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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 14:36 So 25.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho.
Man finde alle ganzzahligen Lösungen der Gleichung
[mm]x(x+1)(x^2+x+2)=2y^2[/mm].
Ich habe es schon stundenlang mit modularer Arithmetik versucht, bin aber auf kein brauchbares Ergebnis gekommen.
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:56 So 25.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Ich hatte dir ja versprochen dir die Aufgabe zu lösen. Das war etwas voreilig, denn ich kriege sie im Moment doch (noch) nicht bis zum Ende hin.  Die Sachen, die wir schon zusammen erarbeitet hatten ($y$ muss gerade sein) sind klar, aber mir ist jetzt doch nicht klar, wie es weitergeht. (Meine ursprüngliche Idee hat sich als falsch entpuppt.)
Ich denke weiter darüber nach. Vielleicht hat ja sonst jemand eine Idee?
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 So 25.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Stefan.
Ich werd wohl auch noch mal drüber nachdenken, wenn nicht eine Musterlösung sonder gleichen hier auftaucht. Vielleicht findet sich ja noch etwas.
Gruß,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:24 Mo 26.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi nochmals.
T'schuldigung, meine Aussage war falsch, also ist auch dieser POst hier überflüssig. Sorry.
Hat denn wirklich keiner eine Idee?
Gruß,
Hanno
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:41 Mo 26.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Ich habe zwar die Lösung noch nicht, will aber wenigstens meinen ursprünglichen Ansatz mal posten, vielleicht bringt er ja einen auf die rettende Idee.
Die Frage war ja:
Welche ganzzahligen Lösungspaare $(x,y)$ hat die Gleichung
[mm] $(x^2 [/mm] + [mm] x)^2 [/mm] + [mm] 2(x^2 [/mm] + x) = [mm] 2y^2$.
[/mm]
Angenommen, $x$ hat einen einfachen Primteiler $p>2$ (d.h. $p$teilt $x$, aber [mm] $p^2$ [/mm] teilt nicht $x$).
Dann gilt:
[mm] $p\vert (x^2 [/mm] + x)$,
d.h. $p$ teilt die linke Seite der Gleichung und damit auch die rechte. Da $p>2$ prim ist, muss [mm] $p\vert [/mm] y$ gelten und somit:
[mm] $p^2\vert (x^2 [/mm] + [mm] x)^2$
[/mm]
und
[mm] $p^2 \vert y^2$.
[/mm]
Daraus folgt auch:
[mm] $p^2 \vert 2(x^2 [/mm] + x)$
und daraus [mm] $p^2 \vert (x^2 [/mm] + x)$, also wegen [mm] $p^2 \vert x^2$ [/mm] auch:
$p [mm] \vert [/mm] x$,
Widerspruch.
Allgemeiner kann man (völlig analog) zeigen, dass keine Potenz eines Primteilers $p >2$ von $x$ mit ungeradem Exponenten auftreten kann.
Daher muss $x$ die folgende Form haben:
$x = [mm] \red{\pm}2^k \cdot x_1^2$
[/mm]
mit einer ganzen Zahl $k [mm] \ge [/mm] 0$ und einer ganzen Zahl [mm] $x_1$.
[/mm]
Aber ich sehe halt nicht, wie das weiterführt.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Mo 26.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Stefan.
Schöne Sache, doch verstehe ich den letzten satz noch nicht so ganz. Klar ist mir, dass x keinen Primzteiler über 2 enthalten kann, da der dann unendlich oft in x enthalten wäre, was nicht sein kann. Daher muss x eine Zweierpotenz sein, nichts weiter. Woher kommt bei dir der Faktor [mm]x_1[/mm]? Wenn der keine 2 in sich birgt, so doch sicher einen anderen Primteiler, der dann wieder doppelt enthalten sein müsste. Daher würde ich behaupten, dass x in der Form [mm]\pm 2^k[/mm] darstellbar sein muss.
Wo liegt mein Denkfehler? irgendwas habe ich da noch nicht verstanden.
Gruß,
Hanno
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Hallo Hanno,
> Schöne Sache, doch verstehe ich den letzten satz noch
> nicht so ganz. Klar ist mir, dass x keinen Primzteiler über
> 2 enthalten kann, da der dann unendlich oft in x enthalten
> wäre, was nicht sein kann.
Woher ist dir das klar, Hanno? Zu diesem Ergebnis bin ich noch nicht gelangt.
> Daher muss x eine Zweierpotenz
> sein, nichts weiter. Woher kommt bei dir der Faktor [mm]x_1[/mm]?
Der kommt bei Stefan (und auch bei mir) daher, dass die Existenz weiterer Primteiler noch nicht ausgeschlossen wurde.
> Wenn der keine 2 in sich birgt, so doch sicher einen
> anderen Primteiler, der dann wieder doppelt enthalten sein
> müsste.
Nein, er muss nur mit geradem Exponenten in x auftreten, und halb so oft in y.
> Wo liegt mein Denkfehler? irgendwas habe ich da noch nicht
> verstanden.
Siehst du's nun?
Gruss,
SirJective
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:31 Di 27.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Christian.
Es fällt mir schwer, bei euch zu folgen, aber so weit habe ich es jetzt auch verstanden. Danke.
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:03 Mo 26.07.2004 | | Autor: | SirJective |
Hallo Stefan,
> Daher muss [mm]x[/mm] die folgende Form haben:
>
> [mm]x = 2^k \cdot x_1^2[/mm]
>
> mit einer ganzen Zahl [mm]k \ge 0[/mm] und einer ganzen Zahl [mm]x_1[/mm].
Zu diesem Schluss bin ich auch schon gekommen, und sogar ein Stück weiter.
Ich hab die Darstellung [mm] $x(x+1)(x^2+x+2)=2y^2$ [/mm] betrachtet. x und x+1 sind teilerfremd, und der größte gemeinsame Teiler von [mm] x(x+1)=x^2+x [/mm] und [mm] x^2+x+2 [/mm] ist 2, für jedes ganze x.
Wenn also y einen ungeraden Primteiler p hat, mit [mm] p^k [/mm] teilt y, dann ist p^2k ein Teiler von genau einer der drei Zahlen x, x+1, oder [mm] x^2+x+2. [/mm] Alle drei haben also die Form
$x = [mm] 2^{k_1} x_1^2$, [/mm] $x+1 = [mm] 2^{k_2} x_2^2$, $x^2+x+2 [/mm] = [mm] 2^{k_3} x_3^2$ [/mm] mit [mm] $k_1,k_2,k_3\geq0$ [/mm] und ganzen Zahlen [mm] $x_1,x_2,x_3$.
[/mm]
Man kann darüber hinaus noch feststellen, dass genau eine der beiden Zahlen [mm] k_1 [/mm] und [mm] k_2 [/mm] gleich 0 ist (denn es ist genau eine der Zahlen x und x+1 gerade), und dass [mm] $k_3\geq [/mm] 1$ ist (da [mm] x^2+x+2 [/mm] gerade ist).
