www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGruppe, Ring, KörperX^n + 1 = (X+1)^n --> n prim
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Gruppe, Ring, Körper" - X^n + 1 = (X+1)^n --> n prim
X^n + 1 = (X+1)^n --> n prim < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

X^n + 1 = (X+1)^n --> n prim: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:56 Di 15.03.2011
Autor: steppenhahn

Aufgabe
Es sei [mm] n\in\IN, [/mm] n > 1. Zeige, dass n genau dann eine Primzahl ist, wenn [mm](X+1)^n = X^n + 1[/mm] im Polynomring [mm](\IZ/ n\IZ)[X][/mm].


Hallo!

Die Aufgabe stammt aus einer Algebra 1 Klausur. Ich würde gern wissen, ob meine Lösung zur Rückrichtung korrekt ist und ob es evtl. einen besseren (eleganteren) Weg gibt:

Also sei [mm]n\in\IN, n> 1[/mm] und [mm](X+1)^n = X^n + 1[/mm] im Polynomring [mm](\IZ/ n\IZ)[X][/mm]. Zu zeigen ist, dass n eine Primzahl ist.
Mein Versuch: Angenommen, n wäre keine Primzahl, dann gäbe es [mm]a,b\in\IN, a\ge b > 1[/mm] mit [mm] n = a*b[/mm] und es wäre

[mm](X+1)^{n} = X^n + 1 + \sum_{k=1}^{n-1}\vektor{n\\ k}\cdot X^k[/mm].

Ich versuche k = b. Dann:

[mm] $\vektor{n\\k} [/mm] = [mm] \frac{(a*b)!}{b! * (a*b - b)!} [/mm] = [mm] \frac{(a*b) * (a*b - 1)* ... * (a*b - b + 1) * (a*b - b)!}{b! * (a*b - b)!} [/mm] = [mm] \frac{a*(a*b - 1)*...*(a*b - b + 1)}{(b-1)!}$ [/mm]

Damit ist der Zähler nicht mehr durch b teilbar, folglich auch nicht durch $a*b = n$ und der Term [mm] $\vektor{n\\ b}\cdot X^{b}$ [/mm] in der Darstellung würde nicht verschwinden.

Ist das so ok?

Vielen Dank für Eure Hilfe!
Stefan

        
Bezug
X^n + 1 = (X+1)^n --> n prim: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:11 Di 15.03.2011
Autor: felixf

Moin,

> Es sei [mm]n\in\IN,[/mm] n > 1. Zeige, dass n genau dann eine
> Primzahl ist, wenn [mm](X+1)^n = X^n + 1[/mm] im Polynomring [mm](\IZ/ n\IZ)[X][/mm].
>  
> Die Aufgabe stammt aus einer Algebra 1 Klausur. Ich würde
> gern wissen, ob meine Lösung zur Rückrichtung korrekt ist
> und ob es evtl. einen besseren (eleganteren) Weg gibt:
>  
> Also sei [mm]n\in\IN, n> 1[/mm] und [mm](X+1)^n = X^n + 1[/mm] im Polynomring
> [mm](\IZ/ n\IZ)[X][/mm]. Zu zeigen ist, dass n eine Primzahl ist.
>  Mein Versuch: Angenommen, n wäre keine Primzahl, dann
> gäbe es [mm]a,b\in\IN, a\ge b > 1[/mm] mit [mm]n = a*b[/mm] und es wäre
>  
> [mm](X+1)^{n} = X^n + 1 + \sum_{k=1}^{n-1}\vektor{n\\ k}\cdot X^k[/mm].
>  
> Ich versuche k = b. Dann:
>  
> [mm]\vektor{n\\k} = \frac{(a*b)!}{b! * (a*b - b)!} = \frac{(a*b) * (a*b - 1)* ... * (a*b - b + 1) * (a*b - b)!}{b! * (a*b - b)!} = \frac{a*(a*b - 1)*...*(a*b - b + 1)}{(b-1)!}[/mm]
>  
> Damit ist der Zähler nicht mehr durch b teilbar, folglich
> auch nicht durch [mm]a*b = n[/mm] und der Term [mm]\vektor{n\\ b}\cdot X^{b}[/mm]
> in der Darstellung würde nicht verschwinden.

bedenke, dass $a$ und $b$ keine Primzahlen sind. Es kann hier also schiefgehen.

