Wurzeln integrieren < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Do 31.01.2013 | | Autor: | ralfr |
Hallo ich wollte einmal fragen, wie man vorgehen muss um folgende Integrale zu lösen:
[mm] $\integral{\wurzel{x^2-2x+5} dx}$
[/mm]
oder auch
[mm] $\integral{x^2 \wurzel{x^3+5} dx}$
[/mm]
Ich hoffe mir kann das jemand verständlich erklären, denn ich komme mit soetwas zum 1. mal in berührung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 Do 31.01.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo ich wollte einmal fragen, wie man vorgehen muss um
> folgende Integrale zu lösen:
> [mm]\integral{\wurzel{x^2-2x+5} dx}[/mm]
Du benötigst das Integral:
[mm] $\int\sqrt{a^{2}+x^{2}}dx=\frac{x}{2}\cdot\sqrt{a^{2}+x^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\cdot\ln\left(x+\sqrt{a^{2}+x^{2}}\right)$
[/mm]
Damit dann:
[mm] $\integral{\wurzel{z^2-2z+5} dz}=\int\sqrt{(z-2)^{2}+1}dx$
[/mm]
Nun substituiere x=z2, dann hast du obige Form mit a=1
> oder auch
> [mm]\integral{x^2 \wurzel{x^3+5} dx}[/mm]
Dieses Integral würde ich versuchen, mit partieller Integration zu lösen. Ob das zielfühnrend ist, weiß ich gerade nicht, daher lasse ich das mal auf "Teilweise beantwortet".
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Do 31.01.2013 | | Autor: | ralfr |
> Hallo ralfr,
>
> kennst und kannst Du schon Integration per Substitution?
>
> > Hallo ich wollte einmal fragen, wie man vorgehen muss um
> > folgende Integrale zu lösen:
> > [mm]\integral{\wurzel{x^2-2x+5} dx}[/mm]
> > oder auch
> > [mm]\integral{x^2 \wurzel{x^3+5} dx}[/mm]
> > Ich hoffe mir kann
> das
> > jemand verständlich erklären, denn ich komme mit soetwas
> > zum 1. mal in berührung.
>
> Für das zweite Integral substituiert man am besten
> [mm]u=x^3+5.[/mm]
>
> Ihr müsstet das Verfahren gehabt haben, denn sonst ist das
> Integral nicht analytisch zu lösen.
>
> Versuchs mal und rechne vor, wenn Du Dir unsicher bist.
>
> Grüße
> reverend
>
Also ich habe ja gedacht ich kann beim 1. Integral auch die Substitution anwenden also:
[mm] $\integral{\wurzel{x^2-2x+5} dx}$
[/mm]
[mm] $z=x^2-2x+5$
[/mm]
[mm] $\frac{dz}{dx}=2x-2$
[/mm]
[mm] $dx=\frac{1}{2x-2}dz$
[/mm]
[mm] $\integral{\wurzel{x^2-2x+5} dx}$ [/mm] = [mm] \integral{\wurzel{z}*\frac{1}{2x-2} dz}=\frac{1}{2x-2}* \integral{\wurzel{z} dz}=\frac{1}{2x-2}*\frac{2}{3}z^{\frac{3}{2}}=\frac{1}{2x-2}*\frac{2}{3}(2x^2-2x+5)^{\frac{3}{2}}$
[/mm]
Aber das wäre zu einfach oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 Do 31.01.2013 | | Autor: | M.Rex |
> > Hallo ralfr,
> >
> > kennst und kannst Du schon Integration per Substitution?
> >
> > > Hallo ich wollte einmal fragen, wie man vorgehen muss um
> > > folgende Integrale zu lösen:
> > > [mm]\integral{\wurzel{x^2-2x+5} dx}[/mm]
> > > oder auch
> > > [mm]\integral{x^2 \wurzel{x^3+5} dx}[/mm]
> > > Ich hoffe
> mir kann
> > das
> > > jemand verständlich erklären, denn ich komme mit soetwas
> > > zum 1. mal in berührung.
> >
> > Für das zweite Integral substituiert man am besten
> > [mm]u=x^3+5.[/mm]
> >
> > Ihr müsstet das Verfahren gehabt haben, denn sonst ist das
> > Integral nicht analytisch zu lösen.