Ich sehe aber leider auch nicht, wie man damit weiterkommt. (Hab im übrigen alle x bis 1 Mio getestet, wie ihr sicher auch schon  und nur Lösungen mit x=-2,-1,0,1 gefunden.)
Gruss,
SirJective
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:26 Di 27.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Christian!
Okay, und der Fall [mm] "$k_3$ [/mm] ungerade" führt jetzt dazu, dass dann alle Lösungen von $x$ in der Menge [mm] $\{-1,0,1\}$ [/mm] liegen müssen (da dann $x$ und $x+1$ beides Quadratzahlen sind bzw. negativierte Quadratzahlen). Verzeihe mir bitte diese triviale Randbemerkung.
Zu zeigen bleibt also, dass im Falle [mm] "$k_3$ [/mm] gerade" notwendigerweise [mm] $x\in \{-2,-1,0,1\}$ [/mm] gelten muss, aber das ist eben nicht so einfach...
Edit: Was ich jetzt (ist aber wieder nur trivial) noch gezeigt habe, ist, dass aus [mm] "$k_3$ [/mm] gerade" folgt, dass
$x = [mm] \pm2 x_1^2$ [/mm] oder $x = [mm] \pm 2x_2^2 [/mm] - 1$
mit ganzen Zahlen [mm] $x_1,x_2$ [/mm] gilt, die $2$ nicht als Primteiler enthalten. Zu zeigen bleibt hier also: [mm] $\vert x_1 \vert \in \{0,1\}$ [/mm] bzw. [mm] $\vert x_2 \vert \in \{0,1\}$ [/mm] (dann könnte man noch $x=2$ und $x=-3$ durch Einsetzen falsifizieren).
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:33 Di 27.07.2004 | | Autor: | SirJective |
Hallo Stefan,
deine "Trivialitäten" haben mich eine halbe A5-Seite gekostet :)
Dafür fand ich die Herleitung der Darstellung von x, x+1 und [mm] x^2+x+2 [/mm] sehr leicht, nachdem Alex auf die Idee gekommen ist, dass die drei Faktoren fast teilerfremd sind.
> Okay, und der Fall "[mm]k_3[/mm] ungerade" führt jetzt dazu, dass
> dann alle Lösungen von [mm]x[/mm] in der Menge [mm]\{-1,0,1\}[/mm] liegen
> müssen (da dann [mm]x[/mm] und [mm]x+1[/mm] beides Quadratzahlen sind bzw.
> negativierte Quadratzahlen). Verzeihe mir bitte diese
> triviale Randbemerkung.
Die immerhin "die Hälfte" der möglichen [mm] k_3 [/mm] abdeckt. :-p
> Zu zeigen bleibt also, dass im Falle "[mm]k_3[/mm] gerade"
> notwendigerweise [mm]x\in \{-2,-1,0,1\}[/mm] gelten muss, aber das
> ist eben nicht so einfach...
>
> Edit: Was ich jetzt (ist aber wieder nur trivial) noch
> gezeigt habe, ist, dass aus "[mm]k_3[/mm] gerade" folgt, dass
>
> [mm]x = \pm2 x_1^2[/mm] oder [mm]x = \pm 2x_2^2 - 1[/mm]
>
> mit ganzen Zahlen [mm]x_1,x_2[/mm] gilt, die [mm]2[/mm] nicht als Primteiler
> enthalten.
Ja, das hab ich nun auch, mit der Zwischenerkenntnis, dass aus [mm] k_3>1 [/mm] folgt, dass [mm] k_1+k_2=1 [/mm] ist.
Die negativen x-Werte schließe ich übrigens ebenso wie die negativen y-Werte aus der Untersuchung aus, weil offensichtlich zu jeder Lösung (x, y) noch die drei Lösungen (x, -y), (-1-x, y) und (-1-x, -y) existieren.
Es gibt also vermutlich "im wesentlichen" nur die Lösungen (0, 0) und (1, 2).
> Zu zeigen bleibt hier also: [mm]\vert x_1 \vert \in \{0,1\}[/mm]
> bzw. [mm]\vert x_2 \vert \in \{0,1\}[/mm] (dann könnte man noch [mm]x=2[/mm]
> und [mm]x=-3[/mm] durch Einsetzen falsifizieren).
Allein mit der Voraussetzung, dass entweder $x = [mm] x_1^2, [/mm] x+1 = 2 [mm] x_2^2$ [/mm] oder $x = 2 [mm] x_1^2, [/mm] x+1 = [mm] x_2^2$ [/mm] ist, kommt man leider noch nicht ans Ziel (z.B. ist [mm] $7^2+1=2\cdot 5^2$). [/mm] Man muss also wohl noch $x(x+1) + 2 = [mm] \blue{2 (x_1 x_2)^2 + 2 = 2^{2 k'_3} x_3^2} [/mm] = [mm] x^2+x+2$ [/mm] mit $k'_3 = [mm] k_3/2$ [/mm] verwenden.
Gruss,
SirJective
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:44 Di 27.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Christian!
Ich selber fand es so trivial gar nicht, aber ich hatte Angst, dass du es so einschätzt und ich mich hier blamiere mit meinen tollen "Erkenntnissen".
> Ja, das hab ich nun auch, mit der Zwischenerkenntnis, dass
> aus [mm]k_3>1[/mm] folgt, dass [mm]k_1+k_2=1[/mm] ist.
Ja, hatte ich gestern abend auch raus gehabt.
> Die negativen x-Werte schließe ich übrigens ebenso wie die
> negativen y-Werte aus der Untersuchung aus, weil
> offensichtlich zu jeder Lösung (x, y) noch die drei
> Lösungen (x, -y), (-1-x, y) und (-1-x, -y) existieren.
> Es gibt also vermutlich "im wesentlichen" nur die Lösungen
> (0, 0) und (1, 2).
Okay, ich schleppe sie mit, macht ja nichts.
> Allein mit der Voraussetzung, dass entweder [mm]x = x_1^2, x+1 = 2 x_2^2[/mm]
> oder [mm]x = 2 x_1^2, x+1 = x_2^2[/mm] ist, kommt man leider noch
> nicht ans Ziel (z.B. ist [mm]7^2+1=2\cdot 5^2[/mm]). Man muss also
> wohl noch [mm]x(x+1) + 2 = \blue{2 (x_1 x_2)^2 + 2 = 2^{2 k'_3} x_3^2} = x^2+x+2[/mm]
> mit [mm]k'_3 = k_3/2[/mm] verwenden.
Gut, interessanter Ansatz.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:03 Di 27.07.2004 | | Autor: | SirJective |
Hallo Stefan,
> Ich selber fand es so trivial gar nicht, aber ich hatte
> Angst, dass du es so einschätzt und ich mich hier blamiere
> mit meinen tollen "Erkenntnissen".
