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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 16:32 Mi 28.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho.
Hier mal wieder eine neue Aufgabe, damit schön Wind im Forum bleibt 
Ich habe sie wie immer von den Mathematik-olympiaden. Diesmal ist es eine Aufgabe für die Endrunde Klasse 12-13:
Gegeben sei eine Folge [mm](a_n)[/mm] mit folgenden Eigenschaften:
(1) [mm]a_{2^k}=\frac{1}{k}[/mm] mit [mm]k\geq 1[/mm]
(2) [mm]a_{2n-1}\cdot a_{2n}=a_n[/mm] für [mm]n\geq 2[/mm]
(3) Für alle Zahlen [mm]m,n[/mm] mit [mm]2^m>n\geq 1[/mm] gilt [mm]a_{2n}\cdot a_{2n+1}=a_{2^m+n}[/mm].
Bestimmen Sie [mm]a_{2000}[/mm].
Viel Spaß!
Gruß,
Hanno
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So... das hier ist gewissermaßen eine Premiere...
konnte die Aufgabe leider noch nicht zur Gänze lösen, aber, wenns jemandem vielleicht hilft, hier ein paar meiner Zwischenergebnisse (ohne Gewähr):
aus (2) und (1) => [mm] a(2^k-1)=(k+1)/k [/mm] mit k>3 (weiß nicht, wie "größer gleich" geht).
Damit folgt nach längerem Hin- und Herschieben von Zahlen folgendes für die ersten Folgenglieder:
a2 = 1
a3 = 2
a4 = 1/2
a5 = 2
a6 = 1
a7 = 3/2
a8= 1/3
a9 =2
a10 =1 ......
Ich weiß nicht, obs ne Hilfe ist, werde auch mal sehen daß ich das mit den Formeln hier noch hinkriege, bitte daher die schlechte Lesbarkeit meines Artikels zu entschuldigen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:33 Mi 28.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Christian.
Wie kommst du auf deine erste Aussage?
Meiner Meinung muss das doch so laufen ( ich schreibe a(x) statt [mm] a_x, [/mm] das macht die sache leserlicher )
Ich wende Regel (b) für [mm]n=2^{k-1}[/mm] an:
[mm]a(2\cdot 2^{k-1}-1)\cdot a(2\cdot 2^{k-1})=a(2^{k-1})[/mm]
[mm]\gdw a(2^k-1)\cdot a(2^{k})=a(2^{k-1})[/mm]
Aus Regel (a) folgt daher
[mm]a(2^k-1)\cdot \frac{1}{k}=\frac{1}{k-1}[/mm]
Daraus folgt:
[mm]a(2^k-1)=\frac{k}{k-1}[/mm].
Durch abwechselndes Anwenden von Regel 1 und 2 kann man das für alle q's ( in diesem Falle war q=1 ) machen, nicht nur für 1. Es folgt eine Art Periodizität, die ich jedoch nicht beweisen kann.
Wie bist du auf die ersten Reihenglieder gekommen?
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:45 Mi 28.07.2004 | | Autor: | SirJective |
Hallo Hanno,
deine Herleitung der Formel für [mm] a(2^k-1) [/mm] ist richtig.
> Durch abwechselndes Anwenden von Regel 1 und 2 kann man das
> für alle q's ( in diesem Falle war q=1 ) machen, nicht nur
> für 1.
Wer ist q?
> Es folgt eine Art Periodizität, die ich jedoch nicht
> beweisen kann.
Wo siehst du die?
> Wie bist du auf die ersten Reihenglieder gekommen?
Wie weit bist du denn mit der Aufgabe gekommen, Hanno?
Gruss,
SirJective
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:53 Mi 28.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Christian.
Ich bin recht weit gekommen finde ich, doch stecke ich nun in einer Sackgasse. Ich habe den Ausdruck [mm]a(2^k-q)[/mm] bis q=10 als ienen Bruch dargestellt und mir sind einige Muster aufgefallen. z.B. wiederholt sich für [mm]q=2+4\cdot k[/mm] immer die 1, was ich nicht beweisen kann. Zudem sind [mm]a(2^k-q)[/mm] für q=3,5,9,17,33 usw. ( immer die nächste zweierpotenz addieren ) gleich, was ich allerdings auch nicht bewiesen bekomme. Im moment versuche ich durch die Annahme, für jedes vierte q sei a=1 die Lösung herauszufinden. Bin aber noch nicht so weit, da ich wie gesagt erstmal meine errechneten Werte für q mit einer Formel abgleichen muss, nach der man das nächsthöhere q errechnen können soll. Alles ein wenig wirr und ich weiß auch nicht, ob es a.) funktioniert b.) die gewünschte lösung ist.
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:55 Do 29.07.2004 | | Autor: | Christian |
Hallo nochmal und danke für die vielfältigen Reaktionen.
Also wie ich auf meine Aussage komme:
- durch einen Lese- und Schreibfehler in meiner chaotischen Handschrift. Das hätte ich wirklich merken müssen. Peinlich, so was gerade beim ersten Beitrag.
Aber das ändert natürlich auch schon wieder alles.
Wie schon durchaus richtig bemerkt, gilt (F1):[mm]a(2^k-1)= \bruch{k} {k-1}[/mm]
(nebenbei bemerkt: in meiner Urfassung fand sich: [mm]a(2^{k+1}-1)= \bruch{k+1} {k}[/mm] ,
wodurch die Verwirrung samt falscher Aussage entstand).
Wie kommt man nun auf die ersten Folgenglieder?
Nach (F1) gilt: [mm]a(3)=2[/mm]
[mm]a(7)=\bruch{3} {2}[/mm]
dann gilt (3) [mm]a(6)*a(7)=a(2^m+3)[/mm] mit[mm]2^m > 3[/mm] , also damit auch [mm]a(6)=1[/mm].
