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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:29 So 28.11.2004 | | Autor: | Magnia |
Hallo ich habe die Aufgabe f(x)=x³-12x²+36x
zu zeichnen!
Meine Frage ist ob man es sich da einfach machen kann ?
Ich meine zb. besagen doch die 2 und 3 Ableitung Wendepunkt und Sattelpunk ?
Wenn ich die Ableitungen gebildet habe :
f''(x)=6x - 24
und
f'''(x)=6
Doch wie gehe ich dann damit um um es möglichst unkompliziert ohne große Wertetabelle machen zu können ?
Danke :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:51 So 28.11.2004 | | Autor: | Oliver |
Hallo Magnia,
Ich glaube, das gerät bei Dir leider einiges durcheinander:
> Meine Frage ist ob man es sich da einfach machen kann ?
> Ich meine zb. besagen doch die 2 und 3 Ableitung
> Wendepunkt und Sattelpunk ?
Nullstellen der 1. Ableitung in Verbindung mit dem Vorzeichen der zweiten Ableitung dienen der Bestimmung von Extrem-/Sattelpunkten.
Nullstellen der 2. Ableitung dienen der Bestimmung der Wendepunkte.
Das solltest Du auf alle Fälle machen, zusätzlich noch die Nullstellen Deiner ursprünglichen Funktion ermitteln.
Und um eine Wertetabelle für einige x-Werte kommst Du auch nicht herum, damit Du abschätzen kannst, wie sich die Funktion zwischen den Extremstellen/Sattelpunkten/Nullstellen/Wendepunkten verhält.
Der Satz mit der Wertetabelle war etwas schlecht formuliert: Du musst natürlich keine Wertetabelle erstellen, allerdings mache ich persönlich das immer, um
a) die Funktion möglichst genau zeichnen zu können
b) gleichzeitig eine Kontrollinstanz zu haben, falls ich mich bei den Wendepunkten/Extremstellen verrechnet haben sollte.
> Wenn ich die Ableitungen gebildet habe :
> f''(x)=6x - 24
> und
> f'''(x)=6
Korrekt :)
Verschieb's aber lieber auf morgen, jetzt ist es zu spät dafür :)
Gut's Nächtle
Oliver
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:05 So 28.11.2004 | | Autor: | MacMath |
Ich würde keine werte berechnen, dafür aber noch die Grenzwerte gegen
+/- unendlich und gegen eventuelle Definitionslücken!
Man liest sich
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:59 So 28.11.2004 | | Autor: | Disap |
> Und um eine Wertetabelle für einige x-Werte kommst Du auch
> nicht herum, damit Du abschätzen kannst, wie sich die
> Funktion zwischen den
> Extremstellen/Sattelpunkten/Nullstellen/Wendepunkten
> verhält.
Das ist nur bedingt richtig. Denn wenn man eine vollständige Kurvendiskussion gemacht hat, hat man alle Extremstellen/Wendepunkte. Diese müssen doch einfach nur verbunden werden, denn man hat ja schon alle "besonderen" Punkte ermittelt. Was ich damit sagen möchte, zwischen den Extremstellen wird die Kurve keinen neuen Schwenker machen("damit Du abschätzen kannst, wie sich die Funktion zwischen den Extremstellen... verhält.").
Ich beziehe mich hierbei auf reele Zahlen.
Um eine genaue Kurve zu zeichnen, hast du natürlich Recht, aber in den Klausuren ist so etwas ja nicht gefordert.
f(x) = [mm] x^{3} [/mm] - 12 [mm] x^{2} [/mm] + 36x
Hierbei empfiehlt es sich natürlich für die Nullstellen das x auszuklammern
(man kann sich das Leben nämlich auch einfach machen).
Achja, ich habe deine Antwort nicht als fehlerhaft gekennzeichnet.
Grüße Disap
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Da dies eine ganzrationale Funktion ist git es keine Definitionslücken.
Bei der Symmetrie kannst dus dir auch einfach machen : Da sowohl gerade als auch ungerade Exponenten zu x auftreten hat der Graph von f keine Symmetrieeigenschaft. Das läßt aer nicht jeder Lehrer durchgehen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 So 28.11.2004 | | Autor: | Magnia |
Hallo
also wenn die zweite ABleitung den Wendepunkt beschreibt wäre ja von
f(x)= x³-12x²+36x
f``(x)= 6x-24
wenn ich die nun = 0 setze
erhallte ich x = 4 raus
das würde also bedeuten das der Wendepunkt bei 4 ist
und f``(x) größer 4 linkskrümmung
und f ``(x) kleiner 4 rechtskrümmung
nach meiner angefertigten Zeichnung habe ich aber noch einen solchen Wendepunkt bei -4 müsste ja eingentlich hinkommen ?
nur wie rechnerisch ?