Wenn du mich mal dabei erwischst, dass ich Erkenntnisse als "trivial" bezeichne, die sich ein anderer mühsam erarbeitet hat, dann erinnere mich an diesen Beitrag!
Derjenige, der die Erkenntnisse eines anderen als trivial abwertet, zeigt damit sein eigenes Unverständnis. Eine Aussage wie "Das ist trivial" ist schlicht falsch. Bestimmte Sachverhalte sind bestimmten Menschen mehr oder weniger klar, aber das ist stets subjektiv und ändert sich sogar für einzelne Personen mit der Zeit.
Dass jede p-adische Zahl eindeutig darstellbar ist als Produkt einer p-Potenz, einer ganzen Zahl aus {1, ..., p-1} und einer 1-Einheit, erscheint mir trivial, aber die meisten anderen hier wissen nicht, wovon ich spreche. (Noch vor einem Jahr gehörte ich auch zu denen.)
Umgekehrt arbeitest du täglich mit statistischen Begriffen, die böhmische Dörfer für mich sind, und es wohl auch noch lange bleiben werden.
Gruss,
SirJective
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:12 Di 27.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Christian!
> Wenn du mich mal dabei erwischst, dass ich Erkenntnisse als
> "trivial" bezeichne, die sich ein anderer mühsam erarbeitet
> hat, dann erinnere mich an diesen Beitrag!
>
> Derjenige, der die Erkenntnisse eines anderen als trivial
> abwertet, zeigt damit sein eigenes Unverständnis. Eine
> Aussage wie "Das ist trivial" ist schlicht falsch.
> Bestimmte Sachverhalte sind bestimmten Menschen mehr oder
> weniger klar, aber das ist stets subjektiv und ändert sich
> sogar für einzelne Personen mit der Zeit.
Ja, das gefällt mir. Falls es sich so anhörte: Ich wollte dir das nicht unterstellen, es war nur meine unterschwellige Sorge.
> Dass jede p-adische Zahl eindeutig darstellbar ist als
> Produkt einer p-Potenz, einer ganzen Zahl aus {1, ..., p-1}
> und einer 1-Einheit, erscheint mir trivial, aber die
> meisten anderen hier wissen nicht, wovon ich spreche.
Kannst du mir das denn erklären? Was ist überhaupt eine p-adische Zahl? Dasselbe wie eine g-adische (oder b-adische) Zahl, nur mit einer Primzahl als Basis? Ich weiß, das war nicht der Sinn dieses Satzes , aber ich will ihn jetzt trotzdem verstehen. Ist das schwierig zu beweisen?
> Umgekehrt arbeitest du täglich mit statistischen
> Begriffen, die böhmische Dörfer für mich sind, und es wohl
> auch noch lange bleiben werden.
Ebenfalls nur nebenbei bemerkt: Ich arbeite gar nicht mehr mit statistischen Begriffen, da ich seit diesem Monat kein wissenschaftlicher Mitarbeiter mehr bin (sondern nicht-wissenschaftlicher ). Außerdem kannte ich mich mit Statistik noch nie gut aus, sondern nur mit Wahrscheinlichkeitstheorie und stochastischer Analysis, in Ansätzen mit etwas Finanzmathematik.
Aber ich habe die Botschaft mitgenommen und mich darüber in gewisser Weise gefreut.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:34 Di 27.07.2004 | | Autor: | SirJective |
Hallo Stefan,
> Ja, das gefällt mir. Auch wenn es sich so anhörte: Ich
> wollte dir das nicht unterstellen, es war nur meine
> unterschwellige Sorge.
Ist in Ordnung, diese Sorge vermeide ich für mich, indem ich bei Fragen, deren Antwort ich für sehr leicht halte, anderen den Vortritt lasse
> > Dass jede p-adische Zahl eindeutig darstellbar ist als
> > Produkt einer p-Potenz, einer ganzen Zahl aus {1, ..., p-1}
> > und einer 1-Einheit, erscheint mir trivial, aber die
> > meisten anderen hier wissen nicht, wovon ich spreche.
>
> Kannst du mir das denn erklären? Was ist überhaupt eine
> p-adische Zahl? Dasselbe wie eine g-adische (oder
> b-adische) Zahl, nur mit einer Primzahl als Basis? Ich
> weiß, das war nicht der Sinn dieses Satzes , aber ich
> will ihn jetzt trotzdem verstehen. Ist das schwierig zu
> beweisen?
P-adische Zahlen sind was anderes als natürliche Zahlen in einer adischen Darstellung.
Du schaust dir vielleicht mal die Einführung in der ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia an, dann brauch ich hier nicht ganz so viel schreiben
Die von mir formulierte Aussage ist sehr grundlegend für p-adische Zahlen. Wie in dem Artikel steht, kann man p-adische Zahlen als formale Laurentreihen in einer Primzahl p ansehen, mit Koeffizienten aus {0, ..., p-1}, wo aber beim Rechnen Überträge zu beachten sind. Die sind fast wie reelle Zahlen, nur dass sie nicht unendlich viele Nachkommastellen und endlich viele Vorkommastellen haben, sondern nur endlich viele Nachkommastellen, aber unendlich viele Vorkommastellen.
Reihen, deren Hauptteil gleich 0 ist, die also eine Potenzreihe in p sind und keine Nachkommastellen haben, heißen "p-adische ganze Zahlen". Sie bilden einen Unterring [mm] \mathbb{Z}_p [/mm] im Körper [mm] \mathbb{Q}_p [/mm] der p-adischen Zahlen. Die invertierbaren Elemente dieses Ringes heißen Einheiten; das sind genau die Potenzreihen, deren "Absolutglied" nicht 0 ist. Diejenigen Einheiten, deren "Absolutglied" gleich 1 ist, heißen 1-Einheiten. Kannst du dir mit diesen Definitionen den Satz selbst herleiten?
> Ebenfalls nur nebenbei bemerkt: Ich arbeite gar nicht mehr
> mit statistischen Begriffen, da ich seit diesem Monat kein
> wissenschaftlicher Mitarbeiter mehr bin (sondern
> nicht-wissenschaftlicher ).
Ui! Ist das positiv oder negativ für dich?
> Aber ich habe die Botschaft mitgenommen und mich darüber in
> gewisser Weise gefreut.
Gruss,
SirJective
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:51 Di 27.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Christian!
> Ist in Ordnung, diese Sorge vermeide ich für mich, indem
> ich bei Fragen, deren Antwort ich für sehr leicht halte,
> anderen den Vortritt lasse
Das kann ich nicht machen. Erstens weiß ich nie genau, wann eine Frage schwierig für mich ist (ich mache hier manchmal bei den scheinbar einfachsten Fragen Fehler wie zuletzt mit den nirgends stetigen Funktionen, und dann kann es so einfach ja nicht gewesen sein, zumindestens erinnere ich mich dann besser an Altbekanntes), zweitens möchte ich, dass hier Hilfesuchenden möglichst schnell geholfen wird (und ich bin der einzige hier, der quasi immer online ist, zumindestens wenn ich nicht wie ab morgen Urlaub habe) und drittens will ich meinen sechsten Stern bekommen. Okay, sind noch knapp 400 Antworten bis dahin.
