ZV mit Bernoulli-Verteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] $n\in\IN$. [/mm] Seien [mm] $X_1, \ldots, X_{2n}$ $Ber(\frac{1}{2})$-verteilte [/mm] Zufallsvariablen über einem Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\Omega, \Sigma, \IP) [/mm] und $X := [mm] \sum_{i=1}^{2n} X_i$.
[/mm]
Zeige: [mm] $\forall z\in\IZ [/mm] : |z| [mm] \le [/mm] n [mm] \Rightarrow \IP(X=n+z) \le \vektor{2n \\ n}2^{-2n}$. [/mm] |
Hallo liebes Forum,
Ich habe bei obiger Aufgabe noch überhaupt keinen Ansatz, wie ich vorgehen soll. Sei also [mm] $z\in\IZ$ [/mm] mit $|z| [mm] \le [/mm] n$. Dann ist zu zeigen, dass [mm] $\IP(X=n+z) \le \vektor{2n \\ n}2^{-2n}$.
[/mm]
Es ist $X := [mm] \sum_{i=1}^{2n} X_i$, [/mm] also ergibt sich nach dem Einsetzen zumindest:
[mm] $\IP(X=n+z) [/mm] = [mm] \IP(\sum_{i=1}^{2n} X_i=n+z)$
[/mm]
Kann ich nun den [mm] $\IP$-Term [/mm] weiter aufdröseln? Ich würde gerne sowas haben wie [mm] $\IP(...) [/mm] = [mm] \IP(.) [/mm] + [mm] \ldots +\IP(.)$, [/mm] bin mir aber auch nicht sicher, ob ich damit weiterkäme.
Hat jemand einen hilfreichen Tipp für mich? Wäre echt super! 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:55 Do 08.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Also X ist zumindest mal binomial-verteilt, d.h. es ist [mm] P[X=k]={2n\choose k}\cdot{}\left(\bruch{1}{2}\right)^{2n}={2n\choose k}\cdot{}2^{-2n} [/mm] und das sieht doch schon mal nach was aus!!
Allerdings sollten die ZV [mm] X_1,...,X_{2n} [/mm] dafür unabhängig sein.
Ich wüsst jetz aber auch nicht wie man die Aufagbe ohne Unabhängigkeit bewältigen sollte.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:13 Fr 09.07.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin,
wie kegel53 bereits anmerkte benoetigt man wohl Unabhaengigkeit der Variablen. Hast du diesen wichtigen Zusatz unterschlagen?
Im Grunde musst du eine Aussage ueber den Modalwert einer Binomialverteilung treffen. Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
vg Luis
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