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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 17:38 Do 16.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Gruezzi an alle 
Man finde zu jedem nichtnegativen, ganzen k alle nichtnegativen, ganzen Zahlen x,y,z, die die Gleiuchung
[mm] $x^2+y^2+z^2=8^k$ [/mm] erfüllen.
Ich finde sie recht hart, ich habe schon 2 Stunden rumgerechnet, und komme nur zu einem (eigenltich recht hübschen) Zwischenergebnis, von welchem
aus ich aber nicht mehr weiter weiß :-(
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:14 Do 16.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho.
Jan und Ich haben die Aufgabe soeben gelöst, wenn also jemand wirklich nicht mehr weiter kommt, dann kann er das hier gerne sagen
und Jan oder Ich werden fröhlich Tips verteilen
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:22 Do 16.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Stefan.
Untersuche die linke Seite mal auf ihre Teilbarkeit durch 4, da kannst du schon ne Menge draus lesen.
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:05 Do 16.09.2004 | | Autor: | Teletubyyy |
hi hanno
ich hab die Aufgabe noch nicht gelöst, hab allerdings bezüglich der Teilbarkeit durch 4 auf der linken Seite etwas herausgefunden.(kann aber damit nicht auf die Lösung schließen)
Es gilt [mm] k^2 \equiv 1 mod 8[/mm] wenn k ungerade ist und [mm]k^2 \equiv 0mod4 [/mm] bzw. [mm]k^2 \equiv 0 \vee 4 mod8 [/mm] wenn k gerade ist.
Beweis hierfür trivial.
[mm] x+y+z \equiv 0mod8 \Rightarrow x=2a;y=2b;z=2c |a;b;c \in N [/mm]
und hieraus folgt:
[mm]x^2+y^2+z^2=4a^2+4b^2+4c^2=4(a^2+b^2+c^2)=8^k[/mm]
Gruß Samuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:37 Fr 17.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno, lieber Samuel!
Ja, soweit war ich gestern auch schon, vor Hannos Tipp. Daher meinte ich ja, diese Kongruenz-Überlegungen hätten mich nicht entscheidend weitergebracht. (Denn ich weiß jetzt nichts weiter damit anzufangen...)
Wie geht es denn jetzt weiter, Hanno? Noch mal einen Tipp, bitte... 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 Fr 17.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Stefan und Tubby.
Da wir die Begründung der Teilbarkeit durch 4 dauerhaft anwenden können, folgt daraus, dass $x,y,z$ Zweierpotenzen sein müssen.
Es sind also die Lösungen für
[mm] $2^a+2^b+2^c=8^k$ [/mm]
zu finden.
---- EDIT ----
Oh, ich sehe gerade, dass mir dort eine Ungenauigkeit unterlaufen ist. Leider muss ich, um sie zu korrigieren, fast die gesamte Aufgabe lösen.
Wir waren bei der Darstellung
[mm] $4(a^2+b^2+c^2)=8^k$
[/mm]
Wenn $k$ ungerade ist, so ist [mm] $8^k$ [/mm] in der Form [mm] $2\cdot 4^{n}$, [/mm] sonst in der Form [mm] $4^{n}$ [/mm] darstellbar.
Wir dividieren nun durch 4 und dekrementieren rechts den Exponenten.
Links zieht nun wieder das gleiche Argeument wie vorher, denn wir können abermals die Teilbarkeit durch 4 zeigen.
Dies geht nun so weiter, bis es irgendwann ein Ende findet. Für dieses Ende gibt es einige Möglichkeiten, die prompt
zur Lösung führen.
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:08 Fr 17.09.2004 | | Autor: | Teletubyyy |
so, jetzt probier ich mal auf die Lösung zu schließen:
[mm]4(a^2+b^2+c^2)=8^k \gdw a^2+b^2+c^2=2*8^{k-1}[/mm]
wenn nun k>1 gilt: [mm]8|a^2+b^2+c^2 \Rightarrow a \equiv b \equiv c \equiv 0 mod 2 [/mm]
Das heißt nun:
[mm] x^2+y^2+z^2 =8^k \gdw 4^{k}(a_2^2+b_2^2+c_2^2)=8^k \gdw a_2^2+b_2^2+c_2^2=2^{k}
[/mm]
mit [mm] 2^3=8 [/mm] erhält man
[mm] x^2+y^2+z^2=8^k \gdw 4^{k+ \bruch {k- kmod3}{3}}(a_1^2+b_1^2+c_1^2)=8^k \gdw a_1^2+b_1^2+c_1^2=2^{kmod3}+2^{k+ \bruch {k- kmod3}{3}}
[/mm]
allgemein erhält man nun für ein [mm] k=3^n+m
[/mm]
[mm] x^2+y^2+z^2=4^{k+f(n)}(a_0^2+b_0^2+c_0^2)=8^k \gdw a_0^2+b_0^2+c_0^2= \summe_{i=1}^{n} f(i) [/mm]
mit [mm] f(1) =\bruch {k-kmod3}{3}[/mm] und [mm] f(j+1)=\bruch {f(j)-(f(j)mod3)}{3} [/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n} f(i) = q*1+p*2+s*4 = q*1+2+(p'+s)*4 [/mm]
Es gilt also nur noch die Lösungstripel (u;v;w) der Gleichung [mm] 3+4t=u^2+v^2+w^2 [/mm] zu finden und dann auf x y und z zuschließen mit [mm] x=\wurzel {u^2*4^{k+\bruch{t-3}{4})}}; y=\wurzel {v^2*4^{k+\bruch{t-3}{4}}}; z=\wurzel {w^2*4^{k+\bruch{t-3}{4})}} [/mm] einzusetzen.