> P-adische Zahlen sind was anderes als natürliche Zahlen in
> einer adischen Darstellung.
> Du schaust dir vielleicht mal die Einführung in der
> Wikipedia an,
> dann brauch ich hier nicht ganz so viel schreiben
> Die von mir formulierte Aussage ist sehr grundlegend für
> p-adische Zahlen. Wie in dem Artikel steht, kann man
> p-adische Zahlen als formale
> Laurentreihen in
> einer Primzahl p ansehen, mit Koeffizienten aus {0, ...,
> p-1}, wo aber beim Rechnen Überträge zu beachten sind. Die
> sind fast wie reelle Zahlen, nur dass sie nicht unendlich
> viele Nachkommastellen und endlich viele Vorkommastellen
> haben, sondern nur endlich viele Nachkommastellen, aber
> unendlich viele Vorkommastellen.
> Reihen, deren Hauptteil gleich 0 ist, die also eine
> Potenzreihe in p sind und keine Nachkommastellen haben,
> heißen "p-adische ganze Zahlen". Sie bilden einen Unterring
> [mm]\mathbb{Z}_p[/mm] im Körper [mm]\mathbb{Q}_p[/mm] der p-adischen Zahlen.
> Die invertierbaren Elemente dieses Ringes heißen Einheiten;
> das sind genau die Potenzreihen, deren "Absolutglied" nicht
> 0 ist. Diejenigen Einheiten, deren "Absolutglied" gleich 1
> ist, heißen 1-Einheiten. Kannst du dir mit diesen
> Definitionen den Satz selbst herleiten?
Edit: Nein. Vielleicht kannst du es mir ja freundlicherweise verraten, aber bitte ausführlich, mit elementaren Methoden und verständlich. Danke! Ich habe mir da zwar was überlegt, aber das ist irgendwie unschön und wahrscheinlich auch falsch, nehme ich mal an. Wenn ich mal obdA davon ausgehe, dass keine negativen Potenzen vorkommen (denn sonst kann ich ja diese Potenz rausziehen), dann finde ich vielleicht induktiv Folgen [mm] $(m_i)$ [/mm] und [mm] $(b_i)$ [/mm] mit [mm] $a_{i+1} [/mm] + [mm] m_i [/mm] = [mm] a_0 b_i [/mm] + [mm] m_{i+1}p$ [/mm] (mit [mm] $m_0=0$) [/mm] oder so etwas in der Art und kann dann [mm] $a_0$ [/mm] ausklammern). Aber das ist völlig unausgereift.
> Ui! Ist das positiv oder negativ für dich?
Positiv, auf jeden Fall. Ich habe dafür gekämpft, und zwar aus den folgenden Gründen:
1) Ich habe jetzt einen unbefristeten Vertrag (das war mir das Wichtigste, schließlich will ich bald Kinder haben).
2) Ich habe jetzt mehr mit Menschen zu tun (Gruppen durch das Gebäude führen, Praktikanten betreuen, Freundeskreis leiten).
3) Ich kann die Tätigkeit intensiver als vorher machen, die ich am allerliebsten mache: Mathematik vermitteln und Schüler fördern.
Eine Promotion werde ich trotzdem nebenher versuchen. Muss ja kein "Summa" sein.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:13 Mi 28.07.2004 | | Autor: | SirJective |
Hallo Stefan,
> zweitens möchte ich,
> dass hier Hilfesuchenden möglichst schnell geholfen wird
> (und ich bin der einzige hier, der quasi immer online ist,
> zumindestens wenn ich nicht wie ab morgen Urlaub habe) und
> drittens will ich meinen sechsten Stern bekommen. Okay,
> sind noch knapp 400 Antworten bis dahin.
Dass marc und du fast immer da sind, und bemüht, die Fragen zu beantworten, führt bei mir dazu, dass ich manche neuen Fragen gar nicht mehr anschaue, wenn mich das Thema nicht so sehr interessiert, weil ich weiß, dass sich schon jemand darum kümmern wird.
Ich hab hier mal die aktuelle Antwort-Statistik der letzten 30 Tage.
Auf 363 Fragen haben Antwort gegeben:
1. stefan (90)
2. julius (56)
3. marc (50)
4. Paulus (47)
5. brigitte (29)
6. Gnometech (26)
7. andreas (21)
8. SirJective (19)
9. Marcel (15)
10. taenzer (12)
andere (156)
Mit deinem Antwort-Vorsprung bist du sozusagen der Michael Schumacher des Matheraums: Ein Viertel der Fragen wurden von Benutzer stefan beantwortet. Da denk ich mir wirklich, dass ich mich zurücklehnen und mir die interessantesten Fragen rauspicken kann.
> > P-adische Zahlen sind was anderes als natürliche Zahlen in
> > einer adischen Darstellung.
> > [viele Definitionen weggelassen] Kannst du dir mit diesen
> > Definitionen den Satz selbst herleiten?
>
> Edit: Nein. Vielleicht kannst du es mir ja
> freundlicherweise verraten, aber bitte ausführlich, mit
> elementaren Methoden und verständlich. Danke!
Mach ich gern, in einem anderen Beitrag.
> > Ui! Ist das positiv oder negativ für dich?
>
> Positiv, auf jeden Fall. Ich habe dafür gekämpft, und zwar
> aus den folgenden Gründen:
>
> 1) Ich habe jetzt einen unbefristeten Vertrag (das war mir
> das Wichtigste, schließlich will ich bald Kinder haben).
> 2) Ich habe jetzt mehr mit Menschen zu tun (Gruppen durch
> das Gebäude führen, Praktikanten betreuen, Freundeskreis
> leiten).
> 3) Ich kann die Tätigkeit intensiver als vorher machen,
> die ich am allerliebsten mache: Mathematik vermitteln und
> Schüler fördern.
Dann gratuliere ich du dieser Beförderung!
> Eine Promotion werde ich trotzdem nebenher versuchen. Muss
> ja kein "Summa" sein.
Viel Erfolg dabei!
Gruss,
SirJective
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:58 Mi 28.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo SirJective,
> > zweitens möchte ich,
> > dass hier Hilfesuchenden möglichst schnell geholfen wird
>
> > (und ich bin der einzige hier, der quasi immer online
> ist,
> > zumindestens wenn ich nicht wie ab morgen Urlaub habe)
> und
> > drittens will ich meinen sechsten Stern bekommen.
> Okay,
> > sind noch knapp 400 Antworten bis dahin.
