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| Aufgabe | Hi,
Zeigen Sie, dass
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{3^{k+1}}{(4 + 1/k)^k}
[/mm]
konvergiert und geben Sie eine obere Schranke an |
Ok zuerst die Konvergenz
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{3^{k+1}}{(4 + 1/k)^k} \ge \bruch{3^{k}}{(4 + 1/k)^k}
[/mm]
Jetzt wäre mit dem Wurzelkriterium rangegangen.
[mm] \wurzel[k]{\bruch{3^{k}}{(4 + 1/k)^k}} [/mm] = [mm] \bruch{3}{(4 + \underbrace{1/k}_{=0})} [/mm] = [mm] \bruch{3}{4 } [/mm] <1 Somit Konvergent
Aber nun weis ich nicht ganz wie ich eine oberer Schranke definieren soll. Eventuell mit dem Vergleichskriterium.
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{3^{k+1}}{(4 + 1/k)^k} \le \bruch{3^{k+1}}{(4 + k)^k} \le \bruch{3^{k+1}}{(4k + k)^k} [/mm] = [mm] \bruch{3^{k}3}{(5^k k^k} [/mm] = [mm] \bruch{9}{5k^k}
[/mm]
Und nun das Wurzelkriterium angewendet auf
[mm] \wurzel[k]{\bruch{9}{5k^k}}= \bruch{\wurzel[k]{9}}{\wurzel[k]{5}k}
[/mm]
Und da k [mm] \rightarrow \infty [/mm] ist dies doch <1 und somit Konvergent. Aber wie komme ich zuroberen Grenze?
Danke euch:)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:50 Mi 14.03.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
> Aber wie komme ich zuroberen Grenze?
$ [mm] \bruch{3^{k+1}}{(4 + 1/k)^k} [/mm] < [mm] \bruch{3^{k+1}}{4 ^k}$ [/mm] ...
vg Luis
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> Moin,
>
> > Aber wie komme ich zuroberen Grenze?
>
> [mm]\bruch{3^{k+1}}{(4 + 1/k)^k} < \bruch{3^{k+1}}{4 ^k} = \bruch{9}{4 } [/mm]
Also wäre eine obere Grenze 9/4?
PS: stimmt den mein Wurzelkriterium?
>
> vg Luis
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 Mi 14.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Steffen!
> > [mm]\bruch{3^{k+1}}{(4 + 1/k)^k} < \bruch{3^{k+1}}{4 ^k} = \bruch{9}{4 }[/mm]
>
> Also wäre eine obere Grenze 9/4?
Wie kommst Du auf diese Gleichheit? Das stimmt nicht.
Als obere Grenze kannst Du nun die Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3^{k+1}}{4^k} \ = \ 3*\summe_{k=1}^{\infty}\left(\bruch{3}{4}\right)^k[/mm] verwenden (geometrische Reihe, aber aufgepasst mit dem ersten Summand!).
> PS: stimmt den mein Wurzelkriterium?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Nein, denn das solltest Du schon auf den Ausgangsterm anwenden und nicht etwas abgeschätztes.
Gruß
Loddar
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> Als obere Grenze kannst Du nun die Reihe
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3^{k+1}}{4^k} \ = \ 3*\summe_{k=1}^{\infty}\left(\bruch{3}{4}\right)^k[/mm]
> verwenden (geometrische Reihe, aber aufgepasst mit dem
> ersten Summand!).
Ok, dann muss ich also
[mm] \lim_{k \to \infty} \frac{a_0}{1-q}, [/mm]
[mm] a_0 [/mm] ist doch 1 als mein erstes Summenglied
und q ist doch [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
Eingesetz ergibt sich
[mm] \frac{1}{\bruch{1}{4}} [/mm] = 4
Dies noch multipizieren mit 3 ergibt 4*3 = 12 als Grenzwert.
>
>
> > PS: stimmt den mein Wurzelkriterium?
>
> Nein, denn das solltest Du schon auf den
> Ausgangsterm anwenden und nicht etwas abgeschätztes.
>
Gesagt getan:
[mm] \bruch{3*\sqrt[k]{3}}{(4 + 1/k)} [/mm] = [mm] \bruch{3}{4+\underbrace{1/k}_{=0}} [/mm] * [mm] \bruch{\sqrt[k]{3}}{1} [/mm] = [mm] \bruch{3}{4} [/mm] * [mm] \bruch{\overbrace{3^{\bruch{1}{k}}}^{=1}}{1} [/mm] = 3/4
>
Stimmt es nun?
