mm] cos(\bruch{\pi}{2}) [/mm] + i * [mm] sin(\bruch{\pi}{2})
[/mm]
Müsste ich erstmal von der trigonometrischen Form in die kartesische kommen, um genau zu definieren was der Imaginärteil und was der Realteil ist? Um dann den Betrag
r = [mm] \wurzel{a^{2}+b^{2}} [/mm] herauszubekommen und dann die verschiedenen Wurzeln gemäß:
[mm] w_{k}=\wurzel[6]{r} [/mm] [cos(..)+ i*sin(..)]
zu berechnen?
Wenn dem so ist, stellt sich mir die Frage, wie ich denn erstmal wieder zurück zur kartesischen Form komme und in wie weit ich die Ausdrücke, die das Bogenmaß, welches in der Ausgangsgleichung steckt, für die "neue" kartesische Form berücksichtigen muss?
Danke für eine Aufklärung..! 
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Guten Abend,
ich konnte zwar aus deinem Beitrag nicht recht entnehmen, was du überhaupt machen sollst, aber ich nehme mal an, du sollst $z$ bestimmen.
> [z + [mm]1]^{4}[/mm] = [mm]cos(\bruch{\pi}{2})[/mm] + i *
> [mm]sin(\bruch{\pi}{2})[/mm]
[mm]cos(\bruch{\pi}{2})+ i*sin(\bruch{\pi}{2})= i[/mm]
Also nehme ich an, du suchst alle 4. Wurzeln aus $i$.
[mm] $i=e^{i*\bruch{\pi}{2}}$, [/mm] damit bekommen wir dann (mit der Formel vom Moivre) [mm] $\wurzel[4]{i} [/mm] = [mm] \wurzel[4]{e^{i*\bruch{\pi}{2}}} \in \{ e^{i*\bruch{\bruch{\pi}{2}+k*2\pi}{4}}, k=0,1,2,3 \} [/mm] $
lg Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 Do 14.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Guten Abend,
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> ich konnte zwar aus deinem Beitrag nicht recht entnehmen,
> was du überhaupt machen sollst, aber ich nehme mal an, du
> sollst [mm]z[/mm] bestimmen.
>
> > [z + [mm]1]^{4}[/mm] = [mm]cos(\bruch{\pi}{2})[/mm] + i *
> > [mm]sin(\bruch{\pi}{2})[/mm]
>
> [mm]cos(\bruch{\pi}{2})+ i*sin(\bruch{\pi}{2})= i[/mm]
>
> Also nehme ich an, du suchst alle 4. Wurzeln aus [mm]i[/mm].
>
> [mm]i=e^{i*\bruch{\pi}{2}}[/mm], damit bekommen wir dann (mit der
> Formel vom Moivre) [mm]\wurzel[4]{i} = \wurzel[4]{e^{i*\bruch{\pi}{2}}} \in \{ e^{i*\bruch{\bruch{\pi}{2}+k*2\pi}{4}}, k=0,1,2,3 \}[/mm]
>
> lg Kai
Hallo,
ich bin nicht sicher, ob der Fragesteller damit was anfangen kann.
Ich würde z-1 durch w substituieren und die Gleichung [mm]w^4=cos(\bruch{\pi}{2})[/mm] + i*[mm]sin(\bruch{\pi}{2})[/mm] (sicherlich mit Moivre) lösen, dann Rücksubstitution.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 Di 19.01.2010 | | Autor: | fiktiv |
Danke zunächst für eure Antworten.
Also gesucht sind, falls dies noch nicht deutlich wurde, alle Wurzeln der komplexen Gleichung.
Wenn ich also substituiere,
[mm] w^{4}=[z+1]^{4}, [/mm]
dann brauche ich doch für die moivresche Formel doch trotzdem den Realteil und den Imaginärteil, um den Winkel (nennen wir ihn einfach [mm] \gamma) [/mm] auszurechnen, oder?
also so das:
[mm] w_{k} [/mm] = [mm] \wurzel[4]{a^{2}+b^{2}}(cos[\bruch{\gamma+2k\pi}{4}] [/mm] + [mm] i*sin[\bruch{\gamma+2k\pi}{4}])
[/mm]
Die Frage nach dem i selbst stellt sich übrigens nicht, das bleibt als i..
