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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Do 09.12.2010 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie [mm] g \in \IN [/mm] mit [mm] g \ge 6 [/mm], sodass [mm] [5,3]_{10} = [1,2,5]_g [/mm] |
Die Lösung ist g=6 aber wie kommt man darauf ohne zu "probieren"?
man hat:
[mm]53=a*g+5[/mm] wobei [mm]a*g=48[/mm]
[mm]a=b*g+2[/mm]
[mm]b=0*g+1[/mm]
aber irgendwie kann ich daraus nix machen.
ich kann nur g raten und dann zeigen, dass das auf geht.
es muss doch noch einen anderen Weg geben, oder?
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Hallo ella87,
> Bestimmen Sie [mm]g \in \IN[/mm] mit [mm]g \ge 6 [/mm], sodass [mm][5,3]_{10} = [1,2,5]_g[/mm]
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> Die Lösung ist g=6 aber wie kommt man darauf ohne zu
> "probieren"?
>
> man hat:
> [mm]53=a*g+5[/mm] wobei [mm]a*g=48[/mm]
> [mm]a=b*g+2[/mm]
> [mm]b=0*g+1[/mm]
>
> aber irgendwie kann ich daraus nix machen.
> ich kann nur g raten und dann zeigen, dass das auf geht.
> es muss doch noch einen anderen Weg geben, oder?
Setzte das ganze rückwärts ein.
Aus der letzten Gleichung folgt b=1.
Das setzt Du in die 2. Gleichung ein und erhältst a=g+2.
Dies wird jetzt in die erste Gleichung eingesetzt:
[mm]53=a*g+5=\left(g+2\right)*g+5[/mm]
Nun hast Du die Gleichung [mm]53=\left(g+2\right)*g+5[/mm] zu lösen.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 Do 09.12.2010 | | Autor: | ella87 |
das hatte ich zwischenzeitlich auch da stehen, aber ich hab den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen und irgendwas mit quadratische Ergänzung überlegt...
aber man hat ja nach geschicktem Umformen zwei Quadrat"zahlen" da stehen....
danke :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Do 09.12.2010 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | | bestimme [mm] g \in \IN [/mm] mit [mm] g \ge 3[/mm], sodass [mm] [1,7,7]_{10} [/mm] = [mm] [1,2,0,2]_g [/mm] [/mm] |
das selbe Spiel nochmal:
[mm]177=a*g+2[/mm]
[mm]a=b*g+0[/mm]
[mm]b=c*g+2[/mm]
[mm]c=0*g+1[/mm]
dann wieder rückwärts einsetzten und ich habe:
[mm] 177=(g^2 +2g)*g+2 [/mm]
aber das kann ich nicht sinnvoll auflösen.
hat hier vielleicht jemand einen Tipp ??
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Hallo ella87,
> bestimme [mm]g \in \IN[/mm] mit [mm]g \ge 3[/mm], sodass [mm][1,7,7]_{10}[/mm] =
> [mm][1,2,0,2]_g[/mm][/mm]
> das selbe Spiel nochmal:
>
> [mm]177=a*g+2[/mm]
> [mm]a=b*g+0[/mm]
> [mm]b=c*g+2[/mm]
> [mm]c=0*g+1[/mm]
>
> dann wieder rückwärts einsetzten und ich habe:
>
> [mm]177=(g^2 +2g)*g+2[/mm]
>
> aber das kann ich nicht sinnvoll auflösen.
> hat hier vielleicht jemand einen Tipp ??
>
Es steht, nach etwas Umformung da:
[mm]175=g*g*\left(g+2\right)[/mm]
Zerlege 175 in seine Primfaktoren.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:17 Do 09.12.2010 | | Autor: | ella87 |
Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 Do 09.12.2010 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie ein [mm] a \in \IN [/mm] mit [mm] a \ge 5[/mm] und ein [mm] b [mm] \in \IN[/mm] [mm] mit [mm] a \ge 4[/mm], sodass [mm] [4,0,1]_a = [2,3,0,0]_b [/mm] |
das ist jetzt auch wirklich die letzte Teilaufgabe!!!
ich habe also
[mm] [4,0,1]_a = 1*a^0 + 0*a^1 + 4*a^2 [/mm]
[mm][2,3,0,0]_b = 0*b^0 +0*b^1 +3*b^2 +4*b^3 [/mm]
also:
[mm]1 + 4*a^2 = 3*b^2 +4*b^3 [/mm] oder
[mm]1 + 4*a*a = 3*b*b +4*b*b*b^ [/mm] oder
[mm]1 + 4*a^2 = (2*b+3) *b*b^ [/mm]
aber ich wie kann ich das sinnvoll auflösen?
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
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Hallo ella,
> [mm] 1 + 4*a^2 = (2*b+3) *b*b^[/mm]
>
> aber wie kann ich das sinnvoll auflösen?
>
Gar nicht. Das ist eine diophantische Gleichung mit mehreren Lösungen für a,b - z.B. folgende:
a=9, b=5
a=35, b=13
a=91, b=25
a=189, b=41
a=341, b=61
a=559, b=85
a=855, b=113
a=1241, b=145
a=1729, b=181 (zu 1729 gibt es eine schöne Geschichte über Hardy und Ramanujan...)
a=2331, b=221
a=3059, b=265
...
Gesucht ist hier wahrscheinlich nur die erste Lösung. Ich habe die Zeit gestoppt, die es mich gekostet hat, die Gleichungen in Excel einzugeben und dann zu probieren: 79 Sekunden.
Der Aufgabensteller geht bestimmt davon aus, dass Du einfach ein bisschen zielgerichtet herumprobierst. Zu b=4 gibt es keine Lösung, zu b=5 steigert man a so lange, bis das Ergebnis [mm] (4a^2+1) [/mm] nicht mehr kleiner ist als [mm] (2b+3)b^2. [/mm] Das kann man nach dem ersten Fund noch fortführen und kommt auf weitere, s.o.
Grüße
reverend
PS: Schwieriger zu zeigen ist, dass es unendlich viele Lösungen gibt. Aber das ist ja auch nicht verlangt. Eine genügt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Do 09.12.2010 | | Autor: | ella87 |
also ist "probieren" di Lösung zu meiner Gleichung?
das fand ich so unmathematisch 
danke für die Lösungen
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Hallo nochmal,
man kann höheren Aufwand treiben, um fast (!) ohne Probieren hier Lösungen zu finden, aber der ist nicht verlangt und wahrscheinlich im Moment auch noch gar nicht möglich. Einfach ist es nämlich nicht, hier die b zu finden, für die a(b) ganzzahlig ist. Es ist [mm] a(b)=\bruch{1}{2}\wurzel{(2b+3)b^2-1}
[/mm]
Diophantische Gleichungen sind kein einfaches Feld, und diese hier bedarf wohl einiger Überlegungen (die ich gar nicht angestellt habe), um schneller vorwärts zu kommen. 
Mit obiger Formel (einfache Umstellung) sind aber schnell weitere Lösungen zu finden.
Grüße
reverend
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