und x,y,z auf ihre "Ganzzahligkeit" zu überprüfen.
... ich glaube ehrlich gesagt, dass ich komplett auf dem Holzweg bin.....
Gruß Samuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:28 Fr 17.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Samuel!
Also ich stutze ein wenig beim Durcharbeiten, z.B. beim Schritt:
Das heißt nun:
$ [mm] x^2+y^2+z^2 =8^k \gdw 4^{k}(a_2^2+b_2^2+c_2^2)=8^k \gdw a_2^2+b_2^2+c_2^2=2^{k} [/mm] $
Kannst du mir den ein wenig erläutern?
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:49 Fr 17.09.2004 | | Autor: | Teletubyyy |
hi Hanno
Wenn ich mir nochmal so anschau was ich da geschrieben habe, sehe ich ein, dass das schwer verständlich ist (Die meisten erläuterungen fehlen)
Zu deiner Frage:
Ich wiederhole im prinzip k mal den Schritt [mm]x^2+y^2+z^2=8^k \gdw 4(a^2+b^2+c^2)=8^k \gdw a^2+b^2+c^2=2*8^{(k-1)}[/mm]
Bei jedem Schritt wird rechts vom Gleichheitszeichen eine 8 zu einer 2 und links wird jeweils eine 4 ausgeklammert. Dies ist jedesmal mit dem gleichen Argument möglich, nämlich mit der Teilbarkeit durch 8, die bis zum k-ten Schritt gilt, da ich ja k-mal den Faktor 8 habe.
Im weiteren Beweis probiere ich dann, diesen Schritt weiter anzuwenden (nämlich indem ich jeweil [mm] 2^3 [/mm] zu einer 8 zusammenfasse und dann auch wiederum das Argument der Teilbarkeit durch 8 anwende)...
Ich hoffe, das dir das jetzt klarer geworden ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:05 Fr 17.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Samuel.
Ich versuceh mal, mich durch deine Idee weiterhin durchzubeißen, kann aber nicht's versprechen.
Kann da jetzt noch nicht viel zu sagen, außer, dass ich nicht wirklich glaube, dass sie zur Lösung führt,
ohne dich damit entmutigen zu wollen.
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:15 Fr 17.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi nochmals.
Ich stutze wieder.. :-(
$ [mm] x^2+y^2+z^2=8^k \gdw 4^{k+ \bruch {k- kmod3}{3}}(a_1^2+b_1^2+c_1^2)=8^k$
[/mm]
Müsste rechts nicht [mm] $2^{k\pmod{3}}\cdot 8^{\frac{k-(k\pmod{3})}{3}}$ [/mm] stehen? Schließlich willst du ja eine Zweier- in eine Achterpotenz umwandeln, und dazu benötigst du doch den Rest bei Division durch drei und natürlich auch den Quotienten, der bei Division von [mm] $k-k\pmod [/mm] {3}$ durch drei ansteht.
Hmm...
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:42 Fr 17.09.2004 | | Autor: | Teletubyyy |
Hi Hanno
[mm]x^2+y^2+z^2=8^k \gdw 4^{k+ \bruch {k- kmod3}{3}}(a_1^2+b_1^2+c_1^2)=8^k[/mm]
In diesem Schritt mache ich erstmal nur auf der linken Seite etwas und zwar ausklammern von [mm] 4^{\bruch{k-kmod3}{3}}, [/mm] was erlaubt ist, da ich mindestens 3mal [mm] \bruch{k-kmod3}{3} [/mm] 2er in [mm] 2^k [/mm] habe und somit auch [mm] \bruch{k-kmod3}{3} [/mm] mal die 4 ausklammern darf.
