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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 So 06.01.2013 | | Autor: | Lalalong |
| Aufgabe | Auf jede der sechs Seitenflächen eines Würfels wird eine positive ganze Zahl geschrieben. Anschließend wird für jede der acht Ecken das Produkt aus den drei Zahlen auf den Seitenflächen berechnet, die an die Ecke stoßen. Die Summe der Produkte ist 1002.
Zeige: Die Summe der sechs Seitenzahlen hat immer den gleichen Wert.
Gib eine mögliche Beschriftung des Würfels an. |
Hallo.
Ich scheitere leider an dieser Aufgabe. Hoffentlich kann mir weiter geholfen werden.
Ich bin so vorgegangen:
Ich habe mir einen standart Würfel genommen und habe ihn gedanklich in zwei Teile geteilt. Die sechs war auf der oberen Seite und die eins auf der unteren Seite.
Nun bildete ich so die Produkte:
6 * 3 * 2 = 36
6 * 2 * 4 = 48
6 * 4 * 5 = 120
6 * 5 * 3 = 90 294
------ + 49
294 ------------
343
1 * 3 * 5 =15
1 * 5 * 4 = 20 1002
1 * 4 * 2 = 8 - 343
1 * 2 * 3 = 6 ------------
658
-----
49
Nun weiß ich, dass bei einem normalen Würfel 343 die Summe der Produkte ist und, dass mir noch 658 zur 1002 fehlen.
Als nächstes ermittelte ich die Auswirkung, wenn ich eine Zahl auf dem Würfel um eins erhöhe.
Dabei stellte sich heraus, dass ich egal welche Zahl (1 - 6) wähle und um eins erhöhe, dass sich die Summe der Produkte insgesamt um 49 erhöht.
Nun erhöhte ich jede Zahl um 1:
7 * 4 * 3 = 84
7 * 3 * 5 = 105
7 * 5 * 6 = 210
7 * 6 * 4 = 168
----------
567
2 * 4 * 6 = 48
2 * 6 * 5 = 60
2 * 5 * 3 = 30
2 * 3 * 4 = 24
-----------
162
567
+162
-------------
729
1002
- 729
-----------
272
Nun hatte ich das Problem, dass 272 nicht durch 49 teilbar ist.
(Eigentlich konnte ich mir den letzten schritt sparen.)
Jetzt kam ich auf die Idee, dass der Würfel aus den gleichen Zahlen besteht.
Ich ver suchte es als erstes nur mit der fünf.
Dazu nahm ich 5 hoch 3 und mal 8. Das Ergebnis war 1000.
Als nächstes nahm ich drei sechsen und drei vieren. Das Ergebnis war wiederrum 100.
Nun viel mir auf, dass der Durchschnitt von 4 und 6 5 ist und so suchteich nach dem passenden Durchschnitt.
Dies führte mich zu nichts.
Ihr seht, das sind die Gedanken eines Indioten. 
Ich bin sicher irgendwo der Lösung nah gekommen, aber ich weiß nicht wo.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich freue mich auf Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 So 06.01.2013 | | Autor: | leduart |
hallo
ich habe esnicht durchgerechnet, aber wuerde anders daran gehen, bezeichne die seiten mit a,b,c
die jeweils gegenueber liegenden mit a',b',c'
dann bilde die Eckenprodukte und ihre Summe
schriebe sie als a*(...)+a"*(...)=1002
ueberlege welche zahlen fuer die Klammern in Frage kommen.
schreibe die wieder als b*(---)+b"*(---)
dann bist du der ersten aufgabe schon nahe.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 So 06.01.2013 | | Autor: | Lalalong |
Kannst du es noch etwas genauer formulieren?
Weiterhelfen tut es mir noch nicht.
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Hallo nochmal,
ich habe leduarts Hinweis in meiner Antwort (siehe weiter unten) recht detailliert ausgeführt. Das sollte Dir weiterhelfen.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:21 So 06.01.2013 | | Autor: | Lalalong |
Danke, so ist es sehr verständlich.
Nun klingt es für mich ganz einfach. :D
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Hallo Lalalong,
so idiotisch ist das nicht, aber Dein Weg führt nicht zum Ziel.
