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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Sa 11.12.2010 | | Autor: | Ferolei |
Hallo zusammen,
ich habe eine vierstöckige Zahlenmauer gegeben, die nur die Zielzahl 100 enthält. Nun sollen wir mithilfe von Algebra die Anzahl der Lösungen bestimmen.
Ich weiß leider nicht so genau, wie ich hier systematisch vorgehen soll. Als Bedingungen habe ich bisher nur:
a+3b+3c+d=100 und [mm] a+b\le33
[/mm]
Kennt jemand eine Strategie wird dieses Problem?
Viele Grüße
Ferolei
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:33 Sa 11.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo zusammen,
>
> ich habe eine vierstöckige Zahlenmauer gegeben, die nur
> die Zielzahl 100 enthält. Nun sollen wir mithilfe von
> Algebra die Anzahl der Lösungen bestimmen.
> Ich weiß leider nicht so genau, wie ich hier systematisch
> vorgehen soll. Als Bedingungen habe ich bisher nur:
> a+3b+3c+d=100 und [mm]a+b\le33[/mm]
Muessen $a, b, c, d$ alle [mm] $\ge [/mm] 0$ sein? Und woher kommt die Bedingung $a + b [mm] \le [/mm] 33$? Ich nehme mal an, dass alle Zahlen mind. 0 sein muessen.
> Kennt jemand eine Strategie wird dieses Problem?
Ich frage mich immer noch, wie du auf $a + b [mm] \le [/mm] 33$ kommst.
Nehmen wir mal an, du hast nur folgende Bedingungen:
(i) $a + 3 b + 3 c + d = 100$, und
(ii) $a, b, c, d$ sind ganze Zahlen [mm] $\ge [/mm] 0$.
Dann kannst du wie folgt vorgehen.
(1) Ueberlege dir eine Formel in Abhaengigkeit von $z$ fuer die Anzahl der ganzen Zahlen $x, y [mm] \ge [/mm] 0$ mit $x + y = z$. Sei diese mit $f(z)$ bezeichnet.
(2) Wenn du jetzt $z = b + c$ vorgibst, hast du $f(z) = f(b + c)$ Moeglichkeiten, $b$ und $c$ zu waehlen. Es muss weiterhin $0 [mm] \le [/mm] b + c [mm] \le [/mm] 33$ gelten, damit $3 (b + c)$ nicht $> 100$ ist. Wenn du $(b, c)$ fest gewaehlt hast, ist die Anzahl der Moeglichkeiten, $a$ und $b$ zu waehlen, durch $f(100 - 3 (b + c))$ gegeben.
(3) Insgesamt musst du also ausrechnen: [mm] $\sum_{z=0}^{33} [/mm] f(z) f(100 - 3 z)$.
Wenn du einmal eine Formel fuer $f$ hast, geht das gleich viel besser.
Also, was ist $f(z)$? Wenn $a + b = z$ ist, muss doch $b = z - a$ sein. Da $a, b [mm] \ge [/mm] 0$ sein muss gilt $0 [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] z$: fuer jedes solche $a$ kannst du genau ein $b [mm] \ge [/mm] 0$ finden mit $a + b = z$. Damit ist $f(z) = z + 1$.
EDIT: Es sollte [mm] $\sum_{z=0}^{33}$ [/mm] und nicht [mm] $\sum_{z=0}^33$ [/mm] lauten...
Du musst also [mm] $\sum_{z=0}^{33} [/mm] (z + 1) (100 - 3 z + 1)$ ausrechnen.
Das ist nicht so schwer, insb. wenn du Formen fuer [mm] $\sum_{i=0}^n [/mm] i$ und [mm] $\sum_{i=0}^n i^2$ [/mm] kennst.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Sa 11.12.2010 | | Autor: | Ferolei |
Hallo,
das ist natürlich schonmal ein guter Ansatz. Ja, es ist gefordert, dass die Werte aus [mm] N_{0} [/mm] sind.
Also vermutlich soll das bei dir auf dem Summenzeichen eine 33 statt einer 3 sein, oder?
Also ich kenne die Formeln, weiß aber grade nicht, wie ich die korrekt zusammenfassen kann. Wenn man sich die ersten Werte mal aufschreibt sieht man schon einiges:
3*1*101 + 3*2*98 + 3*3*95 usw
d.h. ich kann auf jeden Fall schon mal die 3 herausziehen und dann 3*34 rechnen, da z von 0-33 geht, oder?
