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Ich verstehe das nicht! Die Frage lautet:"Kreuzen Sie die Aussagen, die für alle natürlichen Zahlen n richtig sind."
Eine von diesen Aussagen ist z.B.
[mm] 31|n^2\Rightarrow31|n
[/mm]
In diesem Fall trifft dies zu, also "Ja". Nur ich verstehe nicht wieso. Wenn wir für n die 2 einsetzen, erhalten wir 4 und 31 ist doch jetzt kein Teiler von 4. Dies soll bekanntlich für alle natürlichen Zahlen funktionieren, weshalb ich a|b[mm]\Rightarrow[/mm]a>b gewählt habe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 Mo 09.08.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo thongsong!
> Eine von diesen Aussagen ist z.B.
> [mm]31|n^2\Rightarrow31|n
[/mm]
> In diesem Fall trifft dies zu, also "Ja". Nur ich verstehe
> nicht wieso. Wenn wir für n die 2 einsetzen, erhalten wir 4
> und 31 ist doch jetzt kein Teiler von 4. Dies soll
> bekanntlich für alle natürlichen Zahlen funktionieren,
> weshalb ich a|b[mm]\Rightarrow[/mm]a>b gewählt habe
>
Erst einmal zur Definition der Schreibweise: a|b bedeutet, dass a b teilt, also dass eine ganze Zahl c existiert mit a*c = b. Hier geht es also nicht darum, ob [mm] n^{2} [/mm] die Zahl 31 teilt, wenn n die 31 teilt, sondern genau umgekehrt: Zu zeigen ist, dass aus der Aussage
"Die Zahl 31 teilt das Quadrat einer natürlichen Zahl [mm] (n^{2})"
[/mm]
die folgende Aussage folgt:
"Die Zahl 31 teilt die natürliche Zahl n"
Analog zur deinem obigen Einwand kann man jetzt sagen, dass 31 doch 25 = [mm] 5^{2} [/mm] nicht teilt und damit die Aussage nicht für alle n zutrifft. Es ist aber gar nicht die Aufgabe, zu zeigen, dann 31 das Quadrat jeder natürlichen Zahl teilt, denn diese "Implikation":
[mm] 31|n^{2} \Rightarrow [/mm] 31|n
ist immer wahr, wenn die Aussage [mm] 31|n^{2} [/mm] falsch ist oder wenn sie stimmt und 31|n auch stimmt, und sie ist nur falsch, wenn [mm] 31|n^{2} [/mm] falsch ist und 31|n stimmt.
Nun zum Beweis:
Da 31 eine Primzahl ist, kann sie in der Primfaktorzerlegung von [mm] n^{2} [/mm] nur mit gerade Potenz auftreten (sonst wäre n nicht natürlich). Wenn sie [mm] n^{2} [/mm] teilt, dann gilt [mm] n^{2} [/mm] = [mm] 31^{2k}*a^{2}, [/mm] a,k sind natürliche Zahlen. Dann gilt aber: n = [mm] 31^{k}*a [/mm] und somit teilt 31 die Zahl n.
Gruß Clemens
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:39 Mo 09.08.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Clemens, hallo thongsong
ich glaube, in Clemens' Antwort noch einen kleinen Schusselfehler entdeckt zu haben.
Clemens schreibt:
> [mm]31|n^{2} \Rightarrow 31|n[/mm]
> ist immer wahr, wenn die Aussage [mm]31|n^{2}[/mm] falsch ist oder
> wenn sie stimmt und 31|n auch stimmt, und sie ist nur
> falsch, wenn [mm]31|n^{2}[/mm] falsch ist und 31|n stimmt.
>
Das sollte meiner Meinung nach so heissen:
[mm] $31|n^{2} \Rightarrow [/mm] 31|n$
ist immer wahr, wenn die Aussage [mm] $31|n^{2}$ [/mm] falsch ist oder
wenn sie stimmt und $31|n$ auch stimmt, und sie ist nur
falsch, wenn [mm] $31|n^{2}$ [/mm] stimmt und $31|n$ falsch ist.