>
> Dass marc und du fast immer da sind, und bemüht, die Fragen
> zu beantworten, führt bei mir dazu, dass ich manche neuen
> Fragen gar nicht mehr anschaue, wenn mich das Thema nicht
> so sehr interessiert, weil ich weiß, dass sich schon jemand
> darum kümmern wird.
Das ist natürlich fatal, weil ich nämlich gerne Antworten in Gebieten gebe, bei denen ich mich gar nicht gut auskenne, ich aber den Fragesteller nicht lange warten lassen will (natürlich bin ich dann bei meiner Antwort davon überzeugt, dass sie wenigstens einen kleinen hilfreichen Aspekt enthält). Ich vertraue dann immer darauf, dass sich ein Experte schon einmischt, wenn ich wieder mal Unsinn fabriziere.
> Ich hab hier mal die aktuelle Antwort-Statistik der letzten
> 30 Tage.
> Auf 363 Fragen haben Antwort gegeben:
> 1. stefan (90)
> 2. julius (56)
> 3. marc (50)
> 4. Paulus (47)
> 5. brigitte (29)
> 6. Gnometech (26)
> 7. andreas (21)
> 8. SirJective (19)
> 9. Marcel (15)
> 10. taenzer (12)
> andere (156)
>
> Mit deinem Antwort-Vorsprung bist du sozusagen der Michael
> Schumacher des Matheraums: Ein Viertel der Fragen wurden
> von Benutzer stefan beantwortet. Da denk ich mir wirklich,
> dass ich mich zurücklehnen und mir die interessantesten
> Fragen rauspicken kann.
Diese Statistik ist etwas trügerisch, da bei unserer Zählweise theoretisch auch nur ein Viertel der Fragen überhaupt beantwortet worden sein könnten. Das liegt daran, da die Antworten jedes Diskussionsteilnehmers separat gezählt werden. Wenn nun alle anderen in Diskussionen geantwortet haben, in denen auch stefan geantwortet hat, dann sind 3/4 der Fragen unbeantwortet.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 Mi 28.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Christian!
> Dass marc und du fast immer da sind, und bemüht, die Fragen
> zu beantworten, führt bei mir dazu, dass ich manche neuen
> Fragen gar nicht mehr anschaue, wenn mich das Thema nicht
> so sehr interessiert, weil ich weiß, dass sich schon jemand
> darum kümmern wird.
Ja, das kann ich verstehen. Jeder soll natürlich das beantworten, was ihm Spaß macht. Ich habe nur ein Problem: Mich interessiert in der Mathematik fast alles (bis auf Numerik). Selbst Geometrie interessiert mich, nur habe ich leider null Talent dafür. Weil ich in allen Gebieten fit bleiben will, antworte ich auch überall.
> Ich hab hier mal die aktuelle Antwort-Statistik der letzten
> 30 Tage.
> Auf 363 Fragen haben Antwort gegeben:
> 1. stefan (90)
> 2. julius (56)
> 3. marc (50)
> 4. Paulus (47)
> 5. brigitte (29)
> 6. Gnometech (26)
> 7. andreas (21)
> 8. SirJective (19)
> 9. Marcel (15)
> 10. taenzer (12)
> andere (156)
>
> Mit deinem Antwort-Vorsprung bist du sozusagen der Michael
> Schumacher des Matheraums:
Soll das eine Beleidigung sein?
> Ein Viertel der Fragen wurden
> von Benutzer stefan beantwortet. Da denk ich mir wirklich,
> dass ich mich zurücklehnen und mir die interessantesten
> Fragen rauspicken kann.
Das ist dein gutes Recht. Ich finde halt nicht nur die Fragen (mathematisch) interessant, sondern auch die Vermittlung von Mathematik bei für mich scheinbar (!) einfachen Dingen, auch in Klasse 5. Daher wäre ich ja auch fast Lehrer geworden.
> > > P-adische Zahlen sind was anderes als natürliche Zahlen
> in
> > > einer adischen Darstellung.
> > > [viele Definitionen weggelassen] Kannst du dir mit
> diesen
> > > Definitionen den Satz selbst herleiten?
> >
> > Edit: Nein. Vielleicht kannst du es mir ja
> > freundlicherweise verraten, aber bitte ausführlich, mit
>
> > elementaren Methoden und verständlich. Danke!
>
> Mach ich gern, in einem anderen Beitrag.
Das heißt, ich soll noch mal eine Extra-Frage stellen? Gut, mache ich. (Siehe LA/Algebra-Forum.)
> Dann gratuliere ich du dieser Beförderung!
Danke. Es ist in der Tat eine Beförderung, weil ich jetzt verantwortlicher Leiter des Simulationslabors bin, d.h. nur noch der Vorstand steht über mir. Das bedeutet viel mehr Verantwortung, allerdings, leider, nicht mehr Gehalt.
> > Eine Promotion werde ich trotzdem nebenher versuchen.
> Muss
> > ja kein "Summa" sein.
>
> Viel Erfolg dabei!
Vielen Dank, sehr lieb von dir! Den Erfolg würde ich darin sehen es neben meinem normalen Beruf überhaupt hinzukriegen. Das Ergebnis (sprich die Note) ist mir völlig wurscht.
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:58 Do 29.07.2004 | | Autor: | SirJective |
Hallo Stefan,
>
> Jeder soll natürlich das beantworten, was ihm Spaß macht.
> Ich habe nur ein Problem: Mich interessiert in der Mathematik
> fast alles (bis auf Numerik).
Na wenn du das ein Problem nennst *g*
Vielleicht liegt die Ursache für mein momentanes Desinteresse auch ganz woanders, im matheboard geht es mir nämlich zur Zeit genauso. Ich sollte wohl mal abschalten (den Rechner ) und mich meinem Diplomthema widmen (das sich natürlich mit p-adischen Zahlen beschäftigt).
> > Ich hab hier mal die aktuelle Antwort-Statistik der
> > letzten 30 Tage.
> > Auf 363 Fragen haben Antwort gegeben:
> > 1. stefan (90)
> > [...]
> > Mit deinem Antwort-Vorsprung bist du sozusagen der
> > Michael Schumacher des Matheraums:
>
> Soll das eine Beleidigung sein?
Keineswegs Nur eine Analogie bezüglich deines uneinholbaren Vorsprungs.
> > Ein Viertel der Fragen wurden
> > von Benutzer stefan beantwortet. Da denk ich mir wirklich,
> > dass ich mich zurücklehnen und mir die interessantesten
> > Fragen rauspicken kann.
>
> Das ist dein gutes Recht.
Vielleicht liegt's aber auch an ... Siehe oben.
> Ich finde halt nicht nur die
> Fragen (mathematisch) interessant, sondern auch die
> Vermittlung von Mathematik bei für mich scheinbar (!)
> einfachen Dingen, auch in Klasse 5.