> >
> > Versuchs mal und rechne vor, wenn Du Dir unsicher bist.
> >
> > Grüße
> > reverend
> >
> Also ich habe ja gedacht ich kann beim 1. Integral auch die
> Substitution anwenden also:
> [mm]\integral{\wurzel{x^2-2x+5} dx}[/mm]
> [mm]z=x^2-2x+5[/mm]
> [mm]\frac{dz}{dx}=2x-2[/mm]
> [mm]dx=\frac{1}{2x-2}dz[/mm]
> [mm]\integral{\wurzel{x^2-2x+5} dx}[/mm][/mm] =
> [mm]\integral{\wurzel{z}*\frac{1}{2x-2} dz}=\frac{1}{2x-2}* \integral{\wurzel{z} dz}=\frac{1}{2x-2}*\frac{2}{3}z^{\frac{3}{2}}=\frac{1}{2x-2}*\frac{2}{3}(2x^2-2x+5)^{\frac{3}{2}}$[/mm]
>
> Aber das wäre zu einfach oder?
Ja, denn du hast die Variable x durch die Substitution nicht komplett aus dem Integral herausbekommen, den Faktor [mm] \frac{1}{2x-2} [/mm] darfst du nicht aus dem Integral als konstanten Faktor hervorziehen, da x und die Integrationsvariable z nicht unabhängig sind.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Do 31.01.2013 | | Autor: | ralfr |
> Hallo
>
>
> > Hallo ich wollte einmal fragen, wie man vorgehen muss um
> > folgende Integrale zu lösen:
> > [mm]\integral{\wurzel{x^2-2x+5} dx}[/mm]
>
>
> Du benötigst das Integral:
>
> [mm]\int\sqrt{a^{2}+x^{2}}dx=\frac{x}{2}\cdot\sqrt{a^{2}+x^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\cdot\ln\left(x+\sqrt{a^{2}+x^{2}}\right)[/mm]
>
>
> Damit dann:
>
> [mm]\integral{\wurzel{z^2-2z+5} dz}=\int\sqrt{(z-2)^{2}+1}dx[/mm]
>
> Nun substituiere x=z2, dann hast du obige Form mit a=1
>
>
> > oder auch
> > [mm]\integral{x^2 \wurzel{x^3+5} dx}[/mm]
>
> Dieses Integral würde ich versuchen, mit partieller
> Integration zu lösen. Ob das zielfühnrend ist, weiß ich
> gerade nicht, daher lasse ich das mal auf "Teilweise
> beantwortet".
>
> Marius
>
[mm]\integral{\wurzel{z^2-2z+5} dz}=\int\sqrt{(z-2)^{2}+1}dx[/mm]
Das ist mit nicht klar. Ist das nicht:
[mm] $\int\sqrt{(x-1)^{2}+4}dx$?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Do 31.01.2013 | | Autor: | M.Rex |
> > Hallo
> >
> >
> > > Hallo ich wollte einmal fragen, wie man vorgehen muss um
> > > folgende Integrale zu lösen:
> > > [mm]\integral{\wurzel{x^2-2x+5} dx}[/mm]
> >
> >
> > Du benötigst das Integral:
> >
> >
> [mm]\int\sqrt{a^{2}+x^{2}}dx=\frac{x}{2}\cdot\sqrt{a^{2}+x^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\cdot\ln\left(x+\sqrt{a^{2}+x^{2}}\right)[/mm]
> >
> >
> > Damit dann:
> >
> > [mm]\integral{\wurzel{z^2-2z+5} dz}=\int\sqrt{(z-2)^{2}+1}dx[/mm]
>
> >
> > Nun substituiere x=z2, dann hast du obige Form mit a=1
> >
> >
> > > oder auch
> > > [mm]\integral{x^2 \wurzel{x^3+5} dx}[/mm]
> >
> > Dieses Integral würde ich versuchen, mit partieller
> > Integration zu lösen. Ob das zielfühnrend ist, weiß ich
> > gerade nicht, daher lasse ich das mal auf "Teilweise
> > beantwortet".
> >
> > Marius
> >
> [mm]\integral{\wurzel{z^2-2z+5} dz}=\int\sqrt{(z-2)^{2}+1}dx[/mm]
>
> Das ist mit nicht klar. Ist das nicht:
> [mm]\int\sqrt{(x-1)^{2}+4}dx[/mm]?
