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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Jana85 |
Hallo Leute,
ich habe mal wieder ein Algebraisches Problem :-(
Und zwar geht es diesmal um einen ZPE-Ring
Ich stell einfach mal die Aufgabe, weil bei der weiß ich noch nicht mal einen Ansatz:
-------------------------
a) Es seien R ein ZPE-Ring und p [mm] \in [/mm] R ein Primelement. Weiter sei f [mm] \in [/mm] R[X] mit [mm] a_{n} [/mm] = 1. Zeigen Sie: gilt p | [mm] a_{i} [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n-1 und p² | nicht [mm] a_{0}, [/mm] so ist f unzerlegbar in R[X].
b) Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie, dass f(X) = [mm] \bruch{X^{p}-1}{X-1} [/mm] = [mm] X^{p-1}+
+X+1 \in \IZ[X] [/mm] unzerlegbar ist. Hinweis: Betrachten Sie f(X+1).
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Also bei beiden Teilen bekomme ich keinen Ansatz! Bei der 1 weiß ich zwar alle Begriffe und weiß, dass in einem ZPE ring jedes Element durch Primzerlegung darstellbar ist, allerdings haben doch Primelemente fast nie was (außer in einem Hauptidealring...) mit unzerlegbaren Elementen zu tun, außer dass prim unzerlebar induziert, wie soll ich nun auf der Grundlage von diesem Primelement p zeigen, dass f unzerlegbar ist? das ist mein großes Problem; und naja wenn ich die a nicht hinbekomme, dann kann ich auch die b nicht machen, da dort genau das gleiche Problem herscht... ich kann Primelemente bzw. Primzahlen nicht mit unzerlegbar in Verbindung bringen, außer dass ich weiß, dass Primelemente immer unzerlegbar sind, aber die Umkehrung ist im Allgemeinen ja falsch... von daher bin ich auf eure Hilfe dringend angewiesen, ich hoffe ihr könnt mir helfen...
Danke und liebe Grüße
Jana
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:46 Mo 12.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Und zwar geht es diesmal um einen ZPE-Ring
>
> Ich stell einfach mal die Aufgabe, weil bei der weiß ich
> noch nicht mal einen Ansatz:
>
> -------------------------
>
> a) Es seien R ein ZPE-Ring und p [mm]\in[/mm] R ein Primelement.
> Weiter sei f [mm]\in[/mm] R[X] mit [mm]a_{n}[/mm] = 1. Zeigen Sie: gilt p |
> [mm]a_{i}[/mm] für 0 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm] n-1 und p² | nicht [mm]a_{0},[/mm] so ist f
> unzerlegbar in R[X].
>
> b) Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie, dass f(X) =
> [mm]\bruch{X^{p}-1}{X-1}[/mm] = [mm]X^{p-1}+
+X+1 \in \IZ[X][/mm] unzerlegbar
> ist. Hinweis: Betrachten Sie f(X+1).
>
> -------------------------
>
> Also bei beiden Teilen bekomme ich keinen Ansatz! Bei der 1
> weiß ich zwar alle Begriffe und weiß, dass in einem ZPE
> ring jedes Element durch Primzerlegung darstellbar ist,
> allerdings haben doch Primelemente fast nie was (außer in
> einem Hauptidealring...) mit unzerlegbaren Elementen zu
> tun, außer dass prim unzerlebar induziert,
das wird wohl dein hauptproblem sein: in einem faktoriellen ring (oder auch ZPE-ring) sind prim und irreduzibel gleichwertig, siehe etwa ![[]](/images/popup.gif) hier (unter eigenschaften). das sollte allerdings in der vorlesung vorgekommen sein, sonst sollte man eine solche aufgabe nicht stellen.
> wie soll ich nun
> auf der Grundlage von diesem Primelement p zeigen, dass f
> unzerlegbar ist? das ist mein großes Problem; und naja wenn
> ich die a nicht hinbekomme, dann kann ich auch die b nicht
> machen, da dort genau das gleiche Problem herscht... ich
> kann Primelemente bzw. Primzahlen nicht mit unzerlegbar in
> Verbindung bringen, außer dass ich weiß, dass Primelemente
> immer unzerlegbar sind, aber die Umkehrung ist im
> Allgemeinen ja falsch...
in [mm] $\mathbb{Z}$ [/mm] gilt natürlich dann auch, dass prim und irreduzibel gleichbedeutend sind, da es hier ja eine eindeutige primfaktorzerlegung gibt, und dies somit ein ZPE-ring ist.
