Zahlenfolgen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 So 13.06.2004 | | Autor: | michael7 |
Hallo zusammen,
eine Folge mit den Gliedern [mm](1+\frac{1}{n})^n[/mm] hat ja den Grenzwert [mm]e[/mm]. Soweit klar. (1) [mm](1+\frac{a}{n})^n[/mm] hat anscheinend den Grenzwert [mm]e^a[/mm] und (2) [mm](1+\frac{a}{n})^{\frac{n}{a}}[/mm] wieder [mm]e[/mm]. Kann mir jemand anschaulich erklaeren warum das so ist, insbesondere im Fall (1)?
Danke, Michael
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:11 Mo 14.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Michael!
(1) [mm](1+\frac{a}{n})^n[/mm] hat
> anscheinend den Grenzwert [mm]e^a[/mm]
Ja, klar:
[mm]e^a[/mm]
[mm] [blue]($\blue{\frac{d}{dx}|_{x=1/a} \ln(x) = a}$)[/blue]
[/mm]
[mm]\exp \left[ {\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\ln(\frac{1}{a} + \frac{1}{n}) - \ln(\frac{1}{a})}{\frac{1}{n}} \right][/mm]
(Stetigkeit der Exponentialfunktion)
[mm]= \lim\limits_{n \to \infty}\exp( n \cdot (\ln(\frac{1}{a} + \frac{1}{n}) - \ln(\frac{1}{a})))[/mm]
[mm]= \lim_{n \to \infty}\limits \left[\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{n} \right)^n \cdot a^n\right][/mm]
[mm]= \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{a}{n} \right)^n[/mm]
und (2) folgt dann ebenso leicht.
Melde dich bitte wieder bei Rückfragen. 
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:45 Mo 14.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Du kannst dir den Zusammenhang mit Verzinsungen wenigstens plausibel machen (es ist keine mathematische Herleitung):
Wenn du $1$ Euro anlegst und $x$ Prozent Jahreszins bekommst, dann hast du am Ende des Jahres
$1+x = (1+ [mm] \frac{x}{1})^1$ [/mm] Euro.
Wenn du die Zinsen unterjährig bekommt, zweimal [mm] $\frac{x}{2}$ [/mm] Prozent, dann hast du am Ende des Jahres inklusive Zinseszinsen ein Kapital von
$(1 + [mm] \frac{x}{2})^2$ [/mm] Euro.
Wenn du die Zinsen $n$ mal zu je [mm] $\frac{x}{n}$ [/mm] Prozent bekommst, dann hast du am Ende des Jahres inklusive Zinseszinsen ein Kapital von
$(1 + [mm] \frac{x}{n})^n$ [/mm] Euro.
Lässt man nun $ n [mm] \to \infty$ [/mm] gehen, dann hat man eine stetige Verzinsung.
Gemäß einer stetigen Verzinsung hat man am Ende des Jahres inklusive Jahreszinsen
[mm] $e^x$ [/mm] Euro.
(Da aber manchmal die Exponentialfunktion genau so definiert wird, ist dies nur eine Plausibilisierung und keine Herleitung. Denn woher wüsste man sonst, dass sich die stetige Verzinsung gerade mit Hilfe der Exponentialfunktion ausdrücken lässt? Egal. Eine mathematisch exakte Herleitung habe ich ja bereit gegeben.  )
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:50 Mo 14.06.2004 | | Autor: | michael7 |
Danke fuer Deine Antwort(en)!
|
|
|
|
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
