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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:56 Fr 23.09.2011 | | Autor: | GK13 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass jeder normierte Vektorraum auch ein metrischer Raum ist, indem sie nachweisen, dass durch
d(x,y) := ||x-y|| x,y [mm] \in [/mm] V
eine Metrik auf V definiert wird. |
Hey!
Die Aufgabe habe ich zum Teil schon gelöst, aber M3 macht mir Probleme, die Dreiecksungleichung.
Ich fange an mit
||x-y|| + ||y-z|| [mm] \ge [/mm] ||x-z||
Darf ich einfach
||x-y+y-z|| = ||x-z|| setzen?
Im Prinzip ist ja keine bestimmte Norm angegeben,
allerdings würde es mit der Euklidischen Norm z.B. so nicht funktionieren (oder habe ich mich da verrechnet?)
Was also kann ich sonst tun?
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Hallo GK13,
> Zeigen Sie, dass jeder normierte Vektorraum auch ein
> metrischer Raum ist, indem sie nachweisen, dass durch
> d(x,y) := ||x-y|| x,y [mm]\in[/mm] V
> eine Metrik auf V definiert wird.
> Hey!
> Die Aufgabe habe ich zum Teil schon gelöst, aber M3 macht
> mir Probleme, die Dreiecksungleichung.
>
> Ich fange an mit
> ||x-y|| + ||y-z|| [mm]\ge[/mm] ||x-z||
> Darf ich einfach
> ||x-y+y-z|| = ||x-z|| setzen?
Ja, genau das ist der richtige Ansatz!
> Im Prinzip ist ja keine bestimmte Norm angegeben,
> allerdings würde es mit der Euklidischen Norm z.B. so
> nicht funktionieren (oder habe ich mich da verrechnet?)
Setze wie geplant an, dann nutze, dass für die Norm [mm]||\bullet||[/mm] die Dreiecksungl. gilt, also
[mm]d(x,z)=||x-z||=||x-y+y-z||=||\red{(x-y)}+\blue{(y-z)}|| \ \le ||\red{x-y}|| \ + \ ||\blue{y-z}|| \ = \ d(x,y)+d(y,z)[/mm]
Gruß
schachuzipus
> Was also kann ich sonst tun?
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