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:33 Di 10.08.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo Paul!
Vielen Dank für die Verbesserung!
Gruß Clemens
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Also ich habe da noch eine Frage: Wie muss ich bei dieser Implikation denken? :
[mm] 28|n^2\Rightarrow28|n
[/mm]
[mm] 4|n^4\Rightarrow16|n^3
[/mm]
[mm] 9|n^3\Rightarrow81|n^4
[/mm]
Wäre nett, wenn mir jemand eine konkrete Antwort schreiben könnte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:19 Mo 30.08.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo thonghong!
Arbeite am besten mit Primfaktorzerlegungen:
> [mm]28|n^2\Rightarrow28|n[/mm]
Es gilt: [mm] $28=2^2\cdot [/mm] 7$.
Das heißt, $n$ muss mindestens die beiden Primzahlen $2$ und $7$ in der Primfaktorzerlegung enthalten, und -da [mm] $n^2$ [/mm] eine Quadratzahl ist - mindestens mit Vielfachheit $2$.
Also probieren wir doch mal das "kleinstmögliche" [mm] $n^2$ [/mm] aus und hoffen, dass es ein Gegenbeispiel liefert. Und in der Tat: Setzen wir [mm] $n^2 [/mm] = [mm] 2^2 \cdot 7^2$, [/mm] so folgt:
$n=2 [mm] \cdot [/mm] 7 = 14$, und es gilt:
$28 [mm] \, \vert \, [/mm] 196$, aber $28 [mm] \, \not\vert\, [/mm] 14$.
> [mm]4|n^4\Rightarrow16|n^3
[/mm]
Hier das gleiche Spiel. Das "kleinstmögliche" [mm] $n^4$ [/mm] ist, da $2$ in der Primfaktorzerlegung von [mm] $n^4$ [/mm] mit (minimaler) Vielfachheit $4$ vorkommen muss, gerade [mm] $n^4=2^4=16$.
[/mm]
Und es gilt mit $n=2$:
$4 [mm] \, \vert\, [/mm] 16$, aber [mm] $16\, \not\vert \, [/mm] 8$.
> [mm]9|n^3\Rightarrow81|n^4[/mm]
Dies gilt dagegen immer.
Da für jede Primzahl $p$
$p [mm] \, \vert \, [/mm] (a [mm] \cdot [/mm] b) [mm] \quad \Rightarrow \quad [/mm] [p [mm] \, \vert\, [/mm] a [mm] \quad \mbox{oder} \quad [/mm] p [mm] \, \vert\, [/mm] b]$
gilt, kann man induktiv
$p [mm] \, \vert\, a^n \quad \Rightarrow \quad p\, \vert\,a$
[/mm]
für jede ganze Zahl $a$ und jede natürliche Zahl $n$ folgern.
Nun zum Beweis der Behauptung:
Aus $9 [mm] \, \vert\, n^3$ [/mm] schließen wir zunächst auf [mm] $3\, \vert\, n^3$, [/mm] und dann mit der gerade gemachten Aussage auf
$3 [mm] \, \vert\, [/mm] n$.
Daraus folgt:
[mm] $3^4 \, \vert\, n^4$.
[/mm]
also:
[mm] $81\, \vert\, n^4$.
[/mm]
Alles klar? Wenn nicht, dann frage bitte nach. 
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:24 Di 31.08.2004 | | Autor: | thongsong |
Vielen Dank Julius!
Du hast es einfach und präzise erklärt. Also wenn ich das richtig verstanden habe, dann müsste es beispielsweise bei dieser Implikation
[mm] 33|n^2=>33|n
[/mm]
folgendermaßen aussehen:
n muss in diesem Fall die beiden Primfaktoren 3 und 11 enthalten und dann noch (bei [mm] n^2) [/mm] mit Vielfachkeit 2. Also erhalten wir 1089. So folgt für n=3*11. Durch ausprobieren erhalten wir 33|1089=>33|33, was natürlich wahr ist. Ich denke mal, dass das so richtig ist
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