>
Du hast recht, mein Fehler
[mm] \sqrt{z^{2}-2z+5}=\sqrt{(z-1)^{2}+4}
[/mm]
Damit bekommst du nach der Substitution x=z-1 ein Integral der Form
[mm] \sqrt{2^{2}+x^{2}}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Do 31.01.2013 | | Autor: | ralfr |
>
> > > Hallo
> > >
> > >
> > > > Hallo ich wollte einmal fragen, wie man vorgehen muss um
> > > > folgende Integrale zu lösen:
> > > > [mm]\integral{\wurzel{x^2-2x+5} dx}[/mm]
> > >
> > >
> > > Du benötigst das Integral:
> > >
> > >
> >
> [mm]\int\sqrt{a^{2}+x^{2}}dx=\frac{x}{2}\cdot\sqrt{a^{2}+x^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\cdot\ln\left(x+\sqrt{a^{2}+x^{2}}\right)[/mm]
> > >
> > >
> > > Damit dann:
> > >
> > > [mm]\integral{\wurzel{z^2-2z+5} dz}=\int\sqrt{(z-2)^{2}+1}dx[/mm]
>
> >
> > >
> > > Nun substituiere x=z2, dann hast du obige Form mit a=1
> > >
> > >
> > > > oder auch
> > > > [mm]\integral{x^2 \wurzel{x^3+5} dx}[/mm]
> > >
> > > Dieses Integral würde ich versuchen, mit partieller
> > > Integration zu lösen. Ob das zielfühnrend ist, weiß ich
> > > gerade nicht, daher lasse ich das mal auf "Teilweise
> > > beantwortet".
> > >
> > > Marius
> > >
> > [mm]\integral{\wurzel{z^2-2z+5} dz}=\int\sqrt{(z-2)^{2}+1}dx[/mm]
>
> >
> > Das ist mit nicht klar. Ist das nicht:
> > [mm]\int\sqrt{(x-1)^{2}+4}dx[/mm]?
> >
>
> Du hast recht, mein Fehler
>
> [mm]\sqrt{z^{2}-2z+5}=\sqrt{(z-1)^{2}+4}[/mm]
>
> Damit bekommst du nach der Substitution x=z-1 ein Integral
> der Form
>
> [mm]\sqrt{2^{2}+x^{2}}[/mm]
>
> Marius
>
Also wäre dann die Lösung:
[mm] $\frac{x-1}{2}*\sqrt{x^2-2x+5}+2*ln((x-1)+\sqrt{x^2-2x+5})$
[/mm]
oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 Do 31.01.2013 | | Autor: | M.Rex |
> >
> > > > Hallo
> > > >
> > > >
> > > > > Hallo ich wollte einmal fragen, wie man vorgehen muss um
> > > > > folgende Integrale zu lösen:
> > > > > [mm]\integral{\wurzel{x^2-2x+5} dx}[/mm]
> > > >
> > > >
> > > > Du benötigst das Integral:
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]\int\sqrt{a^{2}+x^{2}}dx=\frac{x}{2}\cdot\sqrt{a^{2}+x^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\cdot\ln\left(x+\sqrt{a^{2}+x^{2}}\right)[/mm]
> > > >
> > > >
> > > > Damit dann:
> > > >
> > > > [mm]\integral{\wurzel{z^2-2z+5} dz}=\int\sqrt{(z-2)^{2}+1}dx[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Nun substituiere x=z2, dann hast du obige Form mit a=1
> > > >
> > > >
> > > > > oder auch
> > > > > [mm]\integral{x^2 \wurzel{x^3+5} dx}[/mm]
> > > >
> > > > Dieses Integral würde ich versuchen, mit partieller
> > > > Integration zu lösen. Ob das zielfühnrend ist, weiß ich
> > > > gerade nicht, daher lasse ich das mal auf "Teilweise
> > > > beantwortet".
> > > >
> > > > Marius
> > > >
> > > [mm]\integral{\wurzel{z^2-2z+5} dz}=\int\sqrt{(z-2)^{2}+1}dx[/mm]
>
> >
> > >
> > > Das ist mit nicht klar. Ist das nicht:
> > > [mm]\int\sqrt{(x-1)^{2}+4}dx[/mm]?
