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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Hi, habe hier eine Aufgabe und zwar ist die Gamma-Funktion definiert durch:
[mm] T:\IR^{+} \to \IR:\alpha \mapsto \integral_{0+0}^{+\infty}{e^{-t} t^{\alpha -1} dt}
[/mm]
dieses uneigentliche Integral konvergiert für alle [mm] \alpha>0 [/mm] .
Jetzt ist mit partieller Integration die Funktionalgleichung [mm] T(\alpha+1)=\alpha*T(\alpha) [/mm] zu zeigen!
Habs bereits versucht, aber irgendwie komme ich nicht mal am Anfang aufs gewollte! Vielleicht kann mir dies mal jemand veranschaulichen!
lg Surfer
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Guten Tach
Also du sollst zeigen das [mm] T(\alpha):= \alpha \rightarrow \integral_{0}^{\infty}t^{\alpha-1}e^{-t} [/mm] dt die Funktionalgleichung
[mm] $T(\alpha+1)=\alpha\cdot T(\alpha)$ [/mm] erfüllt.
Das geht schnell per partieller Integration: es ist
[mm] T(\alpha+1)=\integral_{0}^{\infty}t^{\alpha}e^{-t} [/mm] dt = [mm] $[-e^{-t}\cdot t^{\alpha}]_{0}^{\infty}$+\alpha\cdot \integral_{0}^{\infty}t^{\alpha-1}e^{-t}. [/mm] Der erste Summand geht gegen 0 also ist
[mm] T(\alpha+1)=\alpha\cdot \integral_{0}^{\infty}t^{\alpha-1}e^{-t}=\alpha\cdot T(\alpha)
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Ok das war logisch, wenn man sieht ist es einfacher als gedacht! Wenn ich jetzt T(1) berechnen soll, wo setzte ich dies dann am besten ein, in die Ausgangsgleichung oder in die Funktionalgleichung?
Und was sollte dort herauskommen?
lg Surfer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Kann das sein, wenn ich 1 in die Ausgangsgleichunh für [mm] \alpha [/mm] einsetze erhalte ich als Integriertes: [mm] [-e^{-t+1}] [/mm] von 0 bis [mm] \infty
[/mm]
und wenn ich die Schranken nun einsetze erhalte ich als Lösung e ?
stimmt das?
lg Surfer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo könnte bitte mal jemand mir das ergebnis bestätigen oder kontrollieren wo mein Fehler liegt, falls etwas falsch sein sollte?
wäre dafür sehr dankbar!
lg Surfer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:41 Do 12.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
Das stimmt so nicht, da Du die Stammfunktion von [mm] $e^{-t}$ [/mm] falsch bestimmt hast.
Hier wird nicht der Exponent erhöht oder erniedrigt, sondern nach der Regel [mm] $\integral{e^x \ dx} [/mm] \ = \ [mm] e^x+C$ [/mm] integriert.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 Do 12.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Ok du hast recht, dann würde ich ja für die Schranken -1 herausbekommen oder? da [mm] [e^{-\infty}+c] [/mm] - [mm] [e^{-0}+c] [/mm] = -1
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 Do 12.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
falsch! was ist das Integral von [mm] e^{-t}? [/mm] veifiziere durch Ableiten!
Du bist zuuu leichtsinnig. kontrolliere Integrale immer durch ableiten, dann vermeidest du so dumme Fehler!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Do 12.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Dann müsste [mm] [-e^{-t}+c] [/mm] stimmen und das gibt mit Schranken 1 dann!
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 Do 12.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
So stimmt es nun. Aber bei bestimmten Integralen kannst Du die Integrationskonstante $+ \ c$ auch weglassen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Do 12.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Dann komm ich zu einem weiteren Schritt der Aufgabe, hier geht es darum etwas herzuleiten! Und zwar heißt es:
Leiten Sie damit für [mm] n\in\IN [/mm] id eIndentität T(n+1) = n! her. Anschaulich bedeutet dies, dass die Gamma-Funktion eine Fortsetzung der Abbildung [mm] \IN\to\IN: n\mapston! [/mm] auf [mm] \IR^{+} [/mm] ist.
wie kann ich dies herleiten?