Danke :)
> Gruß
> Loddar
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Mi 14.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> >
> > Als obere Grenze kannst Du nun die Reihe
> > [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3^{k+1}}{4^k} \ = \ 3*\summe_{k=1}^{\infty}\left(\bruch{3}{4}\right)^k[/mm]
> > verwenden (geometrische Reihe, aber aufgepasst mit dem
> > ersten Summand!).
>
> Ok, dann muss ich also
>
> [mm]\lim_{k \to \infty} \frac{a_0}{1-q},[/mm]
>
> [mm]a_0[/mm] ist doch 1 als mein erstes Summenglied
>
> und q ist doch [mm]\bruch{3}{4}[/mm]
>
> Eingesetz ergibt sich
>
> [mm]\frac{1}{\bruch{1}{4}}[/mm] = 4
>
> Dies noch multipizieren mit 3 ergibt 4*3 = 12 als
> Grenzwert.
Das stimmt nicht ! Für |q|<1 ist
[mm] \summe_{k=0}^{ \infty}q^k= \bruch{1}{1-q}.
[/mm]
Bei Dir aber beginnt die Reihe mit k=1, also [mm] \summe_{k=1}^{ \infty}q^k.
[/mm]
Es ist
[mm] \summe_{k=1}^{ \infty}q^k= \summe_{k=0}^{ \infty}q^k-1
[/mm]
>
>
> >
> >
> > > PS: stimmt den mein Wurzelkriterium?
> >
> > Nein, denn das solltest Du schon auf den
> > Ausgangsterm anwenden und nicht etwas abgeschätztes.
> >
>
> Gesagt getan:
> [mm]\bruch{3*\sqrt[k]{3}}{(4 + 1/k)}[/mm] =
> [mm]\bruch{3}{4+\underbrace{1/k}_{=0}}[/mm] * [mm]\bruch{\sqrt[k]{3}}{1}[/mm]
> = [mm]\bruch{3}{4}[/mm] *
> [mm]\bruch{\overbrace{3^{\bruch{1}{k}}}^{=1}}{1}[/mm] = 3/4
Das ist abenteuerlich !!
[mm]\bruch{3*\sqrt[k]{3}}{(4 + 1/k)}[/mm] [mm] \to [/mm] 3/4
FRED
>
> >
>
> Stimmt es nun?
>
> Danke :)
>
>
> > Gruß
> > Loddar
> >
>
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> > >
> > > Als obere Grenze kannst Du nun die Reihe
> > > [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3^{k+1}}{4^k} \ = \ 3*\summe_{k=1}^{\infty}\left(\bruch{3}{4}\right)^k[/mm]
> > > verwenden (geometrische Reihe, aber aufgepasst mit dem
> > > ersten Summand!).
> >
> > Ok, dann muss ich also
> >
> > [mm]\lim_{k \to \infty} \frac{a_0}{1-q},[/mm]
> >
> > [mm]a_0[/mm] ist doch 1 als mein erstes Summenglied
> >
> > und q ist doch [mm]\bruch{3}{4}[/mm]
> >
> > Eingesetz ergibt sich
> >
> > [mm]\frac{1}{\bruch{1}{4}}[/mm] = 4
> >
> > Dies noch multipizieren mit 3 ergibt 4*3 = 12 als
> > Grenzwert.
>
> Das stimmt nicht ! Für |q|<1 ist
>
> [mm]\summe_{k=0}^{ \infty}q^k= \bruch{1}{1-q}.[/mm]
>
> Bei Dir aber beginnt die Reihe mit k=1, also
> [mm]\summe_{k=1}^{ \infty}q^k.[/mm]
>
> Es ist
>
> [mm]\summe_{k=1}^{ \infty}q^k= \summe_{k=0}^{ \infty}q^k-1[/mm]
>
>
Würde dann auch stimmen:
[mm] \summe_{k=1}^{ \infty}q^k= \summe_{k=0}^{ \infty}q^k-1
[/mm]
= [mm] \summe_{k=1}^{ \infty}q^k=\bruch{1}{1-q} [/mm] -1
Also angewandt auf mein Beispiel:
3 * [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] -1
???
mfg
> >
> >
> > >
> > >
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Hallo Steffen,
zitiere doch bitte mit etwas mehr Bedacht, so ist es sehr unübersichtlich. Unnötiges kannst du doch weglöschen ...