Die Vermittlung von Wissen ist immer eine Herausforderung; manchmal stelle ich mich ihr. In den beiden Mathe-Foren, die ich bis jetzt kenne, sind Fragen unterhalb der 8. Klasse aber sehr selten (oder werden sofort beantwortet), so dass ich noch nicht üben konnte, auf diesem Wissensniveau etwas zu vermitteln.
> Daher wäre ich ja auch fast Lehrer geworden.
Schul-Lehrer wäre nichts für mich, weil ich keine Lust hätte, Schülern etwas beibringen zu müssen, was sie nicht wissen wollen. Nachhilfelehrer wäre da schon eher meine Wahl, da ein Nachhilfeschüler zu mir käme, weil er etwas lernen will, nicht weil er muss. Es kommt natürlich vor, dass Schüler von ihren Eltern geschickt werden, obwohl sie keine Lust haben. Solche Fälle sind problematisch. Alex weiß da aus eigener Erfahrung zu berichten.
> [P-adische Zahlen in neuem Beitrag]
Jepp, hab dort schon einen langen Text verfasst.
Gruss,
SirJective
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:02 Fr 30.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Christian!
> Na wenn du das ein Problem nennst *g*
Ja, das ist ein Problem. Ich habe mich schon während meines Studiums für zu viele mathematischen Dinge interessiert und mich zu spät spezialisiert. Über meine auch daraus resulierende lange Studiendauer (erst Lehramt, dann Diplom) legen wir mal dezent den Mantel des Schweigens. Naja, dafür kenne ich mich jetzt in sehr vielen Gebieten halbwegs aus. (Aber vieles habe ich natürlich auch wieder vergessen. Um nicht noch mehr zu vergessen, versuche ich hier möglichst viel zu antworten.)
> Vielleicht liegt die Ursache für mein momentanes
> Desinteresse auch ganz woanders, im matheboard geht es mir
> nämlich zur Zeit genauso. Ich sollte wohl mal abschalten
> (den Rechner ) und mich meinem Diplomthema widmen (das
> sich natürlich mit p-adischen Zahlen beschäftigt).
Das kenne ich. Während meiner Diplomarbeitszeit habe ich mich mit vielem beschäftigt, nur nicht mit meiner Diplomarbeit. Und dann kommt das schlechte Gewissen und man macht gar nichts mehr vernünftig.
> Keineswegs Nur eine Analogie bezüglich deines
> uneinholbaren Vorsprungs.
Okay. Aber da es ja nur eine 30-Tage-Statistik ist, bin ich natürlich leicht einholbar. In der ewigen Statistik dagegen ist Marc quasi uneinholbar. Obwohl: Das macht man von Juan Manuel Fangio auch gedacht, um im Bild zu bleiben. Und dann kam Michael Schumacher...
> Schul-Lehrer wäre nichts für mich, weil ich keine Lust
> hätte, Schülern etwas beibringen zu müssen, was sie nicht
> wissen wollen. Nachhilfelehrer wäre da schon eher meine
> Wahl, da ein Nachhilfeschüler zu mir käme, weil er etwas
> lernen will, nicht weil er muss.
Ähem, das ist eine idealistische Illusion, die ich dir unbedingt nehmen muss. Ich gebe seit über 10 Jahren Nachhilfe, teilweise (bei einer großen Nachhilfeorganisation) semi-professionell, mittlerweile nur noch privat. Ich hatte ca. 500 Nachhilfeschüler. Die meisten Schüler wollen überhaupt nichts wissen, werden von ihren Eltern geschickt und sind (zumindestens anfangs ) total demotiviert. Dann schon lieber richtiger Lehrer...
> Jepp, hab dort schon einen langen Text verfasst.
Danke nochmals dafür.
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:34 Mi 28.07.2004 | | Autor: | SirJective |
> > Man muss also
> > wohl noch [mm]x(x+1) + 2 = \blue{2 (x_1 x_2)^2 + 2 = 2^{2 k'_3} x_3^2} = x^2+x+2[/mm]
> > mit [mm]k'_3 = k_3/2[/mm] verwenden.
>
> Gut, interessanter Ansatz.
Bingo!
Da steht's: [mm] x^2+x+2 [/mm] muss eine Quadratzahl sein! Für welche ganzen x ist das der Fall?
Nach einem plot sieht es so aus, als ob [mm] \sqrt{x^2+x+2}-x [/mm] für x gegen unendlich gegen 1/2 konvergiert (für negative x hab ich's grad nicht angeschaut). Da müsste man nur noch feststellen, für welche x der Abstand von [mm] \sqrt{x^2+x+2} [/mm] zu x kleiner ist als 1, und wir haben's - denn diese x können nicht Lösung sein.
Gruss,
SirJective
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:33 Mi 28.07.2004 | | Autor: | SirJective |
> Da steht's: [mm]x^2+x+2[/mm] muss eine Quadratzahl sein! Für welche
> ganzen x ist das der Fall?
>
> Nach einem plot sieht es so aus, als ob [mm]\sqrt{x^2+x+2}-x[/mm]
> für x gegen unendlich gegen 1/2 konvergiert (für negative x
> hab ich's grad nicht angeschaut). Da müsste man nur noch
> feststellen, für welche x der Abstand von [mm]\sqrt{x^2+x+2}[/mm] zu
> x kleiner ist als 1, und wir haben's - denn diese x können
> nicht Lösung sein.
Warum einfach, wenn's auch kompliziert geht... Man sieht leicht, dass fuer x>1 stets
[mm] $x^2
Negative x-Werte brauchen wir ja aufgrund der Symmetrie nicht betrachten, so dass hier nur x=1 und x=-2 als Loesung uebrig bleiben.
So Hanno, und wenn du das alles (und deine Loesung der anderen Aufgabe, die ich dir gestellt hatte) noch verstaendlich und praezise aufschreibst, dann kriegst ein dickes Lob von mir.
Bugmeldung an Marc:
[mm] x^2
wurde in der Vorschau (bevor die Formel gerendert wurde) als
[mm] [nomm]x^2
im HTML-Quelltext angegeben, so dass das < als Beginn eines HTML-Tags interpretiert wurde.
Gruss,
SirJective
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:55 Mi 28.07.2004 | | Autor: | Hanno |
hi Christian.
Werd ich machen, muss aber dann nochmal alles durchlesen, da mir das ein wenig zu hoch wurde mit der Zeit
Vielleicht schaff ichs bis morgen!
Gruß,
Hanno
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:23 Mi 28.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Christian und Stephan.
Ich bin ein wenig verwirrt über die Aufgabe, habe mich auch nicht mehr damit beschäftigt. Auf welchen Erkenntnissen baut der letzte Gedanke und Geistesblitz von Christian nun auf, dass er zur Lösung führt? Hat der noch was mti den anfänglichen Überlegungen zu tun?