Ich würde wie leduart die Zahlen auf allen 6 Seiten durch Variablen ersetzen. Dabei ist es manchmal hilfreich, geschickte Bezeichnungen zu finden. Stell Dir den Würfel vor Dir liegend vor, so dass Du geradeaus auf eine Seite blickst. Dann hast Du also eine Seite vorn, hinten, oben, unten, links und rechts. Hiervon nehmen wir mal die Anfangsbuchstaben: [mm] v,h,o,u,\ell,r.
[/mm]
Wenn Du jetzt den Würfel von Dir weg oder zu Dir hin rollst, bleiben die linke und die rechte Fläche auch weiter links und rechts. Die Kante, die direkt vor Dir oben am Würfel liegt, wird aber jedesmal von anderen Flächen gebildet. Links und rechts gibt es eine Ecke. In der "Grundstellung" sind das die Ecken (vol)="vorne oben links" und (vor)="vorne oben rechts". Und da die Buchstaben ja auch den "Wert" der jeweiligen Seite darstellen, können wir (vol) und (vor) auch gleich als Produkte werten.
Dann ist noch (vol)+(vor)=vo*(l+r).
Wenn Du den Würfel nun wie beschrieben rollst, bekommst Du nacheinander alle Ecken zu Gesicht. Die Summe aller Eckenprodukte ist dann
$s=vo(l+r)+oh(l+r)+hu(l+r)+uv(l+r)=(vo+oh+hu+uv)(l+r)=(o(v+h)+u(v+h))(l+r)=(o+u)(v+h)(l+r)$
Nun ist aber $s=1002$ gegeben. Was ist das für eine Zahl? Sie ist durch 2 und 3 teilbar, das ist ein guter Anfang für eine Zerlegung in Faktoren:
$s=1002=2*3*167$, und man stellt fest: 167 ist nicht weiter zerlegbar.
Die Summe der 8 Eckenprodukte ist nun leicht (auf verschiedene Weisen) darstellbar. Möglich sind
$s=2*3*167$
$s=1*2*501$
$s=1*3*334$
$s=1*6*167$
$s=1*1*1002$
Die Aufgabe setzt aber ungesagt voraus, dass auf einer Würfelseite keine Null stehen kann. Darum kommt nur die erste Möglichkeit in Betracht.
Eine mögliche Beschriftung wäre also so, dass
$o+u=2$
$v+h=3$ und
[mm] \ell+r=167
[/mm]
erfüllt sind.
Alle anderen möglichen Beschriftungen sind Drehungen und/oder Spiegelungen davon.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 So 06.01.2013 | | Autor: | Lalalong |
Ich bin mir nicht so sicher, aber laut dieser Antwort ist die Summe der Produkte 8016 und nicht 1002.
Es wurde aber gesagt, dass die Summe der Produkte 1002 beträgt, oder irre ich mich nicht?
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Hallo nochmal,
wie kommst Du denn auf 8016?
> Ich bin mir nicht so sicher, aber laut dieser Antwort ist
> die Summe der Produkte 8016 und nicht 1002.
> Es wurde aber gesagt, dass die Summe der Produkte 1002
> beträgt, oder irre ich mich nicht?
So war die Aufgabenstellung, und genau die liegt meinem Lösungsansatz zugrunde. Alle acht "Eckenprodukte" werden addiert, die Summe beträgt 1002.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 So 06.01.2013 | | Autor: | Lalalong |
Danke, doch multipliziert man die drei Seitenflächen um einen beliebigen Eckpunkt erhält man als Ergebnis 1002, doch dies ist das Produkt und nicht die Summe der Produkte. Nun muss man 8 mal (8 Eckpunkte) 1002 rechnen und das ist 8016.
Oder lese ich die Aufgabe falsch?
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Hallo nochmal,
> Danke, doch multipliziert man die drei Seitenflächen um
> einen beliebigen Eckpunkt erhält man als Ergebnis 1002,
> doch dies ist das Produkt und nicht die Summe der Produkte.
> Nun muss man 8 mal (8 Eckpunkte) 1002 rechnen und das ist
> 8016.
> Oder lese ich die Aufgabe falsch?
Du liest die Aufgabe vollkommen richtig.
Meine Antwort aber liest du falsch.
