X & Y stand.norm.vert. & unabh < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Irgendwie steh ich aufm Schlauch. Ich weiß net wie ich das machen soll.
Ich habe zwei Zufallsvariablen X und Y deren gemeinsame Verteilung P(X,Y) gegeben ist durch die Dichte f: [mm] \IR^{2} \to[0, \infty),
[/mm]
[mm] f(x,y)=\begin{cases} 1/\pi exp(-( x^{2}+y^{2})/2), & \mbox{falls} xy\ge0 \\ 0, & \mbox{sonst}\end{cases}
[/mm]
Nun soll ich zeigen, dass X und Y standardnormalverteilt sind. Und X und Y auf unabhänigkeit prüfen.
Für hilfen wär ich super Dankbar!!
ciao ralf
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Ralf!
Die (Rand-)Dichte von $X$ ergibt sich aus der gemeinsamen Dichte wie folgt:
[mm] $f_X(x) [/mm] = [mm] \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\, [/mm] dy$,
hier also für $x [mm] \ge [/mm] 0$:
[mm] $f_X(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{\pi} e^{-\frac{x^2}{2}} \int_0^{\infty} e^{- \frac{y^2}{2}}\, [/mm] dy$
und für $x<0$:
[mm] $f_X(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{\pi} e^{-\frac{x^2}{2}} \int_{-\infty}^{0} e^{- \frac{y^2}{2}}\, [/mm] dy$.
Analoges gilt natürlich für die (Rand-)Dichte von $Y$.
Viele Grüße
Julius
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