zu (a), dem sogenannten "eisenstein kriterium": wenn ihr das redunktionskriterium hattet kann man diese aufgabe darauf zurückführen, indem man die reduktion der koeffizienten modulo $(p)$ betrachtet. wenn nicht, kannst du den ansatz $f = gh$ machen und mittels teilbarkeitsüberlegungen zeigen, dass entweder $g$ oder $h$ eine einheit ist.
zu (b): beweise, dass $f(X)$ genau dann irreduzibel ist, wenn $f(X + 1)$ es ist und verwende dann den hinweis.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Di 13.11.2007 | | Autor: | Jana85 |
Hallo, leider haben wir das Reduktionskriterium noch nicht gemacht, aber ich habs anders probiert, hoffe es geht so:
a)
Es gelte p | [mm] a_{i} [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n-1 und p² | nicht [mm] a_{0}
[/mm]
Angenommen f sei zerlegbar => Es existieren g,h [mm] \in R[X]\R [/mm] : f = gh
g und h sehen wie folgt aus:
g(X) = [mm] b_{k}x^{k} [/mm] +
+ [mm] b_{0}
[/mm]
h(X) = [mm] c_{d}x^{d} [/mm] +
+ [mm] c_{0} [/mm] mit [mm] b_{k}, c_{d} [/mm] nicht 0
=> [mm] a_{0} [/mm] = [mm] b_{0}c_{0}
[/mm]
Da p | [mm] a_{0} [/mm] aber p² | nicht [mm] a_{0} [/mm] folgt, dass entweder [mm] p|b_{0} [/mm] oder [mm] p|c_{0}
[/mm]
OBdA [mm] p|b_{0} [/mm] und p| nicht [mm] c_{0}
[/mm]
Da p nicht [mm] a_{n} [/mm] teilt existiert also ein [mm] b_{i} [/mm] für das gilt: p| nicht [mm] b_{i}
[/mm]
Sei nun m der kleinste Index für p| nicht [mm] b_{m} [/mm] => 1 [mm] \le [/mm] m [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n
Also [mm] a_{m} [/mm] = b{m [mm] }c_{0} [/mm] + [mm]
+b_{0}c_{m}
[/mm]
P| nicht [mm] b_{m}c_{0} [/mm] aber p teilt [mm] b_{0},b_{1},
,b_{m-1} [/mm] => p | nicht [mm] a_{m} [/mm] => [mm] a_{m} [/mm] = [mm] a_{n} [/mm] also k = n, da m [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n
=> h ist konstant, da sonst höhere Potenzen als n vorkommen! also Widerspruch...
b)
Also bei b) hab ich mir erstmal f(X+1) angeschaut und zwar ist dies dann mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes:
f(X+1) = [mm] \bruch{(1+x)^p-1}{x} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{p}\vektor{p \\k}x^{k-1}
[/mm]
Da [mm] \vektor{p \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{p!}{(p-k)!k!} [/mm] und da p prim teilt sich p nicht raus, außer bei k = p => p | [mm] a_{i} [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n-1 und [mm] a_{n} [/mm] = 1
[mm] a_{0} [/mm] = p also p² | nicht [mm] a_{0} [/mm] und somit ist nach a) f(X+1) unzerlegbar!!!
So jetzt bräuchte ich noch ein wenig Hilfe zu folgendes zu zeigen, das krieg ich nicht hin:
f(X+1) unzerlegbar => f(X) unzerlegbar
Ich hoffe ich kann das was ich habe so lassen und ich hoffe mir kann noch jmd. bei dem Abschluss von der b) helfen  wäre echt super nett
LG und Danke
Jana
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 Di 13.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
das sieht auf den ersten blick ganz gut aus. zum letzten punkt: mach dir klar, dass wenn $f(X + 1) = g(X)h(X)$, dann gilt $f(X) = g(X - 1)h(X - 1)$.
grüße
andreas
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:46 Di 13.11.2007 | | Autor: | Jana85 |
Hallo, also ich habe mir nun überlegt warum dies so ist, also das ist ja eigentlich klar, wenn man einfach ersetzt, aber ist dies ein Beweis dafür, also kann ich das so abgeben, oder muss ich das noch genauer beweisen und wenn ja, wie? weil für mich ist dies offensichtlich...
Also wir haben ja:
f(X+1) = [mm] \bruch{(1+x)^p-1}{x}
[/mm]
und f(X+1) = g(X)h(X) = (gh)(X) = [mm] \bruch{(1+x)^p-1}{x}
[/mm]
Wenn wir nun X mit X-1 substitutionieren, dann erhalten wir:
(gh)(X-1) = [mm] \bruch{x^p-1}{x-1} [/mm] = g(X-1)h(X-1)
So, reicht dies nun???
LG und nochmals VIEEELEN DANK
Jana
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:30 Do 15.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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