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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 Do 08.03.2012 | | Autor: | mbau16 |
| Aufgabe | Lösen Sie die gegebene Gleichung nach z auf:
[mm] \wurzel{z+3}+\wurzel{z^{2}+6z+9}=2 [/mm] |
Guten Morgen,
folgende Gleichung beschäftigt mich.
[mm] \wurzel{z+3}+\wurzel{z^{2}+6z+9}=2
[/mm]
[mm] \wurzel{z^{2}+6z+9}=2-\wurzel{z+3}
[/mm]
[mm] z^{2}+6z+9=4+4\wurzel{z+3}+z+3
[/mm]
[mm] z^{2}+5z+2=4\wurzel{z+3}
[/mm]
[mm] \bruch{z^{2}+5z+2}{4}=\wurzel{z+3}
[/mm]
[mm] \left(\bruch{z^{2}+5z+2}{4}\right)^{2}=z+3
[/mm]
Jetzt hab ich den Salat. Seht Ihr, was ich nicht beachtet habe?
Das [mm] z^2+6z+9=(z+3)^{2} [/mm] ist sehe ich, mehr aber auch nicht 
Vielen Dank!
Gruß
mbau16
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:59 Do 08.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo mbau!
> [mm]\wurzel{z^{2}+6z+9}=2-\wurzel{z+3}[/mm]
>
> [mm]z^{2}+6z+9=4+4\wurzel{z+3}+z+3[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier gehört vor die Wurzel ein [mm] $\red{-}4$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:02 Do 08.03.2012 | | Autor: | mbau16 |
> Lösen Sie die gegebene Gleichung nach z auf:
>
> [mm]\wurzel{z+3}+\wurzel{z^{2}+6z+9}=2[/mm]
> Guten Morgen,
>
> folgende Gleichung beschäftigt mich. Habe schon einen Fehler eliminiert.
>
> [mm]\wurzel{z+3}+\wurzel{z^{2}+6z+9}=2[/mm]
>
> [mm]\wurzel{z^{2}+6z+9}=2-\wurzel{z+3}[/mm]
>
> [mm]z^{2}+6z+9=4-4\wurzel{z+3}+z+3[/mm]
>
> [mm]z^{2}+5z+2=-4\wurzel{z+3}[/mm]
>
> [mm]-\bruch{z^{2}+5z+2}{4}=\wurzel{z+3}[/mm]
>
> [mm]\left(-\bruch{z^{2}+5z+2}{4}\right)^{2}=z+3[/mm]
>
> Jetzt hab ich den Salat. Seht Ihr, was ich nicht beachtet
> habe?
>
> Das [mm]z^2+6z+9=(z+3)^{2}[/mm] ist sehe ich, mehr aber auch nicht
>
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
>
> mbau16
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Hiho,
> > Das [mm]z^2+6z+9=(z+3)^{2}[/mm] ist sehe ich, mehr aber auch nicht
warum nutzt du das dann nicht gleich als ersten Umformungsschritt?
Substituiere dann $x = [mm] \sqrt{z+3}$ [/mm] und du erhälst eine einfache quadratische Gleichung.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:16 Do 08.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Gono!
![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]") Sehr eleganter Lösungsweg!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Do 08.03.2012 | | Autor: | mbau16 |
Hallo nochmal,
als erstes möchte ich mich bei Euch für die rege Beteiligung an meiner Frage bedanken. Ich denke die Substitution mit [mm] x=\wurzel{z+3} [/mm] ist die beste Variante.
Nun schaut doch mal bitte, ob es so korrekt ist.
[mm] \wurzel{z+3}+\wurzel{z^{2}+6z+9}=2
[/mm]
[mm] x=\wurzel{z+3}
[/mm]
[mm] \wurzel{z^{2}+6z+9}=\wurzel{(z+3)^{2}}
[/mm]
[mm] x^2+x-2=0
[/mm]
[mm] x_{1,2}=-\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\left(\bruch{1}{2}\right)^{2}+2}
[/mm]
[mm] x_{1}=1
[/mm]
[mm] x_{2}=-2
[/mm]
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Hallo mbau16,
* auch mitmisch *
> Hallo nochmal,
>
> als erstes möchte ich mich bei Euch für die rege
> Beteiligung an meiner Frage bedanken. Ich denke die
> Substitution mit [mm]x=\wurzel{z+3}[/mm] ist die beste Variante.
>
> Nun schaut doch mal bitte, ob es so korrekt ist.
>
> [mm]\wurzel{z+3}+\wurzel{z^{2}+6z+9}=2[/mm]
>
> [mm]x=\wurzel{z+3}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{z^{2}+6z+9}=\wurzel{(z+3)^{2}}[/mm]
>
> [mm]x^2+x-2=0[/mm]
>
> [mm]x_{1,2}=-\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\left(\bruch{1}{2}\right)^{2}+2}[/mm]
>
> [mm]x_{1}=1[/mm]
>
> [mm]x_{2}=-2[/mm]
Das ist bis hierhin völlig richtig. Jetzt musst du noch zurücksubstituieren, und dann die Probe machen. Das muss man bei Wurzelgleichungen grundsätzlich tun, da man bei der Auflösung stets potenziert (was die Substitution hier geschickt verdeckt), und Potenzieren ist keine äquivalente Umformung. Heißt konkret: es können falsche Lösungen herauskommen, obwohl du richtig gerechnet hast. Und daher die Notwendigkeit einer Probe!
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:02 Do 08.03.2012 | | Autor: | archik |
Du kannst im ersten Schritt bereits Quadrieren, dann
ersparrst du dir sehr viel "arbeit"...?!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:07 Do 08.03.2012 | | Autor: | mbau16 |
Danke für die Mitarbeit archik. Aber wird mein Ausdruck dann nicht noch komplizierter? Die binomische Formel muss ich ja ebenfalls beachten.
Gruß
mbau16
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 Do 08.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo mbau!
Wenn Du beachtest [mm]\wurzel{z^2+6*z+9} \ = \ \wurzel{(z+3)^2} \ = \ \left|z+3\right|[/mm] , musst Du zwar theoretisch eine Fallunterscheisung machen (also 2 Rechnungen). Aber durch die ebenfalls vorhandene Wurzel [mm]\wurzel{z+3}[/mm] muss hier gelten [mm]|z+3| \ = \ +(z+3)[/mm] , so dass nur noch eine Rechnung verbleibt.
Und nun hast Du nur noch eine Wurzel in der Bestimmungsgleichung.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:22 Do 08.03.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Loddar,
durch die Benennung der Variablen als "z", vermute ich sehr, dass [mm] $z\in\IC$ [/mm] gelten soll.... auch wenn Bezeichnungen nur Schall und Rauch sind
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:43 Do 08.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> durch die Benennung der Variablen als "z", vermute ich
> sehr, dass [mm]z\in\IC[/mm] gelten soll....
Tja, zu dem Thema müsste sich dann der Fragensteller mal äußern.
Gruß
Loddar
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