Und wie verrechne ich dann die Rücksubstitution?
Wäre freundlich, wenn ihr mir das nochmal erklären könntet, vielleicht habe ich eure vorangehenden Ausführungen dahingehend einfach nicht geschnallt.
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> Danke zunächst für eure Antworten.
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> Also gesucht sind, falls dies noch nicht deutlich wurde,
> alle Wurzeln der komplexen Gleichung.
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> Wenn ich also substituiere,
> [mm]w^{4}=[z+1]^{4},[/mm]
> dann brauche ich doch für die moivresche Formel doch
> trotzdem den Realteil und den Imaginärteil, um den Winkel
> (nennen wir ihn einfach [mm]\gamma)[/mm] auszurechnen, oder?
> also so das:
> [mm]w_{k}[/mm] =
> [mm]\wurzel[4]{a^{2}+b^{2}}(cos[\bruch{\gamma+2k\pi}{4}][/mm] +
> [mm]i*sin[\bruch{\gamma+2k\pi}{4}])[/mm]
>
> Die Frage nach dem i selbst stellt sich übrigens nicht,
> das bleibt als i..
> Und wie verrechne ich dann die Rücksubstitution?
>
> Wäre freundlich, wenn ihr mir das nochmal erklären
> könntet, vielleicht habe ich eure vorangehenden
> Ausführungen dahingehend einfach nicht geschnallt.
Hallo,
Du hast doch sowohl den Realteil a=cos(π/2), den
Imaginärteil b=sin(π/2) (Zahlenwerte !) als den
Polarwinkel [mm] \gamma= [/mm] π/2 schon. Setze diese Werte in
die Formel ein.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 Di 19.01.2010 | | Autor: | fiktiv |
Vielen Dank.. ich hatte nicht bedacht, dass ich die Werte so, wie sie da stehen auch einfach als Real- und Imaginärteil nehmen und einsetzen kann..
Ich komme jetzt auf vier Werte für die vier Wurzeln im Einheitskreis, die ihn gleichmäßig teilen.
Allerdings habe ich noch nicht die Rücksubstitution dabei bedacht.
Wenn [mm] w_{k} [/mm] ja eigentlich gleich (z + 1) [mm] (w_{k}= [/mm] z+1), muss ich mit dem z und/oder der Eins jetzt noch irgendwas machen? Oder spielt das für die Wurzelziehung gar keine Rolle und irritiert mich grundlos?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:28 Di 19.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo fiktiv!
Welche Werte hast Du denn erhalten für [mm] $w_k$ [/mm] ? Von diesen musst Du nunmehr jeweils den Wert $1_$ subtrahieren.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Di 19.01.2010 | | Autor: | fiktiv |
Hallo!
Bei [mm] w_{0} [/mm] = [mm] cos\bruch{\pi}{8} [/mm] + [mm] i*sin\bruch{\pi}{8}, [/mm]
also einen Winkel von 22,5°. Analog dazu rutschen die Winkel bei [mm] w_{1}, w_{2} [/mm] und [mm] w_{3} [/mm] um jeweils 90° weiter. [Wir sollen das nur einzeichnen..)
Daher tu ich mich auch mit dem Übrigbleibsel so schwer, ich kann ja nicht einfach eine Eins von einem Gradmaß subtrahieren.
Man könnte natürlich auch einfach die Gleichungen aufstellen:
[mm] z_{0} [/mm] = [mm] cos\bruch{\pi}{8} [/mm] + [mm] i*sin\bruch{\pi}{8} [/mm] - 1
Aber ob es damit dann getan ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 Di 19.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo!
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> Bei [mm]w_{0}[/mm] = [mm]cos\bruch{\pi}{8}[/mm] + [mm]i*sin\bruch{\pi}{8},[/mm]
> also einen Winkel von 22,5°. Analog dazu rutschen die
> Winkel bei [mm]w_{1}, w_{2}[/mm] und [mm]w_{3}[/mm] um jeweils 90° weiter.