Nimm doch an, dass $b$ die kleinste Primzahl ist, die $n$ teilt.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
X^n + 1 = (X+1)^n --> n prim: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:22 Di 15.03.2011
Autor: steppenhahn


Hallo Felix,

danke für deine Antwort!

> > Also sei [mm]n\in\IN, n> 1[/mm] und [mm](X+1)^n = X^n + 1[/mm] im Polynomring
> > [mm](\IZ/ n\IZ)[X][/mm]. Zu zeigen ist, dass n eine Primzahl ist.
>  >  Mein Versuch: Angenommen, n wäre keine Primzahl, dann
> > gäbe es [mm]a,b\in\IN, a\ge b > 1[/mm] mit [mm]n = a*b[/mm] und es wäre
>  >  
> > [mm](X+1)^{n} = X^n + 1 + \sum_{k=1}^{n-1}\vektor{n\\ k}\cdot X^k[/mm].
>  
> >  

> > Ich versuche k = b. Dann:
>  >  
> > [mm]\vektor{n\\ k} = \frac{(a*b)!}{b! * (a*b - b)!} = \frac{(a*b) * (a*b - 1)* ... * (a*b - b + 1) * (a*b - b)!}{b! * (a*b - b)!} = \frac{a*(a*b - 1)*...*(a*b - b + 1)}{(b-1)!}[/mm]
>  
> >  

> > Damit ist der Zähler nicht mehr durch b teilbar, folglich
> > auch nicht durch [mm]a*b = n[/mm] und der Term [mm]\vektor{n\\ b}\cdot X^{b}[/mm]
> > in der Darstellung würde nicht verschwinden.


> bedenke, dass [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] keine Primzahlen sind. Es kann hier
> also schiefgehen.
>  
> Nimm doch an, dass [mm]b[/mm] die kleinste Primzahl ist, die [mm]n[/mm]
> teilt.

Wenn ich das annehmen, klappt es, oder?
Denn dann ist

a*b durch b teilbar gewesen, und die nächste durch b teilbare Zahl wäre (a-1)*b, die aber schon nicht mehr im Zähler vorkommt.

Viele Grüße,
Stefan

Bezug
                        
Bezug
X^n + 1 = (X+1)^n --> n prim: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:20 Di 15.03.2011
Autor: felixf

Moin!

> > > [mm]\vektor{n\\ k} = \frac{(a*b)!}{b! * (a*b - b)!} = \frac{(a*b) * (a*b - 1)* ... * (a*b - b + 1) * (a*b - b)!}{b! * (a*b - b)!} = \frac{a*(a*b - 1)*...*(a*b - b + 1)}{(b-1)!}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > Damit ist der Zähler nicht mehr durch b teilbar, folglich
> > > auch nicht durch [mm]a*b = n[/mm] und der Term [mm]\vektor{n\\ b}\cdot X^{b}[/mm]
> > > in der Darstellung würde nicht verschwinden.
>  
>
> > bedenke, dass [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] keine Primzahlen sind. Es kann hier
> > also schiefgehen.
>  >  
> > Nimm doch an, dass [mm]b[/mm] die kleinste Primzahl ist, die [mm]n[/mm]
> > teilt.
>  
> Wenn ich das annehmen, klappt es, oder?
>  Denn dann ist
>  
> a*b durch b teilbar gewesen, und die nächste durch b
> teilbare Zahl wäre (a-1)*b, die aber schon nicht mehr im
> Zähler vorkommt.