Wie bestimme ich nun den Sattelpunkt ?
Irgend wie scheint es mir der Zeichnung nach der dieser bei P (0/0) liegt aber wie rechnerisch ?
Nullstellen habe ich dann noch bei 6 und -6 und bei 0 (Sattelpunkt) ?
Wie hätte ich die rausbekommen rechnerisch ?
bei der gleichung f(x)= x³-12x²+36x
wäre ja dumm eine Polynomdivision durchzuführen ?
habe ausgeklammert x(x-6)² also = 6 doch wie noch bei der -6 ?
Ach so wie ging es nochmal hochpunkte auszurechnen ?
danke gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 So 28.11.2004 | | Autor: | Disap |
> Hallo
> also wenn die zweite ABleitung den Wendepunkt beschreibt
> wäre ja von
> f(x)= x³-12x²+36x
> f''(x)= 6x-24
>
> wenn ich die nun = 0 setze
> erhallte ich x = 4 raus
> das würde also bedeuten das der Wendepunkt bei 4 ist
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und f''(x) größer 4 linkskrümmung
> und f ''(x) kleiner 4 rechtskrümmung
>
davon habe ich noch nie etwas gehört!
> nach meiner angefertigten Zeichnung habe ich aber noch
> einen solchen Wendepunkt bei -4 müsste ja eingentlich
> hinkommen ?
> nur wie rechnerisch ?
>
> Wie bestimme ich nun den Sattelpunkt ?
> Irgend wie scheint es mir der Zeichnung nach der dieser
> bei P (0/0) liegt aber wie rechnerisch ?
> f(x)= x³-12x²+36x
Also diese Funktion hat keinen Sattelpunkt und der Wendepunkt ist bei +4 und nicht bei -4
Wie du schon richtig erkannt hast, wird der Wendepunkt durch f''(x)=0 bestimmt
[mm] x_{w}=4
[/mm]
d.h. dass bei x=4 zumindest ein Wendepunkt ist.
Um zu prüfen, ob es ein Sattelpunkt ist
f'''( [mm] x_{w}) \not= [/mm] 0 heißt, dass man einen Wendepunkt hat
f'''(x) = 6 , von daher ist es ein Wendepunkt
> Nullstellen habe ich dann noch bei 6 und -6 und bei 0
> (Sattelpunkt) ?
Das wir jetzt keinen Sattelpunkt haben, dürfte geklärt sein.
Auch bei den Nullstellen hast du dich vertan!
f(x)= x³-12x²+36x
Hierbei sieht man sofort, dass man wunderbar ausklammern kann
f(x) = x ( x² - 12x + 36)
Wenn man für das X Nulleinsetzt, hat man Null, denn Null * Irgendetwas ist Null. Das nennt sich Satz vom Nullprodukt.
[mm] x_{1}=0
[/mm]
Jetzt interessiert nur noch die Klammer
x² - 12x + 36 = 0
Pq-Formel und man kommt auf
[mm] x_{2} [/mm] = +6
> Wie hätte ich die rausbekommen rechnerisch ?
> bei der gleichung f(x)= x³-12x²+36x
> wäre ja dumm eine Polynomdivision durchzuführen ?
> habe ausgeklammert x(x-6)² also = 6 doch wie noch bei der
> -6 ?
Wow, viel zu kompliziert gemacht! Setzen wir mal -6 ein
dann hat man -6 (-6-6)² => -6 (-12)²
Daraus wird nicht Null!
> Ach so wie ging es nochmal hochpunkte auszurechnen ?
> danke gruß
f'( [mm] x_{E}) [/mm] = 0
f''( [mm] x_{E} [/mm] > 0 Tiefpunkt
f''( [mm] x_{E} [/mm] < 0 Hochpunkt
f''( [mm] x_{E} [/mm] = 0 Hinweis auf einen Sattelpunkt
Noch einmal zur Erinnerung: Sattelpunkt = Wendepunkt mit der Steigung Null, das heißt, ein Wendepunkt, auf dem ein Extremum liegt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 So 28.11.2004 | | Autor: | Magnia |
Hallo ich bin nun ein bisschen verwirrt und versuche es jetzt nochmal nachzuvollziehen :
Also
Wenn ich die 2. Ableitung = 0 Setze erhallte ich einen Wendepunkt !
Um zu gucken ob ein Sattelpunkt existiert muss die 3. Ableitung = 0 sein
ist sie ungleich 0 hat man einen weiteren Sattelpunkt !
Nullstellenbetrachtung ist mir klar ! Auslammern und gucken wann es 0 ergibt !
Nun zu den Hochpunkten und Tiefpunkten
nach meiner Zeichnung müsste ein Hochpunkt bei 2 sein und Tiefpunkt bei 6!
