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Zeige, dass b ein Skalarpodukt: Aufgabe 1
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 00:41 Sa 25.11.2006
Autor: bounded

Aufgabe
Sei A eine reelle n×n-Matrix und [mm] b_{A} [/mm] die zugehörige Bilinearform. Zeige, dass [mm] b_{A} [/mm] genau dann Skalarprodukt ist, wenn es eine Matrix S∈GL(n,ℝ) mit
A= ^{t}S⋅S
gibt.

Hier habe ich die Aufgabe mal als Bilddatei hochgeladen, so dass man die Aufgabe auch vernünftig lesen kann:

http://www.pic-upload.de/view_24.11.06/nm7miq.JPG.html

Hallo,

mit dieser Aufgabe komme ich nicht zurecht, falls jemand eine Lösung für mich hat, würde mir das sehr viel bringen:

Vielen Dank im Vorraus, Dycke

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/98172,0.html?sid=02d498cda9e8bccf97a42eadf2aa0260

        
Bezug
Zeige, dass b ein Skalarpodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:46 Di 28.11.2006
Autor: angela.h.b.


> Sei A eine reelle n×n-Matrix und [mm]b_{A}[/mm] die zugehörige
> Bilinearform. Zeige, dass [mm]b_{A}[/mm] genau dann Skalarprodukt
> ist, wenn es eine Matrix S∈GL(n,ℝ) mit
>  A= ^{t}S⋅S
>  gibt.

>  
> mit dieser Aufgabe komme ich nicht zurecht, falls jemand
> eine Lösung für mich hat, würde mir das sehr viel bringen:

Hallo,

die Rückrichtung ist  recht einfach.

Hier ist ja nur zu zeigen, daß x^tAy=y^tAx gilt, was man durch Spiel mit den Tansponierten bekommt, und daß
für x [mm] \not=0 [/mm]  x^tAx>0 ist.

Für "==>" ist mir noch nichts eingefallen.
In welchem "Umfeld" taucht die Aufgabe auf, was ist gerade dran?

Gruß v. Angela

Bezug
        
Bezug
Zeige, dass b ein Skalarpodukt: info
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:17 Mi 29.11.2006
Autor: bounded

hi angela, vielen danke erstmal.

bisher sieht meine lösung so aus:
aufgabe:
Sei A eine reelle n [mm] \times [/mm] n-Matrix und [mm] b_{A} [/mm] die zugehörige Bilinearform. Zeige, dass [mm] b_{A} [/mm] genau dann Skalarprodukt ist, wenn es eine Matrix S∈GL(n,ℝ) mit
A= ^{t}S⋅S
    gibt.
Antwort:
    Rückrichtung:    
Zu zeigen:   ∃ S   ,sodass   A= ^{t}S⋅S
    
    [mm] b_{A} [/mm]   symmetrisch:

[mm] x^{t}Ay=y^{t}Ax [/mm]

    
[mm] b_{A} [/mm]   positiv definit:

x≠0


[mm] x^{t}Ax>0 [/mm]


Hinrichtung: ???

--------------

was meinst du, passt das so bisher? hast du noch eine idee zur hinrichtung?
ich befinde mich in der einer "Lineare Algebra 2" Vorlesung und wir hatten schon Skalare und dann Dualräume ; orthogonalität und zuletzt selbstadjungierte Endomorphismen.
aber ich bin nicht auf dem Laufenden, ich muss mich in den Winterferien auf den aktuellen Stand bringen.

unser tutor hat uns als tipps gegeben, wo mit ich allerdings nicht sehr viel anfangen kann:
A symmetrisch => ∃ T∈GL(n,ℝ)      und irgendwie kann man da auch mit orthogonalität was machen.
außerdem:
[mm] T^{-1} [/mm] A T = [mm] \pmat{ lamda_1 & 0 \\ 0 & Lamda_n } [/mm]
und das stichwort selbstadjungierte endomorphismen.

Viele Grüße und Danke nochmal, Dycke

Bezug
        
Bezug
Zeige, dass b ein Skalarpodukt: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:21 Do 30.11.2006
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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