Gruß Samuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:58 Fr 17.09.2004 | | Autor: | Teletubyyy |
Habe gerade einen Fehler bei mir entdeckt *ups*:
Der Term muss wie folgt heißen:
[mm] a_1^2+b_1^2+c_1^2=2^{k(mod3)}+2^{\bruch{k- k mod3}{3}}
[/mm]
entsprechend muss bei [mm] a_0 b_0 c_0 [/mm] zu f(n) k nicht dazugezählt werden
Gruß Samuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:11 Fr 17.09.2004 | | Autor: | Teletubyyy |
Sorry SCHREIBFEHLER
Das muss wie folgt lauten: [mm] \summe_{i=1}^n 2^{f(n)} [/mm]
anstatt
[mm] \summe_{i=1}^n f(n) [/mm]
Gruß Samuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:28 Fr 17.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Hanno, Tubby und Stefan und andere Interessierte
> Gruezzi an alle
Schön! Das ist ja schon fast akzentfrei!
Ich würde vielleicht das "z" nicht verdoppeln! Evtl etwa so: Grüäzi , wobei die Betonung ganz auf dem "ü" sein muss, aber doch ziemlich kurz gesprochen werden muss; das "ä" nur angetönt, das heisst unbetont, ganz schwach, aber doch nicht verschlucken!
>
> Man finde zu jedem nichtnegativen, ganzen k alle
> nichtnegativen, ganzen Zahlen x,y,z, die die Gleiuchung
> [mm]x^2+y^2+z^2=8^k[/mm] erfüllen.
>
Ich will da auch mal eine kleine Idee einbringen, vielleicht hilft sie ja etwas.
Wie ihr ja schon herausgefunden habt, müssen die 3 Zahlen $x, y$ und $z$ alle gerade sein, ausser im Falle von $k=0$, was dann trivial wird.
Für $k>0$ habe ich mal folgendes überlegt:
OBdA darf angenommen werden: [mm] $x\le y\le [/mm] z$
Somit ist es möglich, [mm] $y^{2}=x^{2}+m$ [/mm] und [mm] $z^{2}=x^{2}+n$ [/mm] zu substituieren, wobei $m$ und $n$ gerade sein müssen.
Dann lässt sich die Gleichung so schreiben:
[mm] $x^{2}(3+m+n)=8^{k}$
[/mm]
Weil ja sowohl $m$ als auch $n$ gerade und [mm] $\ge [/mm] 0$ sein müssen und das Produkt linkerhand ja nur die $2$ als Primfaktoren haben kann (wegen [mm] $8^{k} [/mm] = [mm] 2^{3k}$, [/mm] müsste $m+n=-2$ gelten, falls $x>0$ ist.
Das widerspricht aber der Voraussetzung [mm] $x\le y\le [/mm] z$!
Somit muss $x$ als kleinste Zahl $= 0$ sein!
Die Aufgabe reduziert sich jetzt zu
[mm] $y^{2}+z^{2}=8^k$
[/mm]
Auch hier kann oBdA angenommen werden, dass gilt: [mm] $y^{2} \le z^{2}$.
[/mm]
Somit kann das ganze Spiel wieder in ähnlicher Manier vorgenommen werden.
...
...
...
...
...
Da will ich mal nicht mehr weiterfahren, ich denke, ihr kommt jetzt selber, mit diesem Ansatz, auf ein fruchtbares Ergebnis?
Hoffentlich habe ich nicht zu viel verraten!
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:46 Fr 17.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Stefan
>
> Irgendwie verstehe ich deine Ansätze zum Teil nicht.
> ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
>
> > Wie ihr ja schon herausgefunden habt, müssen die 3 Zahlen
>
> > [mm]x, y[/mm] und [mm]z[/mm] alle gerade sein, ausser im Falle von [mm]k=0[/mm], was
>
> > dann trivial wird.
>
> ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> > Für [mm]k>0[/mm] habe ich mal folgendes überlegt:
> >
> > OBdA darf angenommen werden: [mm]x\le y\le z[/mm]
> >
> > Somit ist es möglich, [mm]y^{2}=x^{2}+m[/mm] und [mm]z^{2}=x^{2}+n[/mm] zu
>
> > substituieren, wobei [mm]m[/mm] und [mm]n[/mm] gerade sein müssen.
> >
> > Dann lässt sich die Gleichung so schreiben:
> >
> > [mm]x^{2}(3+m+n)=8^{k}[/mm]
>
> Kann es sich da um einen Flüchtigkeitsfehler von dir
> handeln oder habe ich (kurzes Selbstporträt: ![[konfus]](/images/smileys/konfus.gif "[konfus]") )
> Tomaten auf den Augen?
>
> Muss es nicht:
>
> [mm]3x^2 +m+n=8^k[/mm]
>
> heißen?
Nein, ich sollte langsam an meinem Verstand zweifeln, deiner ist schon ok!
