Wurzel einer Funktion int'bar? < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f : [a, b] → [mm] \IR [/mm] eine beschrä̈nkte Funktion, fü̈r die [mm] f^{2} [/mm] Riemann-integrierbar ist.
a): Muss dann f selbst Riemann-integrierbar sein?
b): Ändert sich die Antwort, wenn man zusä̈tzlich f ≥ 0 voraussetzt? |
Hallo zusammen,
Teil a) konnte ich lösen, indem ich ein hübsches Gegenbeispiel gefunden habe.
Aber bei Teil b) habe ich Schwierigkeiten.
Ich vermute, dass sich die Antwort ändert, und f dann auch Riemann integrierbar sein muss. Bei meiner Beweisidee gibt es jedoch noch eine Stelle, an welcher ich nicht weiterkomme.
Zuerst einmal, wenn [mm] f^{2} \ge [/mm] 1, dann ist f ja auf jeden Fall integrierbar. Denn wenn man die Wurzel von [mm] f^{2}(x) [/mm] zieht, wird [mm] f^{2}(x) [/mm] ja kleiner für alle x, und somit auch alle Abstände [mm] |M_{k} [/mm] - [mm] m_{k}|, [/mm] wobei [mm] M_{k} [/mm] das Supremum und [mm] m_{k} [/mm] das Infinum aller Funktionswerte [mm] f^{2}(x) [/mm] des k.ten Teilintervalls [mm] [x_{k-1},x_{k}] [/mm] einer Unterteilung P von [a,b] ist. Wenn nun ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gegeben ist, so gibt es eine Unterteilung P für [a,b], so dass [mm] U(f^{2},P) [/mm] - [mm] L(f^{2},P) [/mm] < [mm] \varepsilon. [/mm] Und für f ist ist dann U(f,P) - L(f,P) ebenfalls < [mm] \varepsilon. [/mm] (U und L stellen hier die obere (Upper) und untere (Lower) Riemann'sche Summe für die Unterteilung P dar.)
Aber wenn [mm] f^{2}(x) [/mm] im Intervall [0,1) liegt, dann wird es schwieriger. Denn dann ist f(x) > [mm] f^{2}(x), [/mm] und die Abstände [mm] |M_{k} [/mm] - [mm] m_{k}| [/mm] werden auch größer.
Meine Idee: Die Funktion kann in einem Intervall [mm] [x_{k-1},x_{k}] [/mm] ja maximal [mm] \bruch{\wurzel{m_{k}}}{m_{k}} [/mm] größer werden, wobei [mm] m_{k} [/mm] wie oben definiert ist. Wenn man nun s = (Infinum von [mm] f^{2}) [/mm] definiert, und dann eine Unterteilung P von [mm] f^{2} [/mm] so wählt, dass [mm] U(f^{2},P) [/mm] - [mm] L(f^{2},P) [/mm] < [mm] \bruch{\varepsilon}{b}, [/mm] wobei b = [mm] \bruch{\wurzel{s}}{s} [/mm] , dann wäre U(f,P)-L(f,P) < [mm] \varepsilon [/mm] .
Das Problem ist aber ja, dass [mm] f_{2} [/mm] auch gegen 0 konvergieren kann, wobei meine Variable b unendlich gross werden würde, und [mm] \bruch{\varepsilon}{b} [/mm] dann gegen 0 geht. Aber es ja nicht erlaubt, [mm] \varepsilon [/mm] gleich 0 zu setzen, oder?
Ich bin für jeden Tipp dankbar, und freue mich auf Eure Antworten.
Viele Grüße,
Vilietha
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Do 25.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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