So, nun sieht man die werte 1,2,3,... auch jeweils als Faktoren...
aber die anderen Werte fallen immer um 3... was hat das mit der Summe der Quadratzahlen zu tun?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:52 Sa 11.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Also vermutlich soll das bei dir auf dem Summenzeichen eine
> 33 statt einer 3 sein, oder?
ja, sollte es. Danke sowohl an dich wie auch an Gonozal_IX fuer den Hinweis!
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 Sa 11.12.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> das ist natürlich schonmal ein guter Ansatz. Ja, es ist
> gefordert, dass die Werte aus [mm]N_{0}[/mm] sind.
>
> Also vermutlich soll das bei dir auf dem Summenzeichen eine
> 33 statt einer 3 sein, oder?
>
> Also ich kenne die Formeln, weiß aber grade nicht, wie ich
> die korrekt zusammenfassen kann. Wenn man sich die ersten
> Werte mal aufschreibt sieht man schon einiges:
>
> 3*1*101 + 3*2*98 + 3*3*95 usw
> d.h. ich kann auf jeden Fall schon mal die 3 herausziehen
> und dann 3*34 rechnen, da z von 0-33 geht, oder?
> So, nun sieht man die werte 1,2,3,... auch jeweils als
> Faktoren...
> aber die anderen Werte fallen immer um 3... was hat das mit
> der Summe der Quadratzahlen zu tun?
>
Hallo,
die erste Zeile lautet
a b c d
die zweite Zeile:
(a+b) (b+c) (c+d)
Die dritte Zeile
(a+b+b+c) (b+c+c+d)
Die vierte Zeile:
a+3b+3c+d (und das ergibt 100)
Aus a+3b+3c+d=100 folgt 3b+3c < 100, wenn a und d natürliche Zahlen sind, von denen wenigstens eine größer 0 ist.
somit kann b+c höchstens 33 sein.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Sa 11.12.2010 | | Autor: | Ferolei |
Ja, das war mir soweit klar. Das ist ja das, was ich ganz am Anfang schon als Kriterium meinte, was gelten muss.
Mir ist jetzt aber nicht klar, wie ich Summe schnell ausrechnen kann.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Sa 11.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ja, das war mir soweit klar. Das ist ja das, was ich ganz
> am Anfang schon als Kriterium meinte, was gelten muss.
Eben nicht. Du schriebst $a + b [mm] \le [/mm] 33$, nicht $b + c [mm] \le [/mm] 33$.
> Mir ist jetzt aber nicht klar, wie ich Summe schnell
> ausrechnen kann.
Multipliziere das, worueber summiert wird, erstmal aus. Das ist dann ein Polynom vom Grad 2 in $z$.
Jetzt teile das in drei Summen auf, eine fuer [mm] $z^2$, [/mm] eine fuer $z$ und eine fuer den konstanten Term.
Jetzt muss du nur noch wissen, was [mm] $\sum_{i=0}^n [/mm] 1$, [mm] $\sum_{i=0}^n [/mm] i$, [mm] $\sum_{i=0}^n i^2$ [/mm] ist.
Weisst du es? Wenn nicht, schau nach!
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Sa 11.12.2010 | | Autor: | Ferolei |
> Muessen [mm]a, b, c, d[/mm] alle [mm]\ge 0[/mm] sein? Und woher kommt die
> Bedingung [mm]a + b \le 33[/mm]? Ich nehme mal an, dass alle Zahlen
> mind. 0 sein muessen.
>
> > Kennt jemand eine Strategie wird dieses Problem?
>
> Ich frage mich immer noch, wie du auf [mm]a + b \le 33[/mm] kommst.
>
> Nehmen wir mal an, du hast nur folgende Bedingungen:
>
> (i) [mm]a + 3 b + 3 c + d = 100[/mm], und
>
> (ii) [mm]a, b, c, d[/mm] sind ganze Zahlen [mm]\ge 0[/mm].
>
> Dann kannst du wie folgt vorgehen.
>
> (1) Ueberlege dir eine Formel in Abhaengigkeit von [mm]z[/mm] fuer
> die Anzahl der ganzen Zahlen [mm]x, y \ge 0[/mm] mit [mm]x + y = z[/mm]. Sei
> diese mit [mm]f(z)[/mm] bezeichnet.