Ein Würfel mit den Seiten 1(oben), 1(unten), 1(vorn), 2(hinten), 71(links) und 96(rechts) erfüllt alles, was in meiner Antwort vorkommt und löst die Aufgabe. Rechne es nach.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Mo 07.01.2013 | | Autor: | Lalalong |
Sorry, aber es scheint so, als könnte ich nicht durchblicken. :-(
Deinen Text verstehe ich, aber die beiden Beispiele sind (meiner Meinung nach) nicht zutreffend.
Beispiel 1:
Zitat:
Eine mögliche Beschriftung wäre also so, dass
o+u=2
v+h=3 und
$ [mm] \ell+r=167 [/mm] $
erfüllt sind.
Bei mir beträgt die Summe der Produkte 8016
Beispiel2:
Zitat:
Ein Würfel mit den Seiten 1(oben), 1(unten), 1(vorn), 2(hinten), 71(links) und 96(rechts) erfüllt alles, was in meiner Antwort vorkommt und löst die Aufgabe. Rechne es nach.
Die Summe der Produkte beträgt 977 bei mir.
Ich habe mir die Mühe gemacht und alles nachgebaut und ausgerechnet, aber dies ist und bleibt bei mir das Ergebnis.
Irre ich mich?
Eine andere Beschriftungsmöglichkeit wäre nett.
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Hallo nochmal,
> Sorry, aber es scheint so, als könnte ich nicht
> durchblicken. :-(
> Deinen Text verstehe ich, aber die beiden Beispiele sind
> (meiner Meinung nach) nicht zutreffend.
>
> Beispiel 1:
>
> Zitat:
> Eine mögliche Beschriftung wäre also so, dass
> o+u=2
> v+h=3 und
> [mm]\ell+r=167[/mm]
> erfüllt sind.
>
>
> Bei mir beträgt die Summe der Produkte 8016
Welcher Produkte? Hast Du eine Beschriftung der Seiten ausgesucht? Oder hast Du es allgemein gerechnet? Ich komme nach wie vor auf die geforderten 1002.
> Beispiel2:
>
> Zitat:
> Ein Würfel mit den Seiten 1(oben), 1(unten), 1(vorn),
> 2(hinten), 71(links) und 96(rechts) erfüllt alles, was in
> meiner Antwort vorkommt und löst die Aufgabe. Rechne es
> nach.
>
> Die Summe der Produkte beträgt 977 bei mir.
Da hast Du Dich verrechnet. Rechne doch mal vor, wie Du auf diese Summe kommst.
> Ich habe mir die Mühe gemacht und alles nachgebaut und
> ausgerechnet, aber dies ist und bleibt bei mir das
> Ergebnis.
> Irre ich mich?
Bei einem normalen Würfel (z.B. o=1, u=6, v=2, h=5, l=3, r=4) beträgt die Summe der Eckenprodukte:
$s=ovl+ovr+ohl+ohr+uvl+uvr+uhl+uhr=1*2*3+1*2*4+1*5*3+1*5*4+6*2*3+6*2*4+6*5*3+6*5*4=$
$=6+8+15+20+36+48+90+120=343=(1+6)*(2+5)*(3+4)$
> Eine andere Beschriftungsmöglichkeit wäre nett.
Na, dann such Dir eine aus. Aus Symmetriegründen bleiben vier Seiten sowieso immer gleich: oben 1, unten 1, vorn 1, hinten 2.
Die beiden Seiten links und rechts müssen zusammen 167 ergeben.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Mo 07.01.2013 | | Autor: | Lalalong |
Danke, jetzt habe ich dich verstanden.
bei U + O = 2 sollte ich unten und oben die Zahlen so wählen, dass sie die Summe 2 haben.
Nun die letzten Fragen:
Zitat:
(vol)+(vor)=vo*(l+r).
Nennt man dieses Vorgehen das Distributivgesetz?
Ich wähle jetzt die 1000:
Zuerst ersetzen wir die Zahlen, auf den sechs Seiten, des Würfels durch Variabeln.
Oben: o
Vorne: v
Hinten: h
Unten: u
Rechts: r
Links: l
Links und recht, aus der Grundstellung, gibt es zwei Ecken. Die Eine bezeichnen wir als vor (oben, vorne, rechts) und die Andere als vol (vorne, oben, links). Da die Variabeln auch Werte darstellen können, nehmen wir sie als Produkt.
Daraus können wir laut dem Distributivgesetzt (hoffentlich richt) schließen:
vor + vol = vo*(l+r)
So gehen wir auch bei den anderen Ecken vor.
