Wurzeln in e-Funktionen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 Di 22.09.2009 | | Autor: | Musi |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Freunde,
ich sitze seit einiger Zeit an folgendem Integral:
[mm] \integral_{0}^{1}{exp(- \sqrt{\frac{a^2+x(a^2-b^2)}{x(1-x)}}) dx}
[/mm]
mit dem Spezialfall $a = b$:
[mm] \integral_{0}^{1}{exp(- \frac{a}{\sqrt{x(1-x)}}) dx}
[/mm]
Der Integrand geht durch Null bei x = 0 und x = 1. Mit diversen Substitutionen, z. B. x = [mm] sin^2(\phi), [/mm] schaft man es zwar, die Wurzel im Exponenten gegen eine Winkel- (hyperbolische) Funktion wegzusubstituieren, aber dafuer erhaelt man durch die Jacobi-Determinante einen haesslichen Vorfaktor.
Auch partielle Integration fuehrt auf Schlimmeres.
Fuer den Fall $a = b$ kann man sich auf das Intervall $[1/2, 1]$ beschraenken wegen der Symmetrie der Funktion. Die Substitution $x [mm] \to \tilde{x} [/mm] + 1/2$ und [mm] $\tilde{x} \to [/mm] y/2$ fuehrt auf
[mm] \integral_{0}^{1}{exp(- \frac{4a}{\sqrt{1-y^2}}) dy}
[/mm]
Mit $y = [mm] \frac{1}{\sqrt{1-z^2}}$ [/mm] erhaelt man
[mm] \integral_{1}^{\infty}{\frac{exp(- 4az)}{z^2 \sqrt{z^2-1}} dz}
[/mm]
was ich auch wieder nicht integrieren kann.
Hat jemand eine Idee, wie man das Integral trotzdem knacken koennte?
Vielen Dank,
Musi.
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> ich sitze seit einiger Zeit an folgendem Integral:
> [mm]\integral_{0}^{1}{exp(- \sqrt{\frac{a^2+x(a^2-b^2)}{x(1-x)}}) dx}[/mm]
>
> mit dem Spezialfall [mm]a = b[/mm]:
> [mm]\integral_{0}^{1}{exp(- \frac{a}{\sqrt{x(1-x)}}) dx}[/mm]
Hallo,
wo kommt das integral her, und wofür brauchst Du es?
Mein Assistent (leider elektronisch) konnte mir für a=b=1 jedenfalls keine Stammfunktion liefern, so daß ich denke, daß das Unternehmen unter einem schlechten Stern steht.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:21 Di 22.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das kann man nicht mit ner Stammfkt loesen.
geh zu Wolfram alpha, da kannst du dirs fuer einige Parameter numerisch loesen lassen. a=1 ergibt etwa 0.08....
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:41 Fr 25.09.2009 | | Autor: | Musi |
Nur, weil ein Matheprogramm nichts findet, heisst es doch noch lange nicht, dass es keine Stammfunktion gibt, oder?
Koennte man das Integral irgendwie durch ein anderes bekanntes Integral nach oben abschaetzen?
Gruss
Musi.
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> Nur, weil ein Matheprogramm nichts findet, heisst es doch
> noch lange nicht, dass es keine Stammfunktion gibt, oder?
Hallo,
das nicht...
Die von Dir gepostete Funktion hat ganz sicher eine Stammfunktion (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) - daß die Matheprogramme nichts ausspucken, heißt mit sehr großer Wahrscheinlichkeit, daß man die Stammfunktion aber nicht als "schöne" Funktion explizit angeben kann.
Existenz der Stammfunktion und die Tatsache, daß man sie explizit als aus "einfachen" Funktionen zusammengesetzte Funktion angeben kann, sind zwei paar Schuhe.
>
> Koennte man das Integral irgendwie durch ein anderes
> bekanntes Integral nach oben abschaetzen?
Ich stelle mir jetzt gerade vor, daß Du sagen sollst, ob das uneigentliche Integral existiert oder nicht.
Wenn die Aufgabenstellung so lautet, erleidet man oftmals Schiffbruch, wenn man sich auf die Suche nach der Stammfunktion begibt.
Der Weg geht dann, wie Du vermutest, übers Abschätzen.
Für den Fall a=b, a>0, kannst Du die Funktion durch [mm] e^{-a} [/mm] abschätzen, meine ich. Prüf's nach.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:36 Fr 25.09.2009 | | Autor: | Musi |
Danke schonmal fuer Eure Antworten.
Man kann das Integral natuerlich ueber das Maximum des Integranden abschaetzen. Das waere bei
[mm] c_{max} [/mm] = [mm] \frac{b}{a+b}
[/mm]
Dies ergibt dann
[mm] \integral_{0}^{1}{\exp\left(-\sqrt{\frac{a^2 + x(a^2-b^2)}{x(1-x)}}\right) dx} \le e^{-(a+b)}
[/mm]
Die Gerade mit Steigung Null, [mm] e^{-(a+b)}, [/mm] durch's Maximum ist auf jeden Fall eine Majorante, aber kriegt man das noch besser hin? Von der Form her erinnert der Integrand stark an eine Gaussglocke oder eine [mm] $-x^2$-Funktion.
[/mm]
Gruss,
Musi.
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