Nunja, wenn $a$ selber durch $b$ teilbar ist, dann kommt $b$ immer noch im Zaehler vor.

Allerdings in einer geringeren Potenz, mit der es in $n = a b$ vorkommt.

Das musst du jetzt ausnutzen :-)

LG Felix


Bezug
                                
Bezug
X^n + 1 = (X+1)^n --> n prim: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:46 Di 15.03.2011
Autor: steppenhahn


Hallo Felix,

danke für deine Antwort!

[mm]\vektor{n\\ k} = \frac{(a*b)!}{b! * (a*b - b)!} = \frac{(a*b) * (a*b - 1)* ... * (a*b - b + 1) * (a*b - b)!}{b! * (a*b - b)!} = \frac{a*(a*b - 1)*...*(a*b - b + 1)}{(b-1)!}[/mm]


> > Denn a*b ist durch b teilbar gewesen, und die nächste durch b
> > teilbare Zahl wäre (a-1)*b, die aber schon nicht mehr im
> > Zähler vorkommt.
>  
> Nunja, wenn [mm]a[/mm] selber durch [mm]b[/mm] teilbar ist, dann kommt [mm]b[/mm]
> immer noch im Zaehler vor.
>  
> Allerdings in einer geringeren Potenz, mit der es in [mm]n = a b[/mm]
> vorkommt.

Oh Gott, bei der Aufgabe schussel ich die ganze Zeit rum...
Also: b sei die kleinste Primzahl, die n teilt. Entsprechend $a = n / b$. Es gilt somit $a [mm] \ge [/mm] b$.

Im Zähler des obigen Bruches kommt a als Faktor vor. Wir müssen also zeigen, dass b nicht den restlichen Teil

(a*b - 1)*...*(a*b - b + 1)

teilt. Das liegt daran, dass b den Term $a*b$ geteilt hat und als nächstkleinere Zahl (a-1)*b teilt, die aber schon nicht mehr in obigem Produkt enthalten ist.

Jetzt richtig :-) ?

Danke!
Stefan

Bezug
                                        
Bezug
X^n + 1 = (X+1)^n --> n prim: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:01 Di 15.03.2011
Autor: felixf

Moin!

> > > Denn a*b ist durch b teilbar gewesen, und die nächste
> durch b
> > > teilbare Zahl wäre (a-1)*b, die aber schon nicht mehr im
> > > Zähler vorkommt.
>  >  
> > Nunja, wenn [mm]a[/mm] selber durch [mm]b[/mm] teilbar ist, dann kommt [mm]b[/mm]
> > immer noch im Zaehler vor.
>  >  
> > Allerdings in einer geringeren Potenz, mit der es in [mm]n = a b[/mm]
> > vorkommt.
>  
> Oh Gott, bei der Aufgabe schussel ich die ganze Zeit
> rum...
>  Also: b sei die kleinste Primzahl, die n teilt.
> Entsprechend [mm]a = n / b[/mm]. Es gilt somit [mm]a \ge b[/mm].
>  
> Im Zähler des obigen Bruches kommt a als Faktor vor. Wir
> müssen also zeigen, dass b nicht den restlichen Teil
>  
> (a*b - 1)*...*(a*b - b + 1)
>  
> teilt. Das liegt daran, dass b den Term [mm]a*b[/mm] geteilt hat und
> als nächstkleinere Zahl (a-1)*b teilt, die aber schon
> nicht mehr in obigem Produkt enthalten ist.
>  
> Jetzt richtig :-) ?

Da $b$ prim ist, ja :) Wenn $b$ nicht prim ist und keinen Faktor teilt, kann es trotzdem das Produkt teilen.

Zum Beispiel fuer $b = 6$ und $a = 2$ steht da $11 * 10 * 9 * 8 * 7$, und das ist sehr wohl durch 6 teilbar.

LG Felix


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]