> > Bei Dir aber beginnt die Reihe mit k=1, also
> > [mm]\summe_{k=1}^{ \infty}q^k.[/mm]
> >
> > Es ist
> >
> > [mm]\summe_{k=1}^{ \infty}q^k= \summe_{k=0}^{ \infty}q^k-1[/mm]
> >
>
> >
>
>
> Würde dann auch stimmen:
>
>
> [mm]\summe_{k=1}^{ \infty}q^k= \summe_{k=0}^{ \infty}q^k-1[/mm]
>
> = [mm]\summe_{k=1}^{ \infty}q^k=\bruch{1}{1-q}[/mm] -1
Ja, für [mm]|q|<1[/mm]
>
> Also angewandt auf mein Beispiel:
>
> 3 * [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm] -1
Na, was ist mit Klammern?
Richtig: [mm]3\cdot{}\left(\frac{1}{1-q}-1\right)[/mm]
Mit deinem [mm]q=\frac{3}{4}[/mm] kannst du das dann noch konkreter ausrechnen ...
>
>
> ???
> mfg
>
Gruß
schachuzipus
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>
> Richtig: [mm]3\cdot{}\left(\frac{1}{1-q}-1\right)[/mm]
>
> Mit deinem [mm]q=\frac{3}{4}[/mm] kannst du das dann noch konkreter
> ausrechnen ...
>
[mm] 3\cdot{}\left(\frac{1}{1-q}-1\right)
[/mm]
q einsetzen:
[mm] 3\cdot{}\left(\frac{1}{1-3/4}-1\right) [/mm] = 3* 4/1 = 12
Fazit um eine obere Schranke einer Reihe zu erhalten, versuche ich auf eine geometrische Reihe zu kommen und setze dann ich die Formel ( $ [mm] \summe_{k=0}^{ \infty}q^k= \bruch{1}{1-q}. [/mm] $) ein und rechne mir den Grenzwert aus
Ist das so korrekt?
mfg
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Hallo nochmal,
> >
> > Richtig: [mm]3\cdot{}\left(\frac{1}{1-q}-1\right)[/mm]
> >
> > Mit deinem [mm]q=\frac{3}{4}[/mm] kannst du das dann noch konkreter
> > ausrechnen ...
> >
>
> [mm]3\cdot{}\left(\frac{1}{1-q}-1\right)[/mm]
>
> q einsetzen:
>
> [mm]3\cdot{}\left(\frac{1}{1-3/4}-1\right)[/mm] = 3* 4/1 ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
akute Konzentrationsschwäche 
Päuschen und frische Luft tanken?! - schadet nie ...
> = 12
Nä!
>
>
> Fazit um eine obere Schranke einer Reihe zu erhalten,
> versuche ich auf eine geometrische Reihe zu kommen und
> setze dann ich die Formel ( [mm]\summe_{k=0}^{ \infty}q^k= \bruch{1}{1-q}. [/mm])
> ein und rechne mir den Grenzwert aus
>
> Ist das so korrekt?
Ja, hier passt das gerade mit der geometr. Reihe, aber das ist kein allgemein- und immer tauglicher Weg.
Du musst halt für eine obere Schranke eine "größere" Reihe finden (wie auch immer), deren Grenzwert man so kennt (oder leicht berechnen kann)
Analoges gilt für eine untere Schranke ...
>
>
> mfg
>
>
Gruß
schachuzipus
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> Hallo nochmal,
>
>
> > >
> > > Richtig: [mm]3\cdot{}\left(\frac{1}{1-q}-1\right)[/mm]
> > >
> > > Mit deinem [mm]q=\frac{3}{4}[/mm] kannst du das dann noch konkreter
> > > ausrechnen ...
> > >
> >
> > [mm]3\cdot{}\left(\frac{1}{1-q}-1\right)[/mm]
> >
> > q einsetzen:
> >
> > [mm]3\cdot{}\left(\frac{1}{1-3/4}-1\right)[/mm] = 3* 4/1
>
> akute Konzentrationsschwäche
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> Päuschen und frische Luft tanken?! - schadet nie ...
>
> > = 12
>
> Nä!
Ach ja... ich mach ne Pause :)
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> > Fazit um eine obere Schranke einer Reihe zu erhalten,
> > versuche ich auf eine geometrische Reihe zu kommen und
> > setze dann ich die Formel ( [mm]\summe_{k=0}^{ \infty}q^k= \bruch{1}{1-q}. [/mm])
> > ein und rechne mir den Grenzwert aus
> >
> > Ist das so korrekt?
>
>
> Ja, hier passt das gerade mit der geometr. Reihe, aber das
> ist kein allgemein- und immer tauglicher Weg.
>
> Du musst halt für eine obere Schranke eine "größere"
> Reihe finden (wie auch immer), deren Grenzwert man so kennt
> (oder leicht berechnen kann)
>
> Analoges gilt für eine untere Schranke ...
Alles klar danke :)
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> > mfg
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>
> Gruß
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> schachuzipus
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