Entschuldigt bitte meinen Unsinn, den ich da wieder geschrieben habe! Ich habs so im Halbschlaf, auf dem bett liegend, überlegt und bin dann gleich zum Computer gestürmt, bevor ichs wieder vergesse. Aber eben: Tagträume sich scheinbar nicht immer realitätsnah. Das ganze kam ja möglicherweise auch nur zu Stande, weil ich mich durch ein Paar Beispiele inspirieren liess, wo immer eine $0$ enthalten ist:
$0+4+4=8$
$0+0+64=64$
$0+256+256=512$
... und davon noch die Permutationen.
Aber: ich bleibe dran!!
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:08 Sa 18.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Stefan
> Lieber Paul!
>
> Kein Problem, selbst du darfst mal einen
> Flüchtigkeitsfehler machen. (Auf meine Quote kommst du
> so schnell nicht. )
>
Na, ich weiss nicht!
> Auf jeden Fall unterstützen deine Beispiele meine Lösung.
> Und du hast recht: Die kleinste Zahl ist trotzdem immer
> eine [mm]0[/mm].
>
Ja, das habe ich inzwischen sogar nachgewiesen. Soll ich zeigen wie? Aehnlich wie Teletubbi!
Nachdem ja nachgewiesen worden ist, dass alle drei Zahlen gerade sein müssen, habe ich sie also so geschrieben:
[mm] $x=2^{a}r$
[/mm]
[mm] $y=2^{b}s$
[/mm]
[mm] $z=2^{c}t$
[/mm]
wobei $r$, $s$ und $t$ ungerade sind.
Somit:
$ [mm] 2^{2a}r^{2}+2^{2b}s^{2}+2^{2c}t^{2}=2^{3k}$
[/mm]
Sei $a [mm] \le [/mm] b [mm] \le [/mm] c$, dann gilt:
$ [mm] 2^{2a}(r^{2}+2^{2b-2a}s^{2}+2^{2c-2a}t^{2})=2^{3k}$
[/mm]
[mm] $r^{2}+2^{2b-2a}s^{2}+2^{2c-2a}t^{2}=2^{3k-2a}$
[/mm]
Das kann nur sein, wenn gilt:
$3k=2a [mm] \Rightarrow [/mm] (r=1 [mm] \wedge [/mm] s=0 [mm] \wedge [/mm] t=0)$
oder
$(3k > 2a) [mm] \wedge [/mm] (b>a) [mm] \Rightarrow [/mm] r=0$
oder
$(3k > 2a) [mm] \wedge [/mm] (b=a) [mm] \Rightarrow [/mm] r=0 [mm] \vee [/mm] s=0$
(Das letzte, weil in der Gleichung mit $b=a$ dann nochmals der Faktor $2$ ausgeklammert werden kann (aber nicht $4$) und wieder mit einer Fallunterscheidung:
$3k=2a+1$ oder $3k>2a+1$)
Hoffentlich stimmt das jetzt wenigstens einigermassen!
Ich denke, die Aufgabe ist ja von Teletubby ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]") jetzt gelöst, ich kann wieder ruhig weiterschlafen!
mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:18 Sa 18.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Paul!
Ja, ich hatte es ja auch mittlerweile gezeigt, wie du vielleicht schon gesehen hast.
Induktiv kann man nach Teletubbies Argumentation für gerades $k$ die Darstellung
[mm] $2^{3k} \cdot (a^2+ b^2 [/mm] + [mm] c^2) [/mm] = [mm] 2^{3k}$
[/mm]
und für ungerades $k$ die Darstellung
[mm] $2^{3k-1} \cdot (a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] + [mm] c^2) [/mm] = [mm] 2^{3k}$
[/mm]
mit nichtnegativen ganzen Zahlen $a,b,c$ zeigen.
Daraus folgt sofort die Behauptung, die in meiner Lösung formuliert ist.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:55 Fr 17.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Okay, sag mal, kann es sein, dass Teletubby die ganze Zeit die Aufgabe schon gelöst hatte und ich Depp nichts davon gemerkt habe?
Also, wenn man sein Verfahren immer weiterführt, kommt man am Schluss auf die zu lösenden Gleichungen
[mm] $a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] + [mm] c^2 [/mm] = 1$
oder
[mm] $a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] + [mm] c^2 [/mm] = 2$.
Und da die erste Gleichung nur von $(1,0,0)$ (und Permutationen davon) und die zweite Gleichung nur von $(1,1,0)$ (und Permutationen davon) gelöst wird, sind alle Lösungen durch
[mm] $(2^{\frac{3k}{2}},0,0)$ [/mm] (falls $k$ gerade ist)
und
[mm] $(2^{\frac{3k-1}{2}},2^{\frac{3k-1}{2}},0)$ [/mm] (falls $k$ ungerade ist)
(sowie jeweils Permutationen davon) gegeben, oder?
![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Stefan.
Deine Lösung ist komplett richtig
Gratuliere.
MfG
Jan
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![[saumuede]](/images/smileys/saumuede.gif "[saumuede]"){kind=small}
)
