Wurzelkriterium beweisen? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei eine Reihe ( [mm] \summe_{k=1}^{n} a_k)_{n \in \IN} [/mm] mit [mm] a_k \in \IR [/mm] für alle k [mm] \in \IN [/mm] gegeben. Zeigen Sie, dass für deren Konvergenzverhalten dann folgende zwei Kriterien gelten:
a) Falls ein q < 1 und ein [mm] k_0 \in \IN [/mm] existieren, sodass für alle k [mm] \ge k_0 [/mm] gilt, dass [mm] \wurzel[k]{|a_k|} \le [/mm] q.
Dann konvergiert die Reihe absolut.
b) Falls für unendlich viele k gilt, dass [mm] \wurzel[k]{|a_k|} \ge [/mm] 1 , dann divergiert die Reihe. |
Hallo und ein frohes neues Jahr,
zu a) Ich glaube, man soll hier einfach das Wurzelkriterium beweisen, oder ? Zusatzfrage: Warum [mm] \le [/mm] q und nicht < q ? Wenn das Wurzelkriterium genau 1 liefert, kann man doch über das Konvergenzverhalten keine Aussage treffen ?
zu b) Wie genau gehe ich hier vor ?
Vielen Dank im Voraus.
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Zu a) Kingt nach einem Beweis des Wurzelkriteriums. Beachte, dass da steht $q < 1$.
Zu b) Ich würde mich fragen, ob es sich dann bei [mm] $a_{k}$ [/mm] noch um eine Nullfolge handelt, was ja ein notwendiges Kriterium für Konvergenz ist. Ist aber nur so eine Idee ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Fr 01.01.2016 | | Autor: | Ladon |
> zu a) Ich glaube, man soll hier einfach das Wurzelkriterium
> beweisen, oder ?
Korrekt! 
> Zusatzfrage: Warum [mm]\le[/mm] q und nicht < q ?
> Wenn das Wurzelkriterium genau 1 liefert, kann man doch
> über das Konvergenzverhalten keine Aussage treffen ?
Die Aussage ist richtig. Bedenke $q<1$, was $ [mm] \wurzel[k]{|a_k|} \le [/mm] q <1$ liefert.
> zu b) Wie genau gehe ich hier vor ?
Der Beweis geht in beiden Fällen durch Rückführung auf das Majorantenkriterium (Umformung gibt [mm] $|a_k|\le q^k$). [/mm]
Aussage b) sollte wie folgt lauten:
Gibt es $q>1$ mit [mm] $\wurzel[n]{|a_n|}\ge [/mm] q$ für fast alle [mm] $n\in\IN$, [/mm] dann divergiert die Reihe.
Viele Grüße
Ladon
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Hallo,
danke für die Antworten. Also ich probiere es mal:
a) q <1:
Für ein q [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] \wurzel[n]{ |a_n| } [/mm] < q < 1 gibt es einen Index [mm] n_0 \in \IN [/mm] , sodass:
[mm] \wurzel[n]{ |a_n| } [/mm] < q , für alle n [mm] \in \IN [/mm] , n [mm] \ge n_0
[/mm]
Dann gilt die Abschätzung: [mm] \summe_{n=n_0}^{ |a_n| } [/mm] < [mm] \summe_{n=n_0}^{\infty} q^n [/mm] = [mm] q^{n_0} \bruch{1}{1-q} [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
Also konvergiert die Reihe.
b) Mit diesem unendlich k weiß ich nicht, wie ich anfangen soll, daher habe ich das probiert:
Sei q > 1 , q = [mm] \overline{lim} \wurzel[n]{ |a_n| } [/mm] > 1. Dann existiert eine Teilfolge [mm] (a_{n_k}) \subset (a_n)
[/mm]
mit lim [mm] \wurzel[n_k]{ |a_{n_k}| } [/mm] = q. Wähle [mm] \varepsilon [/mm] > 0, sodass q > 1 + [mm] \varepsilon
[/mm]
Dann existiert ein [mm] k_0 \in \IN [/mm] mit | [mm] \wurzel[n_k]{ |a_{n_k}| } [/mm] -q | < [mm] \varepsilon [/mm] für k [mm] \ge k_0
[/mm]
Somit ist - [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] \wurzel[n_k]{ |a_{n_k}| } [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] => 1 < q - [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] \wurzel[n_k]{ |a_{n_k}| } [/mm] => 1 < [mm] |a_{n_k}| [/mm] für k [mm] \ge k_0
[/mm]
Daraus folgt, dass [mm] a_{n_k} [/mm] nicht gegen 0 strebt. Daraus wiederrum folt, dass [mm] a_n [/mm] nicht gegen 0 strebt.
=> Reihe ist divergent.
Ich bitte um Kontrolle.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Sa 02.01.2016 | | Autor: | Ladon |
> a) q <1:
>
> Für ein q [mm]\in \IR[/mm] mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup
> [mm]\wurzel[n]{ |a_n| }[/mm] < q < 1 gibt es einen Index [mm]n_0 \in \IN[/mm]
> , sodass:
> [mm]\wurzel[n]{ |a_n| }[/mm] < q , für alle n [mm]\in \IN[/mm] , n [mm]\ge n_0[/mm]
>
> Dann gilt die Abschätzung: [mm]\summe_{n=n_0}^{ |a_n| }[/mm] <
> [mm]\summe_{n=n_0}^{\infty} q^n[/mm] = [mm]q^{n_0} \bruch{1}{1-q}[/mm] <
> [mm]\infty[/mm]
> Also konvergiert die Reihe.
Was meinst du mit [mm] $\summe_{n=n_0}^{ |a_n| }$? [/mm]
Du kannst doch einfach
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty a_n=\sum_{n=0}^{n_0-1} a_n+\sum_{n=n_0}^\infty a_n\le \sum_{n=0}^{n_0-1} a_n+\sum_{n=n_0}^\infty q^n=\sum_{n=0}^{n_0-1} a_n+\frac{q^{n_0+1}}{1-q}<\infty$$
[/mm]
mit der geometrischen Summenformel und der Abschätzung von meiner vorherigen Antworten schreiben. Die Konvergenz folgt aus dem Satz über konvergente Majoranten.
>
> b) Mit diesem unendlich k weiß ich nicht, wie ich anfangen
> soll,
Die b) geht analog zu a). Du suchst diesmal nur eine divergente Minorante, um nach unten hin abzuschätzen. Da für fast alle $k$ gilt $ [mm] \wurzel[k]{|a_k|} \ge [/mm] 1$, kann man wieder
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty a_n=\sum_{n=0}^{n_0-1} a_n+\sum_{n=n_0}^\infty a_n\ge\sum_{n=0}^{n_0-1} a_n+\sum_{n=n_0}^\infty [/mm] 1$$
abschätzen.
Liebe Grüße
Ladon
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:40 So 03.01.2016 | | Autor: | fred97 |
Zu b):
aus $ [mm] \wurzel[k]{|a_k|} \ge [/mm] 1$ für unendlich viele k folgt
[mm] $|a_k| \ge [/mm] 1$ für unendlich viele k.
Was ist nun [mm] (a_k) [/mm] mit Sicherheit nicht ?
Bingo ! [mm] (a_k) [/mm] ist keine Nullfolge.
FRED
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