> [Wir sollen das nur einzeichnen..)
>
> Daher tu ich mich auch mit dem Übrigbleibsel so schwer,
> ich kann ja nicht einfach eine Eins von einem Gradmaß
> subtrahieren.
> Man könnte natürlich auch einfach die Gleichungen
> aufstellen:
> [mm]z_{0}[/mm] = [mm]cos\bruch{\pi}{8}[/mm] + [mm]i*sin\bruch{\pi}{8}[/mm] - 1
> Aber ob es damit dann getan ist?
Hallo,
dein Realteil ist also (in der ersten von 4 Lösungen) [mm] cos\bruch{\pi}{8}-1 [/mm] und der Imaginärteil ist [mm] sin\bruch{\pi}{8}. [/mm]
Punkt.
Je nach der bei euch üblichen bzw. erlaubten Darstellungsweise kannst du
- das so stehen lassen
- mit den Taschenrechner einen Näherungswert angeben
- mit der Halbwinkelformel aus den bekannten Werten
sin45 ° = cos45 ° [mm] =0,5*\wurzel2 [/mm] den Sinus bzw Cosinus von 22,5 ° als Wurzelterm ausrechnen.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Mi 20.01.2010 | | Autor: | fiktiv |
Ich glaube, jetzt wird es langweilig.. aber ich habe dennoch noch immer nicht den vollen Durchblick, da ich mir nicht sicher bin es richtig berechnet zu haben.
Also ausgehend von der Aufgabe:
[mm] [z+1]^{4} [/mm] = [mm] cos(\bruch{\pi}{2}) [/mm] + [mm] i*sin(\bruch{\pi}{2}) [/mm] habe ich nun verinnerlicht, dass [mm] cos(\bruch{\pi}{2}) [/mm] der Realteil (=a), und [mm] sin(\bruch{\pi}{2}) [/mm] der Imaginärteil (=b) sind.
Ist es denn aber tatsächlich irrelevant, dass ich erst später durch die Resubstituition die "-1" dem Realteil zuführe? Denn die habe ich ja vorher bei der Berechnung von r = [mm] \wurzel{a^{2} + b^{2}}, [/mm] noch bei der Winkelberechnung [mm] tan\gamma [/mm] = [mm] \bruch{b}{a} [/mm] berücksichtigt - wodurch sie auch auf den berechneten und eingezeichneten Winkel keinen Einfluss nahm.
Aber kann/darf man die denn wirklich derart vernachlässigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 Mi 20.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Ich glaube, jetzt wird es langweilig.. aber ich habe
> dennoch noch immer nicht den vollen Durchblick, da ich mir
> nicht sicher bin es richtig berechnet zu haben.
>
> Also ausgehend von der Aufgabe:
> [mm][z+1]^{4}[/mm] = [mm]cos(\bruch{\pi}{2})[/mm] + [mm]i*sin(\bruch{\pi}{2})[/mm]
> habe ich nun verinnerlicht, dass [mm]cos(\bruch{\pi}{2})[/mm] der
> Realteil (=a), und [mm]sin(\bruch{\pi}{2})[/mm] der Imaginärteil
> (=b) sind.
>
> Ist es denn aber tatsächlich irrelevant, dass ich erst
> später durch die Resubstituition die "-1" dem Realteil
> zuführe? Denn die habe ich ja vorher bei der Berechnung
> von r = [mm]\wurzel{a^{2} + b^{2}},[/mm] noch bei der
> Winkelberechnung [mm]tan\gamma[/mm] = [mm]\bruch{b}{a}[/mm] berücksichtigt -
> wodurch sie auch auf den berechneten und eingezeichneten
> Winkel keinen Einfluss nahm.
>
> Aber kann/darf man die denn wirklich derart
> vernachlässigen?
Hier wird nichts "vernachlässigt". Es ist Fakt, dass der Realteil von w und der Realteil von z sich um 1 unterscheiden.
Nimm einfach die erste Lösung und potenziere sie mit 4, dann siehst du ja selbst, dass es stimmt.
Gruß Abakus
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