Falls es ne blöde Frage ist, entschuldigt mich, aber ich seh's grad wirklich nicht.
Gruß,
Hanno
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Hallo Hanno,
bitte lies Stefans und meine Beiträge noch einmal sorgfältig durch. Unser Vorgehen war dieses:
Wir betrachten die Faktoren x, x+1 und [mm] x^2+x+2 [/mm] der linken Seite.
Den Fall x=0 und x=-1 betrachten wir besser gesondert, damit alle drei Faktoren ungleich 0 sind. Außerdem betrachte ich nur positive x, da die linke Seite der Gleichung symmetrisch um x=-1/2 ist.
Wir stellen fest, dass der einzige gemeinsame Teiler der drei Faktoren nur die 2 sein kann. Damit sind alle drei Faktoren von der Form [mm] $2^{k_i} x_i^2$, [/mm] mit drei ungeraden, paarweise teilerfremden Zahlen [mm] x_i. [/mm] Dann sieht man, dass die Summe der drei 2-Exponenten ungerade sein muss. Ist [mm] k_3 [/mm] ungerade (s. entsprechenden Beitrag), dann ist [mm] k_1+k_2 [/mm] gerade, und da einer der beiden 0 ist, ist der andere gerade, und sowohl x als auch x+1 ist ein Quadrat. Das geht nicht, wenn x positiv ist.
Ist [mm] k_3 [/mm] gerade, dann ist [mm] x^2+x+2 [/mm] ein Quadrat - was aber für x>1 nicht möglich ist (das war mein Geistesblitz). Es bleibt x=1 zu testen (mit mit x=1 ist auch x=-2 eine Lösung).
Gruss,
SirJective
PS: Du solltest dich vielleicht mit den Aufgaben, die du anfängst, solange beschäftigen, bis du sie vollständig gelöst und die Lösung sauber aufgeschrieben hast, und nicht vorher schon zur nächsten Aufgabe weitergehen.
Willst du ein guter Mathematiker werden, oder ein guter Mathewettbewerbsaufgabenlöser? Meiner Meinung nach hängen diese beiden Fähigkeiten nicht wesentlich miteinander zusammen, aber das ist ein anderes Thema.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Do 29.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Christian.
Danke für deinen langen Erklärungsbeitrag, jetzt ist es mir klar. Wirklich eine sehr elegante Lösung, die ihr da gefunden habt. Was mich nun noch interessieren würde, wäre eine Technik, wie man solche Symmetrien herausfindet.
Und zu deiner Anmerkung am Ende:
Es ist so, dass ich z.Z. ganz viel rechne, ausschließlich Wettbewerbsaufgaben wohlgemerkt, da ich nicht mehr viel Zeit habe, um einmal in meinen Leben noch an einem Wettbewerb teilzunehmen. Ich bin jetzt in Klasse 12, in der 13 ist Abi angesagt, da ist nicht mehr viel Luft. Daher übe ich jetzt wie wild und versuche alle möglichen Aufgaben zu lösen. Und wenn's bei der einen nicht so toll klappt, dann rechne ich lieber erst eine andere, da ich weiß, dass im Forum wahrscheinlich auch Anregungen für die andere Aufgabe kommen und ich, auch wenn ich mich nicht mehr mit ihr beschäftige, die Lösung später anschauen kann. Dies wollte ich hier auch machen, doch habe ich sie in diesem Thread-Gewirr nicht mehr nachvollziehen können. Und wenn die Frage nicht im Forum ist, dann lasse ich die Aufgabe meist einfach weg und schau mir eine andere an. Nichtr nach 2, nicht nach 3, auch nicht nach 15 Minuten, ich denke wirklich eine Weile drüber nach - und wenn ich dann merke, dass sie zu schwierig ist, dann lasse ich meine ersten Überlegungen einfach fallen und versuche mich an einer anderen Aufgabe. Ich bin durch euch sehr weit gekommen in den Ferien, habe heute morgen z.B. meiner ansicht nach fehlerfrei und ohne jegliche Hilfe, weder durch Computer noch durch Foren, eine Bundesrundenaufgabe gelöst, worüber ich sehr froh und auch sehr stolz bin.
Da ich das, wie bei so vielen Dingen, versäumt habe, mich ein wenig früher damit zu befassen, so möchte ich doch die Chance wahrnehmen, ein Mal bei einer Olympiade teilzunehmen und auch ein wenig Erfolg zu haben - soll heißen, das Erreichen der Landesrunde wär eine feine Sache.
Wenn ich das hinter mir habe, ob es geklappt hat oder nicht sei dahingestellt, dann werde ich auch weniger Wettbewerbsaufgaben rechnen und mich wieder auf das stürzen, was ich sonst mache, nömlich irgendwelche neuen Themen "beschnuppern" und meine Bücher durchlesen, die sich langsam anstauen. Auch wenn es jetzt evt. so aussieht, so bin ich aber auch nicht ständig mit den Aufgaben beschäftigt, ich habe im Moment auch noch Zeit um mich mit den anderen Dingen in MAthe zu beschäftigen, doch haben die Aufgaben Vorrang, da ich auf dem Gebiet wirklich vorankommen möchte.
Und zur letzten Frage:
Nein, ich möchte kein Wettbewerbsaufgabenlöser werden, ich will ein guter Mathematiker werden - ja, mein Ziel, mein berufliches Ziel ist es sogar Professor für mathematik zu werden - ist sicherlich sehr schwierig, aber warum soll man sich kein hohes Ziel setzen. Wenn das nichts wird, werde ich Lehrer oder studiere Informatik.
Zurück zur Olympiade: einmal, wie oben gesagt, muss es eben sein.
Dass es manchmal sinnvoller wäre, eine Aufgabe Hardcore durchzurechnen bis es nicht mehr geht mag schon stimmen, doch dazu muss ich sagen, dass ich in meiner Neugier meist nicht warten kann, bis ein neuer Forumthread da ist und ich daher zwischendurch auch gerne neue Dinge anfange.
So, lange Rede kurzer Sinn, ich hoffe, es hat ein wenig geholfen.
Danke an alle, die hier so schön mitrechnen, vorallem an dich, Alex und Stefan!
Gruß,
Hanno
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Hallo Hanno,
> Danke für deinen langen Erklärungsbeitrag, jetzt ist es
> mir klar. Wirklich eine sehr elegante Lösung, die ihr da
> gefunden habt. Was mich nun noch interessieren würde, wäre
> eine Technik, wie man solche Symmetrien herausfindet.
Tja, das ist von Fall zu Fall verschieden. In diesem Fall ist mir zunächst die x-Symmetrie der Lösungen aufgefallen. Ich hab dann die Nullstellen des quadratischen Faktors angeschaut: Ihr Realteil ist -1/2. Und da erkannte ich, dass sowohl x(x+1) als auch [mm] x^2+x+2 [/mm] Parabeln sind, deren Scheitel bei x=-1/2 liegt.