Was meinst du nur mit
f''( $ [mm] x_{E} [/mm] $ > 0 Tiefpunkt
f''( $ [mm] x_{E} [/mm] $ < 0 Hochpunkt
Was ist das E ?
Nun haben wir alles im Positiven bereich betrachtet
Ich habe aber auch einen Verlauf im negativen bereich (3. Quadranten )
der genauso verläuft wie im 1. nur um 180 Grad gedreht sprich
hochpunkt bei -6 ûnd tiefpunkt bei -2
Es sieht mir auch so aus als ob ein Wendepunkt bei -4 sei !
Sorry aber es scheint mir so ich kann es nicht rechnerisch begründen aber Zeichnerisch schon !
Und bei deiner Betrachtung gehst du ja auch nur vom Positiven Bereich aus aber der Graph verläuft doch noch weiter ????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 So 28.11.2004 | | Autor: | Disap |
> Hallo ich bin nun ein bisschen verwirrt und versuche es
> jetzt nochmal nachzuvollziehen :
>
> Also
> Wenn ich die 2. Ableitung = 0 Setze erhallte ich einen
> Wendepunkt !
> Um zu gucken ob ein Sattelpunkt existiert muss die 3.
> Ableitung = 0 sein
> ist sie ungleich 0 hat man einen weiteren Sattelpunkt !
Nicht ganz, ist sie ungleich Null, hat man einen Wendepunkt
> Nullstellenbetrachtung ist mir klar ! Auslammern und gucken
> wann es 0 ergibt !
f(x)= x³-12x²+36x
> Nun zu den Hochpunkten und Tiefpunkten
> nach meiner Zeichnung müsste ein Hochpunkt bei 2 sein und
> Tiefpunkt bei 6!
> Was meinst du nur mit
> f''( [mm]x_{E}[/mm] > 0 Tiefpunkt
> f''( [mm]x_{E}[/mm] < 0 Hochpunkt
>
> Was ist das E ?
>
Das ist der Wert, den man durch f'(x) = 0 herausbekommt, also den X-Wert des Extremums,
um aber zu prüfen, ob man ein Extremum hat (der sich unterteilt als Hochpunkt und Tiefpunkt), muss man den ermittelten X-Wert in die zweite Ableitung einsetzen.
Ermitteln wir mal die Extrema gemeinsam:
f'(x) = 3x²-24x+36
0 = 3x² - 24x+36 | geteilt durch 3
0=x² - 8x+ 12 | pq
[mm] x_{1,2}= [/mm] 4 [mm] \pm \wurzel{16-12}
[/mm]
[mm] x_{1}=6
[/mm]
[mm] x_{2}=2
[/mm]
(das habe ich als XE bezeichnet)
diese beiden WErte in die zweite Ableitung
f''(6)=36-24 | das ist größer Null also im Punkt (6|?) hat man einen Hochpunkt
f''(2)= 12-24 | -12 < 0 , also hat man einen Tiefpunkt
> Nun haben wir alles im Positiven bereich betrachtet
>
> Ich habe aber auch einen Verlauf im negativen bereich (3.
> Quadranten )
> der genauso verläuft wie im 1. nur um 180 Grad gedreht
> sprich
> hochpunkt bei -6 ûnd tiefpunkt bei -2
> Es sieht mir auch so aus als ob ein Wendepunkt bei -4 sei
> !
> Sorry aber es scheint mir so ich kann es nicht rechnerisch
> begründen aber Zeichnerisch schon !
Das ist falsch, denn es liegt hier keine Symmetrie vor:
Achsensymmetrie bei nur geraden Exponenten
Punktsymmetrie bei nur ungeraden Exponenten.
In der Funktion haben wir ja alles gemischt, also kann das gar nicht um 180° gedreht sein
> Und bei deiner Betrachtung gehst du ja auch nur vom
> Positiven Bereich aus aber der Graph verläuft doch noch
> weiter ????
Der Hauptteil der Funktion, das Besondere spielt sich im positiven Bereich ab. Dass der Graph von unten links kommt ist einfach zu erklären, und zwar über das Unendlichkeitsverhalten
[mm] \limes_{x\rightarrow\-infty}= [/mm] - [mm] \infty
[/mm]
Man kann die Funktion nicht einfach aus den Ärmeln rausschütteln und die Funktion so zeichnen...
Ich fasse zusammen: keine Symmetrie, deswegen ist dein "negativer" Bereich falsch!
Ausserdem kann eine Funktion dritten Grades nicht mehr als 3Extrema haben, weil im allgemeinen kann man sagen
[mm] x^{n} [/mm] = n ist die Anzahl der Nullstellen
Wenn man eine Funktion einmal ableitet, sind die Nullstellen die Extrema
Im unseren Fall ist das irgendetwas mit [mm] x^{2}, [/mm] d.h. es gibt maximal 2 Extrema (Nullstellen).
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