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 Do 12.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
einfach das anwenden was du hast: 1. T(1)=1
2. T(n+1)=n*T(n)
rechne T(2), T(3) aus, dann siehst du, wies läuft und machst vollst. Induktion.
Dass du ohne eigene Idee fragst ist schlecht für dich. ne Formel für n probiert man IMMER wenn einem nicht sofort ein Beweis einfällt für n=1,2,3 und sucht dann wie kamm ich denn eigentlich von 2 nach 3!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Do 12.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Kann es dann sei, dass ich für T(2) und T(3) auf folgende Integrationen komme:
T(2) = [mm] [-e^{-t}*t-e^{-t}] [/mm] und mit den schranke gibt das 1
T(3) = [mm] [-e^{-t}*t^{2}] [/mm] und das gibt mit den schranken 0
?
kann das sein?
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Do 12.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Benutz doch die eben bewiesene Funktionalgleichung!!!
deine Integrale hab ich nicht nachgeprüft, da sie das falsche ergebnis liefern müssen sie falsch sein!
Hast du meinen Rat befolgt, und sie nach dem Integrieren wieder differenziert? Nee!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Do 12.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Hi,
hmm ich habs versucht, aber komme irgendwie nicht drauf! Irgendwie ist mir immer noch schleierhaft, wie Vorgehen, kannst du mir vllt. sagen auf welches Ergebnis ich die zwei Integrale bringen muss, also was für T(2) und T(3) herauskommen sollte! Und was bringt mir die funktionalgleichung?
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Do 12.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
T(n+1)=n*T(n) setz mal da n=1 ein. danach n=2
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Do 12.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Ok dann hätte ich:
T(n+1) = n* T(n)
T(2) = 1*T(1)
T(3) = 2*T(2)
T(4) = 3*T(3)
.
.
T(n) = (n-1)*T(n-1)
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Do 12.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
was ist die Frage? was ist jetzt genau (als Zahl) T(2), T(3), T(n) und beweis es!
Deine Antworten kommen zu schnell, du denkst zu wenig dazwischen, sonst stünde in deinem post schon der Beweis!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Do 12.06.2008 | | Autor: | Surfer |
also
T(1) = 1
T(2) = 1*T(1) = 1
T(3) = 2*T(2) = 2
T(4) = 3*T(3) = 6
T(5) = 4*T(4) = 24
.
.
T(n) = (n-1)*T(n-1) = (n-1)!
dann wäre T(n+1) = (n)*T(n) = n!
oder?
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 Do 12.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja, wenn dus statt mit Pünktchen mit vollst. Induktion gezeigt hast.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Do 12.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Also meinen Induktionsanfang darf ich doch dann sagen für n=0:
gilt T(1) = 0! = 1
Und im Induktionsschritt jetzt muss ich doch von T(n) auf T(n+1) kommen oder?
T(n) = (n-1)! dann T(n+1) = n!
wäre zu leicht, wie ist es anders formulierbar?
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:30 Fr 13.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. 0!=0 also fang deine Induktion bei 1 an.
2. du musst das hinschreiben
IndVors: T(n)=(n-1)!
Funktionalgleichung T(n+1)=n*T(n)
also ist nach Indvors: T(n+1)=n*T(n)=(n-1)!*n=n!
du musst deutlich sagen, a) was ist die Ind. Vors.
b) was benutzt du zum folgern.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:27 Fr 13.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Hi,
> 1. 0!=0 also fang deine Induktion bei 1 an.
Wieso 0! ist doch auch 1, (Überprüfung am Taschenrechner) dann kann ich doch mit 0! beginnen.
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:50 Fr 13.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:44 Do 12.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
Für $T(1)_$ geht es wohl am schnellsten, wenn Du in die Ausgangsgleichung einsetzt.
Gruß
Loddar
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