> Und zu deiner Anmerkung am Ende:
> [...] Ich bin jetzt in Klasse 12, in der
> 13 ist Abi angesagt, da ist nicht mehr viel Luft. Daher übe
> ich jetzt wie wild und versuche alle möglichen Aufgaben zu
> lösen. [...] so möchte ich doch die
> Chance wahrnehmen, ein Mal bei einer Olympiade teilzunehmen
> und auch ein wenig Erfolg zu haben - soll heißen, das
> Erreichen der Landesrunde wär eine feine Sache.
Nach der 6. Klasse haben mich persönlich die Mathewettbewerbe nicht mehr interessiert, weiß nicht warum. Aber eine erreichte Landesrunde wäre sicher ein Erfolg.
> Und zur letzten Frage:
> Nein, ich möchte kein Wettbewerbsaufgabenlöser werden, ich
> will ein guter Mathematiker werden - ja, mein Ziel, mein
> berufliches Ziel ist es sogar Professor für mathematik zu
> werden - ist sicherlich sehr schwierig, aber warum soll man
> sich kein hohes Ziel setzen. Wenn das nichts wird, werde
> ich Lehrer oder studiere Informatik.
Was für eine Alternative: Professor / Lehrer /Informatiker
Eine Professur hängt aber nicht nur von deinen mathematischen Leistungen ab, sondern dazu gehört auch eine Menge Glück und "Vitamin B" (Beziehungen).
Ein Beispiel für einen Spitzenmathematiker, dem letzteres fehlt: An unserer Uni lehrt ein Privatdozent, der sein Diplom, seine Dissertation und vor 4 Jahren seine Habilitation mit Auszeichnung abgelegt hat. Eine Professur ist für ihn trotzdem nicht in Sicht.
> Zurück zur Olympiade: einmal, wie oben gesagt, muss es eben
> sein.
Das ist natürlich deine Entscheidung. Wann wäre deine Chance, an der Olympiade teilzunehmen? (Ich hab überhaupt keine Ahnung, wann die stattfinden.)
> Danke an alle, die hier so schön mitrechnen, vorallem an
> dich, Alex und Stefan!
Wir haben ja außer meiner Diplomarbeit nichts mehr zu tun *g*
Alexandra hat ihre Arbeit letzten Freitag abgegeben.
Gruss,
SirJective
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 Do 29.07.2004 | | Autor: | mtsmts |
Hallo,
ich habe mir das auch durchgelesen, nur an einer kleinen Stelle hängt es noch:
>
> Ich hab die Darstellung [mm]x(x+1)(x^2+x+2)=2y^2[/mm] betrachtet. x
> und x+1 sind teilerfremd, und der größte gemeinsame Teiler
> von [mm]x(x+1)=x^2+x[/mm] und [mm]x^2+x+2[/mm] ist 2, für jedes ganze x.
logisch
> Wenn also y einen ungeraden Primteiler p hat, mit [mm]p^k[/mm]
> teilt y, dann ist p^2k ein Teiler von genau einer der drei
> Zahlen x, x+1, oder [mm]x^2+x+2.[/mm]
auch klar, aber diese Schlussfolgerung dass alle diese Form haben sollen verstehe ich noch nicht... das x diese Form hat habt ihr ja schon gezeigt aber den Rest? Hiermit ist doch nur gesagt dass genau eine diese Form hat aber doch noch nicht welche
Alle drei haben also die
> Form
> [mm]x = 2^{k_1} x_1^2[/mm], [mm]x+1 = 2^{k_2} x_2^2[/mm], [mm]x^2+x+2 = 2^{k_3} x_3^2[/mm]
> mit [mm]k_1,k_2,k_3\geq0[/mm] und ganzen Zahlen [mm]x_1,x_2,x_3[/mm].
>
> Man kann darüber hinaus noch feststellen, dass genau eine
> der beiden Zahlen [mm]k_1[/mm] und [mm]k_2[/mm] gleich 0 ist (denn es ist
> genau eine der Zahlen x und x+1 gerade), und dass [mm]k_3\geq 1[/mm]
> ist (da [mm]x^2+x+2[/mm] gerade ist).
>
> Ich sehe aber leider auch nicht, wie man damit weiterkommt.
> (Hab im übrigen alle x bis 1 Mio getestet, wie ihr sicher
> auch schon und nur Lösungen mit x=-2,-1,0,1
> gefunden.)
>
> Gruss,
> SirJective
Liebe Grüße,
mtsmts
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Hallo mtsmts,
> ich habe mir das auch durchgelesen, nur an einer kleinen
> Stelle hängt es noch:
>
> > Ich hab die Darstellung [mm]x(x+1)(x^2+x+2)=2y^2[/mm] betrachtet.
> > x und x+1 sind teilerfremd, und der größte gemeinsame Teiler
> > von [mm]x(x+1)=x^2+x[/mm] und [mm]x^2+x+2[/mm] ist 2, für jedes ganze x.
>
> logisch
>
> > Wenn also y einen ungeraden Primteiler p hat, mit [mm]p^k[/mm]
> > teilt y, dann ist p^2k ein Teiler von genau einer der drei
> > Zahlen x, x+1, oder [mm]x^2+x+2.[/mm]
>
> auch klar, aber diese Schlussfolgerung dass alle diese Form
> haben sollen verstehe ich noch nicht... das x diese Form
> hat habt ihr ja schon gezeigt aber den Rest? Hiermit ist
> doch nur gesagt dass genau eine diese Form hat aber doch
> noch nicht welche
Nun, folgendes Argument müsste da noch ergänzt werden:
Jeder ungerade Primteiler, den x, x+1 oder [mm] x^2+x+2 [/mm] haben, ist auch Primteiler von y. Wenn also p ein ungerader Primteiler einer der drei Faktoren ist, dann ist p auch Primteiler von y, also kommt er in gerader Potenz auf der linken Seite der Gleichung vor. Da die anderen beiden Faktoren den Primteiler p nicht haben, muss p in gerader Potenz in diesem einen Faktor vorkommen.
Damit treten bei allen drei Faktoren die ungeraden Primteiler nur in gerader Potenz auf, und genau das bedeutet die nachfolgende Aussage.
> > Alle drei haben also die Form
> > [mm]x = 2^{k_1} x_1^2[/mm], [mm]x+1 = 2^{k_2} x_2^2[/mm], [mm]x^2+x+2 = 2^{k_3} x_3^2[/mm]
> > mit [mm]k_1,k_2,k_3\geq0[/mm] und ganzen Zahlen [mm]x_1,x_2,x_3[/mm].
Gruss,
SirJective
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Hallo Hanno,
> Hat denn wirklich keiner eine Idee?
wir haben viele Ideen, aber keine davon hat uns bisher zu einer Lösung gebracht
Gruss,
SirJective
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![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]"){kind=small}
