Z_2[i] Integritätsbereich? < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich möchte mir überlegen, ob [mm] \IZ_2[i]=\{a+bi|a,b\in\IZ_2\} [/mm] ein Integritätsbereich ist. Ich weiß, dass es folgende Elemente enthält:
0,1,i,i+1
Und nun muss ich ja bloß noch überlegen, ob es Nullteiler besitzt:
[mm] 1\cdot1=1
[/mm]
[mm] i\cdot [/mm] i=1
(i+1)(i+1)=0
also habe ich einen Nullteiler gefunden. Allerdings habe ich folgendes Problem:
[mm] i\cdot(1+i)=1+i
[/mm]
Und das finde ich irgendwie komisch. Denn das würde ja bedeuten, dass 1) i ein neutrales Element wäre, also i=1, oder 2) dass 1+i=0 ist. Im zweiten Fall bekomme ich auch i=1.
Damit hätte ich also bloß noch diese zwei Elemente: 0,1. Damit wäre mein [mm] \IZ_2[i] [/mm] isomorph zu [mm] \IZ_2 [/mm] und damit sogar ein Körper.
Habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?
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Hallo Balendilin,
Setze die Formeln zwischen Dollarzeichen oder die mm /mm tags, aber nicht diese komischen i /i tags
> Ich möchte mir überlegen, ob [mm]\IZ_2[i]=\{a+bi|a,b\in\IZ_2\}[/mm] [/i][/mm]
> [mm][i]ein Integritätsbereich ist. Ich weiß, dass es folgende [/i][/mm]
> [mm][i]Elemente enthält:[/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]0,1,i,i+1[/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm][i]Und nun muss ich ja bloß noch überlegen, ob es Nullteiler [/i][/mm]
> [mm][i]besitzt:[/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]1\cdot1=1[/mm][/i][/mm]
> [mm][i] i\cdot[/mm] i=1[/i][/mm]
> [mm][i] (i+1)(i+1)=0[/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]also habe ich einen Nullteiler gefunden. Allerdings habe [/i][/mm]
> [mm][i]ich folgendes Problem:[/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]i\cdot(1+i)=1+i[/mm][/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]Und das finde ich irgendwie komisch. Denn das würde ja [/i][/mm]
> [mm][i]bedeuten, dass 1) i ein neutrales Element wäre,
Wieso das?
Es müsste ja dann für alle Elemente $a\in\IZ_2[i]$ gelten $i\cdot{}a=a$
Aber mit $a=1$ ist $i\cdot{}a=i$
> also i=1, [/i][/mm]
Und das stimmt ja nicht!
> [mm][i]oder 2) dass 1+i=0 ist. Im zweiten Fall bekomme ich auch [/i][/mm]
> [mm][i]i=1. [/i][/mm]
> [mm][i]Damit hätte ich also bloß noch diese zwei Elemente: 0,1. [/i][/mm]
> [mm][i]Damit wäre mein \IZ_2[i][/mm] isomorph zu [mm]\IZ_2[/mm] und damit sogar [/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][i]ein Körper.[/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][i] [/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][i]Habe ich irgendwo einen Fehler gemacht? [/i][/mm][/i][/mm]
Gruß
schachuzipus
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