>
> (2) Wenn du jetzt [mm]z = b + c[/mm] vorgibst, hast du [mm]f(z) = f(b + c)[/mm]
> Moeglichkeiten, [mm]b[/mm] und [mm]c[/mm] zu waehlen. Es muss weiterhin [mm]0 \le b + c \le 33[/mm]
> gelten, damit [mm]3 (b + c)[/mm] nicht [mm]> 100[/mm] ist. Wenn du [mm](b, c)[/mm]
> fest gewaehlt hast, ist die Anzahl der Moeglichkeiten, [mm]a[/mm]
> und [mm]b[/mm] zu waehlen, durch [mm]f(100 - 3 (b + c))[/mm] gegeben.
>
> (3) Insgesamt musst du also ausrechnen: [mm]\sum_{z=0}^{33} f(z) f(100 - 3 z)[/mm].
>
Mir ist hier nicht ganz klar, wieso du einmal z=b+c definierst und unten dann z auf einmal a+b=z ist? Mit beiden Formeln erhält man doch andere Werte?
> Wenn du einmal eine Formel fuer [mm]f[/mm] hast, geht das gleich
> viel besser.
>
> Also, was ist [mm]f(z)[/mm]? Wenn [mm]a + b = z[/mm] ist, muss doch [mm]b = z - a[/mm]
> sein. Da [mm]a, b \ge 0[/mm] sein muss gilt [mm]0 \le a \le z[/mm]: fuer
> jedes solche [mm]a[/mm] kannst du genau ein [mm]b \ge 0[/mm] finden mit [mm]a + b = z[/mm].
> Damit ist [mm]f(z) = z + 1[/mm].
>
> EDIT: Es sollte [mm]\sum_{z=0}^{33}[/mm] und nicht [mm]\sum_{z=0}^33[/mm]
> lauten...
>
> Du musst also [mm]\sum_{z=0}^{33} (z + 1) (100 - 3 z + 1)[/mm]
> ausrechnen.
>
Wieso jetzt mit +1 mehr?
> Das ist nicht so schwer, insb. wenn du Formen fuer
> [mm]\sum_{i=0}^n i[/mm] und [mm]\sum_{i=0}^n i^2[/mm] kennst.
>
> LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:10 So 12.12.2010 | | Autor: | Ferolei |
Kann mir diesen Schritt niemand erklären ?
VG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 So 12.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> (3) Insgesamt musst du also ausrechnen: [mm]\sum_{z=0}^{33} f(z) f(100 - 3 z)[/mm].
> Mir ist hier nicht ganz klar, wieso du einmal z=b+c
> definierst und unten dann z auf einmal a+b=z ist? Mit
> beiden Formeln erhält man doch andere Werte?
f(z) ist die Anzahl der Möglichkeiten z als Summe zweier natürlichen Zahlen zu schreiben und wenn Du Dir das mal hin schreibst kommst Du auf f(z)=z+1
Beispiel:
z=10 dann gibt es folgende Möglichkeiten
a=0 b=10
a=1 b=9
usw. bis
a=9 b=1
a=10 b=0
insgesamt also 11 Möglichkeiten.
> > Wenn du einmal eine Formel fuer [mm]f[/mm] hast, geht das gleich
> > viel besser.
> >
> > Also, was ist [mm]f(z)[/mm]? Wenn [mm]a + b = z[/mm] ist, muss doch [mm]b = z - a[/mm]
> > sein. Da [mm]a, b \ge 0[/mm] sein muss gilt [mm]0 \le a \le z[/mm]: fuer
> > jedes solche [mm]a[/mm] kannst du genau ein [mm]b \ge 0[/mm] finden mit [mm]a + b = z[/mm].
> > Damit ist [mm]f(z) = z + 1[/mm].
> >
> > EDIT: Es sollte [mm]\sum_{z=0}^{33}[/mm] und nicht [mm]\sum_{z=0}^33[/mm]
> > lauten...
> >
> > Du musst also [mm]\sum_{z=0}^{33} (z + 1) (100 - 3 z + 1)[/mm]
> > ausrechnen.
> >
>
> Wieso jetzt mit +1 mehr?
Wegen f(z)=z+1
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