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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Zeige dim L_A >= n-m
Zeige dim L_A >= n-m < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Zeige dim L_A >= n-m: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:32 Do 02.12.2010
Autor: void.

Aufgabe
Sei B [mm] \in \IK^{mxn} [/mm] . Zeige dim [mm] L_B \ge [/mm] n - m

[mm] L_B [/mm] = { x [mm] \in \IK [/mm] | Bx = 0}


Hallo,

Es wurde gesagt, dass wir das per Induktion über m zeigen sollen.

aber ich hab keine Ahnung wie ich da ein IS ansetzten soll....

Für den IA hab ich:

1. Fall n<m

Beh ist in jedem Fall richtig da es keine dim < 0 gibt und dim [mm] L_B [/mm] somit immer > ist.

2. Fall n=m
Wie im ersten Fall ist dim [mm] L_B [/mm] mind 0 , womit die Beh auch hierfür gilt.

aber wie kann ich jetzt einen IS über m machen???? finde keinen Ansatz :/




danke schonmal im voraus


Gruß


        
Bezug
Zeige dim L_A >= n-m: Hinweis zur Induktion
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:56 Do 02.12.2010
Autor: weightgainer

Hi,
nach meinem Verständnis beinhaltet der Induktionsanfang die Untersuchung der Aussage für m = 1. Deine Fallunterscheidung ist mir in dem Zusammenhang nicht klar.
Wenn die Aussage dann für m = 1 gezeigt ist, kannst du sie für m als korrekt annehmen und die Aussage für m+1 auf die vorherige zurückführen.

Das ist zwar keine Lösung, aber vielleicht reicht dir das ja schon für ein paar gute Ideen.

*Ergänzung*
Ach, und [mm] L_B [/mm] kann eigentlich keine x [mm] \in \IK [/mm] enthalten, sondern eher x [mm] \in \IK^m, [/mm] oder sehe ich das falsch?

Gruß,
weightgainer

Bezug
        
Bezug
Zeige dim L_A >= n-m: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:31 Fr 03.12.2010
Autor: fred97

Das folgt doch alles aus dem Dimensionssatz:

       n= dim(kern(B))+ dim(Bild(B))

Somit:

       n= dim(kern(B))+ dim(Bild(B))  [mm] \le [/mm] dim(kern(B))+m

FRED

Bezug
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