Wurzeltest < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Fr 20.01.2012 | | Autor: | sissile |
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Hallo,
das wird nicht funktionieren, denn der Grenzwert ist hier 1. Dann ist das Konvergenzverhalten der Reihe aber weiter unklar.
Vielleicht könnte man eine konvergente Majorante finden?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Fr 20.01.2012 | | Autor: | sissile |
Konvergente Majorante ist schon gefunden, das ist schon klar.
ABer wieso geht $ [mm] \wurzel[k]{|\frac{k}{k^3-1}|} [/mm] $ = $ [mm] \frac{\wurzel[k]{k}}{\wurzel[k]{k^3-1}} [/mm] $ bei k-> [mm] \infty [/mm] gegen 1?
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Hallo sissile,
wieso schreibst du in der Überschrift "Quotiententest" (ich kenne das unter "Quotientenkriterium"), wenn du doch das Wurzelkriterium benutzt?!
> Konvergente Majorante ist schon gefunden, das ist schon
> klar.
> ABer wieso geht [mm]\wurzel[k]{|\frac{k}{k^3-1}|}[/mm] = [mm]\frac{\wurzel[k]{k}}{\wurzel[k]{k^3-1}}[/mm] bei k-> [mm]\infty[/mm]
> gegen 1?
Nun, für festes [mm]\alpha>0[/mm] strebt [mm]\sqrt[k]{k^{\alpha}}[/mm] für [mm]k\to\infty[/mm] gegen 1.
Das habt ihr sicher schon in der VL oder einer Übung beim Thema Folgen gezeigt.
[mm]\sqrt[k]{k}[/mm] geht gegen 1, der Rest folgt mit den Grenzwertsätzen.
Insbesondere konvergiert also für [mm]\alpha=1[/mm] die Folge im Zähler gegen 1, die Nennerfolge kannst du etwa mit dem Sandwichlemma erschlagen.
Oder "grob überschlagen" ist sie ja von der Größenordnung [mm]\sqrt[k]{k^3}[/mm], also hast du Konvergenz gegen 1 (mit [mm]\alpha=3[/mm])
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Fr 20.01.2012 | | Autor: | sissile |
Ja wir sollen Quotienten und Wurzel-test machen ;)
[mm] \wurzel[k]{k} [/mm] -> 1 klar, haben wir auch bewiesen.
[mm] \wurzel[k]{k^{\alpha}} [/mm] -> 1 nicht ganz klar, da wir den Beweis nicht hatten
aber was ist mit der -1 ? Es steht ja da [mm] \wurzel[k]{k^3-1}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:02 Sa 21.01.2012 | | Autor: | Helbig |
> aber was ist mit der -1 ? Es steht ja da
> [mm]\wurzel[k]{k^3-1}[/mm]
>
Es ist [mm] $\root [/mm] k [mm] \of {k^3-1} [/mm] < [mm] \root [/mm] k [mm] \of {k^3} =\root [/mm] k [mm] \of [/mm] k * [mm] \root [/mm] k [mm] \of [/mm] k * [mm] \root [/mm] k [mm] \of [/mm] k [mm] \to [/mm] 1*1*1=1$ und [mm] $\root [/mm] k [mm] \of {k^3-1} [/mm] > [mm] \root [/mm] k [mm] \of {k^2} \to [/mm] 1$.
OK?
Gruß Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:50 So 22.01.2012 | | Autor: | sissile |
jap danke
LG
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