Nun kennen wir:
vor
vol
vur
vul
hur
hul
hor
hol
vor +vol = vo*(r+l)
vur + vul = vu*(r+l)
hor + hol = ho*(r+l)
hur + hur = hu*(r+l)
Nun bezeichnen wir die Zahl 1000 als s.
Wir wissen:
s = vo*(r+l) + vu*(r+l) + ho*(r+l) + hu*(r+l)
Nun zerlegen wir die Zahl 1000 in die kleinste Faktoren:
1000 = 2 * 500 = 2 * 2 * 250 = 2 * 2 * 5 * 50 = 2 * 2 * 5 * 2 * 25 =
2 * 2 * 5 * 2 * 5 * 5
Die Summe der Eckprodukte ist nun auf sehr vielen Weisen zu bestimmen:
2 * 2 * 250
2 * 500 * 1
...
(Was ist mit den Möglichkeiten, die aus über drei Ziffern bestehen?)
Ich wähle die 2 * 2 * 250.
Eine mögliche Beschriftung ist:
O + U = 2 (z.B. 1 u. 1)
V + H = 2 (z,B, 1 u. 1(Es geht auch nichts anderes ))
L + R = 250 (z.B. 125 u. 125; 249 und 1 etc.)
Andere Möglichkeiten sind Drehungen und/oder Spiegelungen.
Ist es soweit richtig?
Wie kann ich es Begründen(Wieso funktioniert dies?)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Mo 07.01.2013 | | Autor: | Lalalong |
Heißt Begründe deine Antwort, dass ich meine Vorgehensweise Begründen soll oder auch das "Wieso es so ist"?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Mo 07.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du gibst das Verfahren an, wie du auf die Zahlen kommst, das ist die Begruendung.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 Mo 07.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
wieso ploetzlich 1000 statt 1002?
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Mo 07.01.2013 | | Autor: | Lalalong |
Ich habe die Vorgehensweise verstanden und möchte damt testen, ob ich alles richtig mache.
Nur bleiben mir noch ein paar Fragen offen, die in meiner Vorgehensweise verankert sind.
Kannst du sie beantworten?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:24 Mo 07.01.2013 | | Autor: | Lalalong |
Meine Frage bezieht sich auf:
Zitat:
(vol)+(vor)=vo*(l+r).
Nennt man dieses Vorgehen das Distributivgesetz anwenden?
Wie kann ich die folgende echnun begründen? (Die anderen Fragen sind in der Rechnung "verankert".):
Ich wähle jetzt die 1000:
Zuerst ersetzen wir die Zahlen, auf den sechs Seiten, des Würfels durch Variabeln.
Oben: o
Vorne: v
Hinten: h
Unten: u
Rechts: r
Links: l
Links und recht, aus der Grundstellung, gibt es zwei Ecken. Die Eine bezeichnen wir als vor (oben, vorne, rechts) und die Andere als vol (vorne, oben, links). Da die Variabeln auch Werte darstellen können, nehmen wir sie als Produkt.
Daraus können wir laut dem Distributivgesetzt (hoffentlich richt) schließen:
vor + vol = vo*(l+r)
So gehen wir auch bei den anderen Ecken vor.
Nun kennen wir:
vor
vol
vur
vul
hur
hul
hor
hol
vor +vol = vo*(r+l)
vur + vul = vu*(r+l)
hor + hol = ho*(r+l)
hur + hur = hu*(r+l)
Nun bezeichnen wir die Zahl 1000 als s.
Wir wissen:
s = vo*(r+l) + vu*(r+l) + ho*(r+l) + hu*(r+l)
Nun zerlegen wir die Zahl 1000 in die kleinste Faktoren:
1000 = 2 * 500 = 2 * 2 * 250 = 2 * 2 * 5 * 50 = 2 * 2 * 5 * 2 * 25 =
2 * 2 * 5 * 2 * 5 * 5
Die Summe der Eckprodukte ist nun auf sehr vielen Weisen zu bestimmen:
2 * 2 * 250
2 * 500 * 1
...
(Was ist mit den Möglichkeiten, die aus über drei Ziffern bestehen?)
Ich wähle die 2 * 2 * 250.
Eine mögliche Beschriftung ist:
O + U = 2 (z.B. 1 u. 1)
V + H = 2 (z,B, 1 u. 1(Es geht auch nichts anderes ))
L + R = 250 (z.B. 125 u. 125; 249 und 1 etc.)
