ZGWS Normalverteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:25 So 31.01.2010 | | Autor: | Torboe |
| Aufgabe | Abgas Heizwerk: Kohlenmonoxid ist Zufallsgröße X, E(X) = [mm] \mu, [/mm] Var(X) = 0,0001.
Frage: Wieviele unabh. Messungen sind nötig, damit deren Mittelwert mit 90%-iger Wahrscheinlichkeit um weniger als 0,003 von [mm] \mu [/mm] abweicht? |
Lösung:
[mm] X_{1}, X_{2}, [/mm] ... [mm] ,X_{n} [/mm] Werte von unabh. Messungen
=> X = [mm] \bruch{1}{n} (X_{1}, [/mm] + ... + [mm] X_{n}) [/mm] Mittelwert
Nach ZGWS X annähernd normalverteilt.
=> E(X) = [mm] \bruch{1}{n} (E(X_{1}) [/mm] + ... + [mm] E(X_{n}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} (\mu [/mm] + ... + [mm] \mu) [/mm] = [mm] \mu
[/mm]
Var(X) = [mm] \bruch{1}{n²} [/mm] Var [mm] (X_{1}+ [/mm] ... [mm] X_{n}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n²} [/mm] (Var [mm] (X_{1}+ [/mm] ... + Var [mm] (X_{n})) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * 0,0001
=> X [mm] \sim [/mm] N [mm] (\mu; \bruch{1}{n} [/mm] * 0,0001) näherungsweise
=> [mm] P(\mu [/mm] - 0,03 [mm] \le [/mm] X [mm] \le \mu [/mm] + 0,03) =
[mm] P(\bruch{-0,03}{\wurzel{1/n * 0,0001}} \le \bruch{X-\mu}{0,01/\wurzel{\mu}} \le [/mm] 0,3 [mm] \wurzel{n})
[/mm]
Meine Frage ist, wie man auf diese Umformung kommt:
Wie wird:
=> [mm] P(\mu [/mm] - 0,03 [mm] \le [/mm] X [mm] \le \mu [/mm] + 0,03) =
zu dem hier?
[mm] P(\bruch{-0,03}{\wurzel{1/n * 0,0001}} \le \bruch{X-\mu}{0,01/\wurzel{\mu}} \le [/mm] 0,3 [mm] \wurzel{n})
[/mm]
Vielen Dank im voraus!!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:28 So 31.01.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin Torboe
>
> Nach ZGWS X annähernd normalverteilt.
>
> => E(X) = [mm]\bruch{1}{n} (E(X_{1})[/mm] + ... + [mm]E(X_{n})[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{n} (\mu[/mm] + ... + [mm]\mu)[/mm] = [mm]\mu[/mm]
>
> Var(X) = [mm]\bruch{1}{n²}[/mm] Var [mm](X_{1}+[/mm] ... [mm]X_{n})[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{n²}[/mm] (Var [mm](X_{1}+[/mm] ... + Var [mm](X_{n}))[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] * 0,0001
>
> => X [mm]\sim[/mm] N [mm](\mu; \bruch{1}{n}[/mm] * 0,0001) näherungsweise
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> => [mm]P(\mu[/mm] - 0,03 [mm]\le[/mm] X [mm]\le \mu[/mm] + 0,03) =
>
> [mm]P(\bruch{-0,03}{\wurzel{1/n * 0,0001}} \le \bruch{X-\mu}{0,01/\wurzel{\mu}} \le[/mm]
> 0,3 [mm]\wurzel{n})[/mm]
Hier stimmt was nicht. M.E. muss es heissen:
[mm] $P(\mu [/mm] - [mm] 0,0\red{0}3 \le [/mm] X [mm] \le \mu [/mm] + [mm] 0,0\red{0}3) [/mm] = [mm] P(\bruch{-0,0\red{0}3}{\wurzel{1/n * 0,0001}} \le \bruch{X-\mu}{0,01/\wurzel{\mu}} \le\bruch{+0,0\red{0}3}{\wurzel{1/n * 0,0001}})$
[/mm]
>
>
> Meine Frage ist, wie man auf diese Umformung kommt:
>
> Wie wird:
> => [mm]P(\mu[/mm] - 0,03 [mm]\le[/mm] X [mm]\le \mu[/mm] + 0,03) =
>
> zu dem hier?
> [mm]P(\bruch{-0,03}{\wurzel{1/n * 0,0001}} \le \bruch{X-\mu}{0,01/\wurzel{\mu}} \le[/mm]
> 0,3 [mm]\wurzel{n})[/mm]
Wie berechnet man denn Ausdruecke der Form [mm] $P(a\le X\le [/mm] b)$, wenn $X_$ normalverteilt ist?
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 So 31.01.2010 | | Autor: | Torboe |
erstmal danke... die fehlerkorrektur hat schonmal weitergeholfen.
Wie berechnet man denn Ausdruecke der Form $ [mm] P(a\le X\le [/mm] b) $, wenn $ X_ $ normalverteilt ist?
indem man das was links vom [mm] \le [/mm] steht von dem was rechts vom [mm] \le [/mm] steht abzieht?
also [mm] \Phi (\bruch{+0,003}{\wurzel{(1/n)*0,0001}}) [/mm] - [mm] \Phi (\bruch{-0,003}{\wurzel{(1/n)*0,0001}})
[/mm]
?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 So 31.01.2010 | | Autor: | luis52 |
> erstmal danke... die fehlerkorrektur hat schonmal
> weitergeholfen.
>
>
> Wie berechnet man denn Ausdruecke der Form [mm]P(a\le X\le b) [/mm],
> wenn [mm]X_[/mm] normalverteilt ist?
>
> indem man das was links vom [mm]\le[/mm] steht von dem was rechts
> vom [mm]\le[/mm] steht abzieht?
>
> also [mm]\Phi (\bruch{+0,003}{\wurzel{(1/n)*0,0001}})[/mm] - [mm]\Phi (\bruch{-0,003}{\wurzel{(1/n)*0,0001}})[/mm]
>
> ?
Genau. Dann mal los ...
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:11 Mo 01.02.2010 | | Autor: | Torboe |
danke luis52!
|
|
|
|