Nach (2) gilt dann: [mm]a(6)*a(5)=a(3) => a(5)=2 [/mm]
Wiederum mit (3): [mm]a(4)*a(5)=a(2^m+2)=a(6)=a(10)=a(18)=...=1[/mm]
Das nur zur Rechtfertigung meiner ersten Folgenglieder.
Analog zur Folgerung F(1) gibt es mit (3) auch ein F(2), indem man für n einsetzt.
Dann gilt:
(F2): [mm]a(2^k+1)=k*a(2^m+2^{k-1})[/mm] mit m>k-1.
Vielleicht nützt es ja jemandem was, ich rechne jetzt erstmal weiter,
Gruß,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:04 Do 29.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Christian.
Gute Idee, vielleicht kommt da ja etwas vernünftiges raus.
Ich habe die Regeln immer abwechselnd angewandt und einige weitere
Regeln hergeleitet und bin auch fertig, allerdings nur unter der Annahme, dass [mm]a(2^k-(4\cdot k+2))=1[/mm], was ich noch nicht bewiesen habe.
Gruß,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:28 So 01.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Aus (3) folgt für $n < [mm] 2^m \le 2^{m'}$ [/mm] und alle [mm] $k=1,\ldots,n$ [/mm] die Beziehung
[mm] $a_{2^m+k} [/mm] = [mm] a_{2^{m'}+k} [/mm] = [mm] a_{2k}\cdot a_{2k+1}$,
[/mm]
also speziell für $m=5$ und $m'=9$:
(*) [mm] $a_{512 + k} [/mm] = [mm] a_{32 + k}$
[/mm]
für alle [mm] $k=1,2,\ldots,31$
[/mm]
Weiterhin gilt nach (2) (Beweis mit Induktion):
$1 = [mm] a_2 [/mm] = [mm] a_3a_4 [/mm] = [mm] a_5 a_6 a_7 a_8 [/mm] = [mm] a_{2^m+1} \cdot \ldots \cdot a_{2^{m+1}}$,
[/mm]
also speziell für $m=5$:
$1 = [mm] a_{32 + 1} \cdot a_{32 + 2} \cdot \ldots [/mm] + [mm] a_{64}$,
[/mm]
und damit
(**) [mm] $a_{32 + 1} \cdot \ldots \cdot a_{32+31} [/mm] = [mm] \frac{1}{a_{64}}$.
[/mm]
Daraus folgt nun, wenn man (3) mehrmals anwendet:
[mm] $a_{2000}$
[/mm]
$= [mm] a_{1024+976}$
[/mm]
$= [mm] a_{2 \cdot 976} \cdot a_{2 \cdot 976+1}$
[/mm]
$= [mm] a_{1952} \cdot a_{1953}$
[/mm]
$= [mm] a_{1024 + 928}\cdot a_{1024 + 929}$
[/mm]
$= [mm] a_{2 \cdot 928} \cdot a_{2 \cdot 928+1} \cdot a_{2 \cdot 929} \cdot a_{2 \cdot 929+1}$
[/mm]
$= [mm] a_{1856} \cdot \ldots \cdot a_{1859}$
[/mm]
$= [mm] a_{1024 + 832} \cdot \ldots \cdot a_{1024 + 835}$
[/mm]
$= [mm] a_{2 \cdot 832} \cdot a_{2 \cdot 832 +1} \cdot \ldots a_{2 \cdot 835} \cdot a_{2 \cdot 835 +1}$
[/mm]
$= [mm] a_{1664} \cdot \ldots \cdot a_{1671}$
[/mm]
$= [mm] a_{1024 + 640} \cdot \ldots \cdot a_{1024 + 647}$
[/mm]
$= [mm] a_{2 \cdot 640} \cdot \ldots \cdot a_{2 \cdot 647 +1}$
[/mm]
$= [mm] a_{1280} \cdot \ldots \cdot a_{1295}$
[/mm]
$= [mm] a_{1024 + 256} \cdot \ldots \cdot a_{1024 + 271}$
[/mm]
$= [mm] a_{2 \cdot 256} \cdot \ldots \cdot a_{2 \cdot 271 + 1}$
[/mm]
$= [mm] a_{512}\cdot a_{513} \cdot \ldots a_{543}$
[/mm]
$= [mm] a_{512} \cdot a_{512+1} \cdot a_{512 + 31}$
[/mm]
[mm] $\stackrel{(\*)}{=} a_{512}\cdot a_{32+1} \cdot a_{32+2} \cdot \ldots \cdot a_{32+31}$
[/mm]
[mm] $\stackrel{(\*\*)}{=} \frac{a_{512}}{a_{64}}$
[/mm]
[mm] $\stackrel{(1)}{=} \frac{6}{9}$
[/mm]
[mm] $=\frac{2}{3}$.
[/mm]
Ich nehme mal nicht an, dass die Aufgabe so gedacht war  und dass die Musterlösung deutlich eleganter ist, aber sie funktioniert auch so wie ich es gerade gerechnet habe.
Leider bin ich die nächsten Tage nicht da (obwohl, für mich ist es nicht "leider", denn ich bin mit meiner Frau auf einem Adoptionsseminar (Adoption ausländischer Waisenkinder) in Düsseldorf, drück mir mal die Daumen, dass wir einen seriösen Eindruck machen ), ich melde mich entweder am Mittwoch kurz oder aber erst am Ende der nächsten Woche wieder. Vor Mittwoch habe ich keine Gelegenheit hier reinzuschauen.
Liebe Grüße
Stefan
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