Andere Möglichkeiten sind Drehungen und/oder Spiegelungen.
Ist es soweit richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:57 Mo 07.01.2013 | | Autor: | leduart |
>
> Nun die letzten Fragen:
> Zitat:
> (vol)+(vor)=vo*(l+r).
>
> Nennt man dieses Vorgehen das Distributivgesetz?
ich wuerde es ausklammern nennen und ja, du benutst das Distributivgesetz
> Ich wähle jetzt die 1000:
> Zuerst ersetzen wir die Zahlen, auf den sechs Seiten, des
> Würfels durch Variabeln.
>
> Oben: o
> Vorne: v
> Hinten: h
> Unten: u
> Rechts: r
> Links: l
>
> Links und recht, aus der Grundstellung, gibt es zwei Ecken.
> Die Eine bezeichnen wir als vor (oben, vorne, rechts) und
> die Andere als vol (vorne, oben, links). Da die Variabeln
> auch Werte darstellen können, nehmen wir sie als Produkt.
> Daraus können wir laut dem Distributivgesetzt
> (hoffentlich richt) schließen:
ich wurde nicht die ecken so bezeichnen, sondern von den 8 Produkten an den Ecken reden, also
statt vor v*o*r
dann wird auch der Rest klarer
> vor + vol = vo*(l+r)
besser v*o*r+v*o*l=v*o*(l+r)
> So gehen wir auch bei den anderen Ecken vor.
> ( Nun kennen wir:
>
> vor
> vol
> vur
> vul
> hur
> hul
> hor
> hol)
das weglassen! das darunter mit mal Zeichen
> vor +vol = vo*(r+l)
> vur + vul = vu*(r+l)
> hor + hol = ho*(r+l)
> hur + hur = hu*(r+l)
>
> Nun bezeichnen wir die Zahl 1000 als s.
>
> Wir wissen:
> s = vo*(r+l) + vu*(r+l) + ho*(r+l) + hu*(r+l)
>
also s=(r+l)*(v(o+u)+h*(o+u)=(r+l)*(o+u)*(h+l)
s besteht also aus 3 Faktoren, jewils die Summe 2er gegenueberliegenden seiten.
jetzt zerlege ich s in 3 Faktoren (bei 1002 gibt es nur 3)
die Suume 2er entgegengesetzter Seiten, egal wie aufgeteilt, ist damit bekannt.
ich waehle z.B wegen 1002=2*3*167
v+1,h+1 o=2 u+1 r+67 l=100
mit den 1000 hast du noch mehr Auswahl!
gruss leduart
dann deine Wahl.
> Nun zerlegen wir die Zahl 1000 in die kleinste Faktoren:
> 1000 = 2 * 500 = 2 * 2 * 250 = 2 * 2 * 5 * 50 = 2 * 2 * 5
> * 2 * 25 =
> 2 * 2 * 5 * 2 * 5 * 5
>
> Die Summe der Eckprodukte ist nun auf sehr vielen Weisen zu
> bestimmen:
schlecht formuliert, weil darunter ja keine summen stehen
> 2 * 2 * 250
> 2 * 500 * 1
> ...
> (Was ist mit den Möglichkeiten, die aus über drei
> Ziffern bestehen?)
versteh ich nicht
> Ich wähle die 2 * 2 * 250.
>
> Eine mögliche Beschriftung ist:
> O + U = 2 (z.B. 1 u. 1)
> V + H = 2 (z,B, 1 u. 1(Es geht auch nichts anderes ))
> L + R = 250 (z.B. 125 u. 125; 249 und 1 etc.)
>
> Andere Möglichkeiten sind Drehungen und/oder
> Spiegelungen.
>
> Ist es soweit richtig?
> Wie kann ich es Begründen(Wieso funktioniert dies?)
siehe oben, damit ist es begruendet.
gruss leduart
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> Die Aufgabe setzt aber ungesagt ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") voraus, dass auf einer
> Würfelseite keine Null stehen kann. Darum kommt nur die
> erste Möglichkeit in Betracht.
ungesagt vorausgesetzt ?
Naja, es wurde aber immerhin gesagt, dass es sich um
positive ganze Zahlen handeln solle - und da gehört ja
die Null eben nicht dazu ...
LG, Al
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