> > >
> >
> > Du hast recht, mein Fehler
> >
> > [mm]\sqrt{z^{2}-2z+5}=\sqrt{(z-1)^{2}+4}[/mm]
> >
> > Damit bekommst du nach der Substitution x=z-1 ein Integral
> > der Form
> >
> > [mm]\sqrt{2^{2}+x^{2}}[/mm]
> >
> > Marius
> >
>
> Also wäre dann die Lösung:
> [mm]\frac{x-1}{2}*\sqrt{x^2-2x+5}+2*ln((x-1)+\sqrt{x^2-2x+5})[/mm]
> oder?
Das sieht gut aus.
Marius
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Hallo ralfr,
kennst und kannst Du schon Integration per Substitution?
> Hallo ich wollte einmal fragen, wie man vorgehen muss um
> folgende Integrale zu lösen:
> [mm]\integral{\wurzel{x^2-2x+5} dx}[/mm]
> oder auch
> [mm]\integral{x^2 \wurzel{x^3+5} dx}[/mm]
> Ich hoffe mir kann das
> jemand verständlich erklären, denn ich komme mit soetwas
> zum 1. mal in berührung.
Für das zweite Integral substituiert man am besten [mm] u=x^3+5.
[/mm]
Ihr müsstet das Verfahren gehabt haben, denn sonst ist das Integral nicht analytisch zu lösen.
Versuchs mal und rechne vor, wenn Du Dir unsicher bist.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Do 31.01.2013 | | Autor: | ralfr |
> Hallo ralfr,
>
> kennst und kannst Du schon Integration per Substitution?
>
> > Hallo ich wollte einmal fragen, wie man vorgehen muss um
> > folgende Integrale zu lösen:
> > [mm]\integral{\wurzel{x^2-2x+5} dx}[/mm]
> > oder auch
> > [mm]\integral{x^2 \wurzel{x^3+5} dx}[/mm]
> > Ich hoffe mir kann
> das
> > jemand verständlich erklären, denn ich komme mit soetwas
> > zum 1. mal in berührung.
>
> Für das zweite Integral substituiert man am besten
> [mm]u=x^3+5.[/mm]
>
> Ihr müsstet das Verfahren gehabt haben, denn sonst ist das
> Integral nicht analytisch zu lösen.
>
> Versuchs mal und rechne vor, wenn Du Dir unsicher bist.
>
> Grüße
> reverend
>
Danke ich probiere es einfach mal:
[mm]\integral{x^2 \wurzel{x^3+5} dx}[/mm]
[mm] $z=x^3+5$
[/mm]
[mm] $\frac{dz}{dx}=3x^2$
[/mm]
[mm] $dx=\frac{1}{3x^2} [/mm] du$
[mm] $\integral{x^2 \wurzel{x^3+5} dx}=\frac{1}{3} \integral{\wurzel{u} du}=\frac{1}{3}*\frac{2}{3}*u^{\frac{3}{2}}=\frac{2}{9}*(x^3+5)^{\frac{3}{2}}$
[/mm]
Gibt es keinen einfacheren Weg für die 1. Integration?
Das ist ziemlich umständlich mit der partiellen integration?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 Do 31.01.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Danke ich probiere es einfach mal:
> [mm]\integral{x^2 \wurzel{x^3+5} dx}[/mm]
> [mm]z=x^3+5[/mm]
> [mm]\frac{dz}{dx}=3x^2[/mm]
> [mm]dx=\frac{1}{3x^2} du[/mm]
> [mm]\integral{x^2 \wurzel{x^3+5} dx}=\frac{1}{3} \integral{\wurzel{u} du}=\frac{1}{3}*\frac{2}{3}*u^{\frac{3}{2}}=\frac{2}{9}*(x^3+5)^{\frac{3}{2}}[/mm]
Das sieht gut aus. Dieser Weg ist definitiv eleganter als meine Idde über die partielle Integration.
>
> Gibt es keinen einfacheren Weg für die 1. Integration?
Ich fürchte nein, durch eine Umformung auf ein Standartintegral zu gelangen, ist schon recht komfortabel.
> Das ist ziemlich umständlich mit der partiellen
> integration?
Ist es in der Tat. Aber reverend hat ja eine schöne Lösung per Substitution gefunden.
Marius
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